Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 8: Granica i ciągłość funkcji

From Studia Informatyczne

8. Granica i ciągłość funkcji

Ćwiczenie 8.1.

Dla danego zbioru \displaystyle A znaleźć jego punkty skupienia oraz punkty izolowane:

\displaystyle A \ = \ \bigg\{\frac{1}{n}:\ n\in\mathbb{N}\bigg\}\cup\{0\}\subseteq\mathbb{R}.

Wskazówka

Korzystając z definicji, zbadaj, które z punktów zbioru \displaystyle A są punktami skupienia, a które punktami izolowanymi. Następnie zbadaj, czy poza zbiorem \displaystyle A są jakieś punkty skupienia zbioru \displaystyle A.

Rozwiązanie

<flash>file=AM1_M08.C.R01.swf|width=375|height=70</flash>

Punkt x_0=\frac{1}{n} jest izolowany

<flash>file=AM1_M08.C.R02.swf|width=375|height=70</flash>

Punkt x_0>1 nie jest punktem skupienia

<flash>file=AM1_M08.C.R03.swf|width=375|height=70</flash>

Punkt x_0<0 nie jest punktem skupienia

<flash>file=AM1_M08.C.R04.swf|width=375|height=70</flash>

Punkt x_0\in (0,1)\setminus A nie jest punktem skupienia

Najpierw rozważmy punkty zbioru \displaystyle A. Dla dowolnego \displaystyle n\in\mathbb{N}, punkt \displaystyle x_0=\frac{1}{n} jest izolowany.

Definiując bowiem

\displaystyle \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}, mamy


\displaystyle \forall k\ne n:\ \frac{1}{k}\not\in K(x_0,\varepsilon).

Punkt \displaystyle x_0=0\in A jest punktem skupienia \displaystyle A, gdyż

dla ciągu \displaystyle \displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}\subseteq A\setminus \{0\} mamy

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \ =\ x_0.

Dowolny punkt \displaystyle x_0\in \mathbb{R}\setminus A nie jest punktem skupienia

zbioru \displaystyle A. Aby to pokazać, rozważmy trzy przypadki.


Gdy \displaystyle x_0>1, to dla \displaystyle \displaystyle\varepsilon=x_0-1 mamy \displaystyle K(x_0,\varepsilon)\cap A=\emptyset.

Gdy \displaystyle x_0<0, to dla \displaystyle \displaystyle\varepsilon=-x_0 mamy \displaystyle K(x_0,\varepsilon)\cap A=\emptyset.

Gdy \displaystyle x_0\in (0,1), to

\displaystyle \exists n_0\in\mathbb{N}:\ \frac{1}{n_0+1} \ <\ x_0 \ <\ \frac{1}{n_0}.

Wówczas

dla \displaystyle \displaystyle\varepsilon=\min\bigg\{\frac{1}{n_0}-x_0,x_0-\frac{1}{n_0+1}\bigg\} mamy \displaystyle K(x_0,\varepsilon)\cap A=\emptyset.

W każdym z powyższych trzech przypadków nie istnieje ciąg \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq A, taki że \displaystyle x_n\longrightarrow x_0. Zatem punkty \displaystyle x_0\not\in A nie są punktami skupienia zbioru \displaystyle A.

Ćwiczenie 8.2.

Obliczyć granice funkcji w punkcie:
(1) \displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\cos \frac{1}{x},

(2) \displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-2x+1}{x-1},

(3) \displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+2x+1}{x-1},

(4) \displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos \frac{1}{x}}{x},

(5) \displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x}.

Wskazówka

(1)-(5) Skorzystać z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie.

Rozwiązanie

(1) Skorzystamy z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie. Niech \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}\setminus\{0\} będzie ciągiem takim, że \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0. Wówczas

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\cos \frac{1}{x} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\cdot\cos \frac{1}{x_n},

o ile granica po prawej stronie istnieje. Zauważmy, że ciąg \displaystyle \displaystyle\bigg\{\cos \frac{1}{x_n}\bigg\} jest ograniczony, mianowicie

\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\ \bigg|\cos \frac{1}{x_n}\bigg| \ \le\ 1.

