Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 6: Szeregi liczbowe

From Studia Informatyczne

6. Szeregi liczbowe

Ćwiczenie 6.1.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5+(-1)^n}{\sqrt{n}},

(2) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n^2}.

Wskazówka

(1) Zastosować kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.).
(2) Zastosować kryterium porównawcze. Wykorzystać nierówność \displaystyle\sin x\le x.

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

\forall n\in\mathbb{N}:\ \frac{5+(-1)^n}{\sqrt{n}} \ \ge\ \frac{4}{\sqrt{n}}.

Ponieważ szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{\sqrt{n}} =4\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} jest rozbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem \displaystyle \alpha=\frac{1}{2}; patrz przykład 6.15.) zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5+(-1)^n}{\sqrt{n}} jest rozbieżny.

(2) Rozważmy następujący szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}, o którym wiemy, że jest zbieżny (jako uogólniony szereg harmoniczny z wykładnikiem \displaystyle\alpha=2; patrz przykład 6.15.). Ponieważ zachodzi nierówność liczbowa

\forall x>0:\ \sin x\le x,

(patrz lemat 5.7.) więc dla dowolnego n\in\mathbb{N} mamy

0 \ \le\ \cos\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{1}{n^2} \ \le\ \sin\frac{1}{n^2} \ =\ \sin\frac{1}{n^2} \ \le\ \frac{1}{n^2}.

Zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n^2} jest zbieżny.

Ćwiczenie 6.2.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}},

(2) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{1}{n}.

Wskazówka

(1) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.
(2) Sprawdzić zachodzenie warunku koniecznego zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ =\ 1,

zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.

(2) Ponieważ

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \cos\frac{1}{n} \ =\ 1,

zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów, a więc jest rozbieżny.

Ćwiczenie 6.3.

Obliczyć sumy następujących szeregów liczbowych:
(1) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)},

(2) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n+2^n}{6^n},

(3) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.

Wskazówka

(1) Zauważyć, że \displaystyle\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.
(2) Zauważyć, że szereg ten jest sumą pewnych dwóch szeregów.
(3) Zauważyć, że \displaystyle\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\bigg) i obliczyć wyrazy ciągu sum częściowych.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ

\forall n\in\mathbb{N}:\ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},

zatem N-ta suma częściowa szeregu ma postać

S_N \ =\ \sum_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)} \ =\ \bigg(1-\frac{1}{2}\bigg) + \bigg(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\bigg) +
\bigg(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\bigg) +\ldots+ \bigg(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N}\bigg) \ =\ 1-\frac{1}{N}.

Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}S_N \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}\bigg(1-\frac{1}{N}\bigg) \ =\ 1.

(2) Zauważmy, że

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+2^n}{6^n} \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{6^n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{6^n} \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n},

zatem nasz szereg jest sumą dwóch szeregów geometrycznych, których sumy potrafimy policzyć:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n+2^n}{6^n} \ =\ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} +\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} \ =\ \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} +\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \ =\ 1+\frac{1}{2} \ =\ \frac{3}{2}.

(3) Ponieważ

\forall n\in\mathbb{N}:\ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\bigg),

zatem N-ta suma częściowa szeregu ma postać

S_N \ =\ \sum_{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)} \ =\ \frac{1}{2}\bigg[\bigg(1-\frac{1}{3}\bigg) + \bigg(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\bigg) +
\bigg(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\bigg) +\ldots+ \bigg(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\bigg)\bigg] \ =\ \frac{1}{2}\bigg[1-\frac{1}{2N+1}\bigg].

Ponieważ suma szeregu jest granicą ciągu sum częściowych, więc

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}S_N \ =\ \lim_{N\rightarrow+\infty}\frac{1}{2}\bigg(1-\frac{1}{2N+1}\bigg) \ =\ \frac{1}{2}.

Ćwiczenie 6.4.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln n},

(2) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln (\ln n))^{\ln n}}.

Wskazówka

(1) Pokazać, że \displaystyle\ln n\le n (na przykład wykorzystując nierówność Bernoullego; patrz uwaga 2.16.) i skorzystać z kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.).
(2) Zastosować kryterium porównawcze (patrz twierdzenie 6.9.), porównując z szeregiem \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.

Rozwiązanie

(1) Z nierówności Bernoullego (patrz uwaga 2.16.) mamy \displaystyle (1+x)^n\geq 1+nx dla każdego x\ge -1 oraz n\in\mathbb{N}. Wstawiając x=1, dostajemy

1+n \ \le\ 2^n \ <\ e^n,

gdzie w drugiej nierówności wykorzystano monotoniczność funkcji potęgowej. Logarytmując obie strony (logarytmem o podstawie e) i korzystając z faktu, że funkcja logarytm o podstawie większej od 1 jest rosnąca, dostajemy

\ln(1+n) \ \le\ \ln e^n \ =\ n\ln e \ =\ n.

