Analiza matematyczna 1/Test 10: Wzór Taylora. Ekstrema

From Studia Informatyczne

Funkcja \displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}

ma dokładnie dwa punkty krytyczne

nie ma ekstremum w punkcie \displaystyle 0

ma minimum w punkcie 2.


Funkcja \displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})

ma punkty krytyczne postaci \displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi, gdzie \displaystyle k\in \Bbb Z

ma tylko minima

nie ma punktów krytycznych w przedziale \displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi).


Niech \displaystyle f(x)= x^m(1-x)^n dla pewnych liczb naturalnych \displaystyle m, n. Wtedy

funkcja \displaystyle f ma dokładnie trzy punkty krytyczne

funkcja \displaystyle f ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale \displaystyle (0,1)

funkcja \displaystyle f może mieć dwa minima.


Liczba \displaystyle  \frac \pi2 jest największą wartością funkcji

\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2} w przedziale \displaystyle [0,1]

\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x w przedziale \displaystyle [1,+\infty)

\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x} w przedziale \displaystyle [0,1].


Z prostokątnego arkusza blachy o wymiarach \displaystyle a\times b wycięto w każdym rogu kwadrat o boku \displaystyle x. Z pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o wysokości \displaystyle x. Wartość \displaystyle x została tak dobrana, że pojemność pudełka jest maksymalna. Wtedy

jeśli \displaystyle a=3 i \displaystyle b=8, to pojemność ta wynosi \displaystyle \frac{200}{27}

jeśli \displaystyle a=b, to \displaystyle x=\frac{a}6

jeśli \displaystyle a i \displaystyle b są całkowite, to \displaystyle x jest wymierne.


Przykładem funkcji różniczkowalnej dwukrotnie, która nie jest klasy \displaystyle C^2 jest funkcja

\displaystyle \displaystyle x\mapsto \left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\ 0,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.

\displaystyle \displaystyle x\mapsto \left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\ x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.

\displaystyle \displaystyle x\mapsto \left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\ -x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right..