Zatem korzystając z twierdzenia o iloczynie ciągów ograniczonego i zbieżnego do zera (patrz twierdzenie 4.7.), mamy

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cdot\cos \frac{1}{x} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n\cdot\cos \frac{1}{x_n} \ =\ 0.

Uwaga: W dalszych przykładach używając, definicji Heinego do liczenia granicy funkcji \displaystyle f w punkcie \displaystyle x_0, nie będziemy dopisywać indeksów \displaystyle x_n, rozumiejąc, że liczymy granicę dla ciągu \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\in\mathbb{R}\setminus\{x_0\} takiego, że \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0.

(2) Z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie mamy

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-2x+1}{x-1} \ =\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)^2}{x-1} \ =\ \lim_{x\rightarrow 1}(x-1) \ =\ 0.

(3) Z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie wiemy, że należy obliczyć granicę:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\overbrace{x^2+2x+1}^{\rightarrow 4}}{\underbrace{x-1}_{\rightarrow 0}}.

Jednak granica ta nie istnieje. Możemy to na przykład stwierdzić, obliczając granice jednostronne

\displaystyle \aligned \lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\overbrace{x^2+2x+1}^{\rightarrow 4}}{\underbrace{x-1}_{\rightarrow 0^+}} & = & +\infty, \\ \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\overbrace{x^2+2x+1}^{\rightarrow 4}}{\underbrace{x-1}_{\rightarrow 0^-}} & = & -\infty. \endaligned

(4) Granica \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos \frac{1}{x}}{x} nie istnieje. Możemy to na przykład stwierdzić, dobierając dwa ciągi \displaystyle \displaystyle\{x_n\},\{x_n'\}\subseteq \mathbb{R}\setminus\{0\} takie, że \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=0 i \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n'=0, dla których powyższe wyrażenie będzie miało dwie różne granicy. Dla \displaystyle \displaystyle x_n=\frac{1}{2n\pi} mamy

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\cos \frac{1}{x_n}}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle\cos(2n\pi)}{\displaystyle\frac{1}{2n\pi}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (2n\pi) \ =\ +\infty,

ale dla \displaystyle \displaystyle x_n=\frac{2}{(4n+1)\pi} mamy

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\cos \frac{1}{x_n}}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{0}{x_n} \ =\ 0.

(5) Z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie wiemy, że należy obliczyć granicę:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\overbrace{\cos x}^{\rightarrow 1}}{\underbrace{x}_{\rightarrow 0}}.

Jednak granica ta nie istnieje. Możemy to na przykład stwierdzić, obliczając granice jednostronne

\displaystyle \aligned \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\overbrace{\cos x}^{\rightarrow 1}}{\underbrace{x}_{\rightarrow 0^+}} & = & +\infty, \\ \lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\overbrace{\cos x}^{\rightarrow 1}}{\underbrace{x}_{\rightarrow 0^-}} & = & -\infty. \endaligned

Ćwiczenie 8.3.

Obliczyć granice funkcji w punkcie:
(1) \displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_3(1+x^2)}{x},
(2) \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^+}e^{\frac{1}{1-x}}, \displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}e^{\frac{1}{1-x}}.

Wskazówka

(1) Skorzystać z granicy specjalnej \displaystyle \displaystyle\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} \ \stackrel{\frac{0}{0}}{=}\ \frac{1}{\ln a}, dla \displaystyle a>0,a\ne 1, (patrz twierdzenie 8.19.).
(2) Obliczyć granice jednostronne funkcji \displaystyle \displaystyle g(x)=\frac{1}{1-x} w punkcie \displaystyle x_0=1.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_3(1+x^2)}{x} \ =\ \lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\log_3(1+x^2)}{x^2}}_{\rightarrow\frac{1}{\ln 3}}\cdot\underbrace{x}_{\rightarrow 0} \ =\ 0.

