Analiza matematyczna 1/Test 11: Reguła de l'Hospitala. Równość asymptotyczna

From Studia Informatyczne

Symbolem nieoznaczonym jest

\displaystyle [+\infty - \infty]

\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]

\displaystyle \left[0^{-\infty}\right].


Granica \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x^3}

może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala

jest równa granicy \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}

jest równa 0.


Granica \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} x\ln{x}

jest równa granicy \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)

jest równa granicy \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot \frac1x

jest równa 0.


Granica \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln{x}}

istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle m

jest równa \displaystyle 1 dla \displaystyle m=2

jest równa \displaystyle 0 dla pewnego \displaystyle m.


Na mocy reguły de l'Hospitala prawdziwa jest równość

\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}= \lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}

\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{3x+\cos{x}}{2x-\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}

\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}


Funkcja \displaystyle \displaystyle f(x)=2x\arccos\frac1x

ma asymptotę pionową \displaystyle x=0

ma asymptotę ukośną \displaystyle y=\pi x-2 w plus lub minus nieskończoności

ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus nieskończoności.