Z monotoniczności funkcji logarytm mamy ponadto

\ln n \ <\ \ln (1+n),

zatem ostatecznie pokazaliśmy, że

\forall n\in\mathbb{N}:\ \ln n\le n,

czyli także \displaystyle \frac{1}{\ln n}\ge \frac{1}{n}. Ponieważ szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} jest rozbieżny, zatem na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln n} też jest rozbieżny.

(2) Porównajmy szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln (\ln n))^{\ln n}} z szeregiem \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}, o którym wiemy, że jest zbieżny. W tym celu rozwiążmy nierówność:

\frac{1}{(\ln (\ln n))^{\ln n}} \ \le\ \frac{1}{n^2}.

Przekształcamy ją równoważnie

(\ln (\ln n))^{\ln n} \ \ge\ n^2,

następnie logarytmujemy obie strony

(\ln n)(\ln (\ln (\ln n))) \ \ge\ 2\ln n
\ln (\ln (\ln n)) \ \ge\ 2
\ln (\ln n) \ \ge\ e^2,
\ln n \ \ge\ e^{e^2},
n \ \ge\ e^{e^{e^2}}.

Zatem pokazaliśmy, że

\forall n\ge e^{e^{e^2}}:\ \frac{1}{(\ln (\ln n))^{\ln n}} \ \le\ \frac{1}{n^2}.

Na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln (\ln n))^{\ln n}} jest więc zbieżny.

Ćwiczenie 6.5.

Zbadać zbieżność następujących szeregów liczbowych:
(1) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle n^{1+\frac{1}{n}}},

(2) \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle n\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n}.

Wskazówka

(1) Szereg ten jest postaci \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle n\cdot a_n}, gdzie \displaystyle\{a_n\} jest pewnym ciągiem. Co można powiedzieć o ciągu \displaystyle\{a_n\}?
(2) Patrz wskazówka do punktu (1).

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że szereg ten jest postaci \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle n\cdot a_n}, gdzie

a_n \ =\ n^{\frac{1}{n}} \ =\ \sqrt[n]{n},

zatem ciąg \displaystyle\{a_n\} jest zbieżny oraz \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=1. Korzystając z definicji granicy ciągu, dla \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}, mamy

\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge n:\ \frac{1}{2}\le a_n\le \frac{3}{2}.

Zatem

\forall n\ge N:\ \frac{1}{\displaystyle n\cdot a_n} \ \ge\ \frac{1}{\displaystyle n \cdot \frac{3}{2}} \ =\ \frac{2}{3n}.

Ponieważ szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3n}=\frac{2}{3}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy, że szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\displaystyle n^{1+\frac{1}{n}}} jest także rozbieżny.

(2) Zauważmy, że szereg ten jest postaci \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle n\cdot a_n}, gdzie

a_n \ =\ \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n,

zatem ciąg \displaystyle\{a_n\} jest zbieżny oraz \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=e. Korzystając z definicji granicy ciągu, wiemy, że

\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge n:\ a_n\le 3.

Zatem

\forall n\ge N:\ \frac{1}{\displaystyle n\cdot a_n} \ \ge\ \frac{1}{\displaystyle 3n}.

Ponieważ szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n}=\frac{1}{3}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} jest rozbieżny (jako szereg harmoniczny), więc na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy, że szereg \displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\displaystyle n\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n} jest także rozbieżny.

Ćwiczenie 6.6.

Niech \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n będzie szeregiem o wyrazach dodatnich.
(1) Udowodnić, że jeśli szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n jest zbieżny, to także szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 jest zbieżny.
(2) Pokazać, że nie zachodzi implikacja odwrotna w powyższym stwierdzeniu.

Wskazówka

(1) Należy skorzystać z warunku koniecznego zbieżności szeregów faktu, że

\forall x\in(0,1):\ x^2\ <\ x

oraz kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.).

(2) Kontrprzykładu szukaj wśród uogólnionych szeregów harmonicznych.

Rozwiązanie

(1) Ze zbieżności szeregu \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n wynika w szczególności, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0, a stąd w szczególności

\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ 0<a_n<1.

Ponieważ dla x\in (0,1) mamy x^2<x, zatem

\forall n\ge N:\ a_n^2 \ <\ a_n.

Na mocy kryterium porównawczego (patrz twierdzenie 6.9.) dostajemy zatem, że szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 jest zbieżny.

(2) Rozważmy szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n, gdzie \displaystyle a_n=\frac{1}{n} dla n\in\mathbb{N}. Wówczas szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 jest zbieżny, ale szereg \displaystyle\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n jest rozbieżny.