(2)

\displaystyle \aligned \lim_{x\rightarrow 1^+} f(x) & = & \lim_{x\rightarrow 1^+}\underbrace{e^{\overbrace{\frac{1}{1-x}}^{\rightarrow -\infty}}}_{\rightarrow 0} \ =\ 0\\ \lim_{x\rightarrow 1^-} f(x) & = & \lim_{x\rightarrow 1^-}\underbrace{e^{\overbrace{\frac{1}{1-x}}^{\rightarrow +\infty}}}_{\rightarrow +\infty} \ =\ +\infty \endaligned

Ćwiczenie 8.4.

Zbadać ciągłość następujących funkcji:
(1) \displaystyle \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} \sin\frac{1}{x} & \textrm{dla} & x\ne 0\\ 0               & \textrm{dla} & x=0 \end{array}  \right.
(2) \displaystyle \displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array} {lll} x^k\sin\frac{1}{x} & \textrm{dla} & x\ne 0\\ 0                  & \textrm{dla} & x=0 \end{array}  \right. dla \displaystyle k\ge 1.

Wskazówka

(1)-(2) Sprawdzić z definicji Heinego ciągłość funkcji \displaystyle f dla \displaystyle x=0.

Rozwiązanie

<flash>file=AM1_M08.C.R05.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres funkcji f(x)=\sin\frac{1}{x}

(1)

Funkcja \displaystyle f jest ciągła dla każdego \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} (jako złożenie funkcji ciągłych). Należy sprawdzić jej ciągłość dla \displaystyle x=0. Zauważmy, że jeśli ciąg \displaystyle \displaystyle\{x_n\} ma granicę \displaystyle 0, to ciąg \displaystyle \displaystyle \sin\frac{1}{x_n} może nie mieć granicy lub może mieć granicę zależną od ciągu \displaystyle \displaystyle\{x_n\}. Biorąc na przykład \displaystyle \displaystyle x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2n\pi} dla \displaystyle n\in\mathbb{N}, mamy

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin\frac{1}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin \bigg(\frac{\pi}{2}+2n\pi\bigg) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1 \ =\ 1.

Natomiast, gdy

\displaystyle \displaystyle x_n=\frac{1}{n\pi} dla \displaystyle n\in\mathbb{N} mamy

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin\frac{1}{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sin (n\pi) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 0 \ =\ 0.

Odpowiedź: Funkcja \displaystyle f nie jest ciągła dla \displaystyle x=0.


(2)

Funkcja \displaystyle f jest ciągła dla każdego \displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} (jako złożenie funkcji ciągłych). Należy sprawdzić jej ciągłość dla \displaystyle x=0. Dla dowolnego ciągu \displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}\setminus\{0\} takiego, że \displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n^k=0 mamy

\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n^k\sin\frac{1}{x_n} \ =\ 0

z twierdzenia o iloczynie ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera (patrz twierdzenie 4.7.). Ponieważ \displaystyle f(0)=0, więc funkcja jest ciągła dla \displaystyle x=0.

Odpowiedź: Funkcja \displaystyle f jest ciągła.

<flash>file=AM1_M08.C.R06.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres funkcji f(x)=x\sin\frac{1}{x}

<flash>file=AM1_M08.C.R07.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres funkcji f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}

Ćwiczenie 8.5.

Zbadać ciągłość następującej funkcji:

\displaystyle f(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}} \qquad\textrm{dla}\ x\in\mathbb{R}.

Wskazówka

Obliczyć najpierw wartość granicy, rozważając trzy przypadki: \displaystyle x>0,x=0 i \displaystyle x<0.

Rozwiązanie

Dla \displaystyle x>0 mamy

\displaystyle f(x) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^x-n^{-x}}{n^x+n^{-x}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle n^x-\frac{1}{n^x}}{\displaystyle n^x+\frac{1}{n^x}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\frac{1}{n^{2x}}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{1}{n^{2x}}}_{\rightarrow 0}} \ =\ 1.

Dla \displaystyle x=0 mamy

\displaystyle f(0) \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^0-n^0}{n^0+n^0} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{0}{2} \ =\ 0.

Dla \displaystyle x<0 podstawmy \displaystyle y=-x. Wówczas \displaystyle y>0 i mamy

\begin{array}{lll} \displaystyle f(x) & = & f(-y) = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^{-y}-n^y}{n^{-y}+n^y} = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^y}-n^y}{\displaystyle \frac{1}{n^y}+n^y}\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \overbrace{\frac{1}{n^{2y}}}^{\rightarrow 0}-1}{\displaystyle\underbrace{\frac{1}{n^{2y}}}_{\rightarrow 0}+1} \ =\ -1. \end{array}

Zatem wnioskujemy, że \displaystyle f(x)=\mathrm{sgn}\, x. Zatem funkcja \displaystyle f jest ciągła dla dowolnego \displaystyle x\ne 0 oraz nie jest ciągła dla \displaystyle x=0, gdyż

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+} \ =\ 1 \ \ne\ -1 \ =\ \lim_{x\rightarrow 0^-}.

Odpowiedź: Funkcja \displaystyle f jest ciągła na zbiorze \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\} i nie jest ciągła w punkcie \displaystyle x=0.

Ćwiczenie 8.6.

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \displaystyle a_1>a_2>\ldots>a_{n+1} funkcja

\displaystyle f(x) \ =\ \frac{1}{x-a_1} + \frac{1}{x-a_2} + \ldots + \frac{1}{x-a_{n+1}}

ma co najmniej \displaystyle n pierwiastków rzeczywistych.

Wskazówka

Obliczyć granice jednostronne funkcji \displaystyle f w punktach \displaystyle a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}. Skorzystać z własności Darboux.

Rozwiązanie

<flash>file=AM1_M08.C.R08.swf|width=360|height=308</flash>

Rysunek do ćwiczenia 8.6.

Dziedziną funkcji \displaystyle f jest \displaystyle \displaystyle\mathbb{R}\setminus \{a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}\}. Funkcja \displaystyle f jest ciągła w swojej dziedzinie.

Rozważmy przedział \displaystyle \displaystyle (a_2,a_1) (pamiętamy, że \displaystyle a_2<a_1). Policzmy granice jednostronne funkcji \displaystyle f na końcach tego przedziału. Widać, że

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a_1^-}f(x) \ =\ -\infty \qquad\textrm{oraz}\qquad \lim_{x\rightarrow a_2^+}f(x) \ =\ +\infty.

To znaczy, że dla punktów bliskich \displaystyle a_1

(i mniejszych od \displaystyle a_1) funkcja ma wartości ujemne, a dla punktów bliskich \displaystyle a_2 (i większych od \displaystyle a_2) funkcja ma wartości dodatnie. Skora funkcja \displaystyle f jest w przedziale \displaystyle \displaystyle (a_2,a_1) ciągła, to możemy skorzystać z własności Darboux i wywnioskować, że funkcja \displaystyle f ma w przedziale \displaystyle \displaystyle (a_2,a_1) przynajmniej jedno miejsce zerowe.

Teraz postępujemy analogicznie dla każdego z przedziałów \displaystyle \displaystyle (a_{i+1},a_i) dla \displaystyle i=1,2,\ldots,n. W każdym z przedziałów mamy

\displaystyle \lim_{x\rightarrow a_i^-}f(x) \ =\ -\infty    oraz    \lim_{x\rightarrow a_{i+1}^+}f(x) \ =\ +\infty,

a zatem w każdym z tych przedziałów,

korzystając z własności Darboux, mamy co najmniej jedno miejsce zerowe.

W rezultacie otrzymujemy, że funkcja \displaystyle f ma co najmniej \displaystyle n miejsc zerowych.