Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 5: Obliczanie granic

From Studia Informatyczne

5. Obliczanie granic

Ćwiczenie 5.1.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{5^n+7^n+8^n},
(2) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{\bigg(\frac{13}{14}\bigg)^n+\bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n+\bigg(\frac{21}{23}\bigg)^n},
(3) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{4^n+1+3^{n+1}}{2^{n+1}+3^n}.

Wskazówka

(1) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
(2) Rozwiązać analogicznie jak punkt (1).
(3) Podzielić licznik i mianownik przez 4^n oraz skorzystać z arytmetyki granic niewłaściwych.

Rozwiązanie

(1) Zauważmy, że

\begin{array} {ccccc} \displaystyle\sqrt[n]{8^n+8^n+8^n} & \ge & \displaystyle\sqrt[n]{5^n+7^n+8^n} & \ge & \displaystyle\sqrt[n]{8^n}\\ \shortparallel                     &     &                                 &     & \shortparallel\\ \displaystyle\sqrt[n]{3\cdot 8^n}  &     &                                 &     & 8\\ \shortparallel                     &     &                                 &     & \downarrow\\ \displaystyle 8\sqrt[n]{3}         &     &                                 &     & 8\\ \downarrow                         &     &                                 &     & \\ 8                                  &     &                                 &     & \\ \end{array}

Zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt[n]{5^n+7^n+8^n}=8.

(2) Ponieważ \displaystyle\frac{21}{23}<\frac{13}{14}<\frac{18}{19}, więc podobnie jak w poprzednim przykładzie mamy

\begin{array} {ccccc} \displaystyle\sqrt[n]{\bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n+\bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n+\bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n} & \ge & \displaystyle\sqrt[n]{\bigg(\frac{13}{14}\bigg)^n+\bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n+\bigg(\frac{21}{23}\bigg)^n} & \ge & \displaystyle\sqrt[n]{\bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n}\\ \shortparallel                                             &     &                                 &     & \shortparallel\\ \displaystyle\sqrt[n]{3\cdot \bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n}  &     &                                 &     & \displaystyle\frac{18}{19}\\ \shortparallel                                             &     &                                 &     & \downarrow\\ \displaystyle \frac{18}{19}\sqrt[n]{3}                     &     &                                 &     & \displaystyle\frac{18}{19}\\ \downarrow                                                 &     &                                 &     & \\ \displaystyle\frac{18}{19}                                 &     &                                 &     & \\ \end{array}

Zatem korzystając z twierdzenie o trzech ciągach, wnioskujemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\displaystyle\sqrt[n]{\bigg(\frac{13}{14}\bigg)^n+\bigg(\frac{18}{19}\bigg)^n+\bigg(\frac{21}{23}\bigg)^n} =\frac{18}{19}.

(3) Dzieląc licznik i mianownik przez 4^n oraz korzystając z arytmetyki granic niewłaściwych, mamy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{4^n+1+3^{n+1}}{2^{n+1}+3^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle 1+\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^n}^{\rightarrow 0}+3\cdot\overbrace{\bigg(\frac{3}{4}\bigg)^n}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 2\cdot\underbrace{\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^n}_{\rightarrow 0^+}+\underbrace{\bigg(\frac{3}{4}\bigg)^n}_{\rightarrow 0^+}} \ =\ +\infty.

Ćwiczenie 5.2.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{x_n}\bigg)^{x_n}, gdzie \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R} jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=+\infty,

(2) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n}{n+1}\bigg)^n,

(3) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n-3}{n+2}\bigg)^n,

(4) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n^2+2}{n}\bigg)^n,

(5) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n^2+2}{n^2+1}\bigg)^{2n^2+2},

(6) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n+2}{n^2+1}\bigg)^n.

Wskazówka

(1) Wykorzystać znajomość granicy ciągu \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1+\frac{1}{x_n}\bigg)^{x_n} (patrz twierdzenie 5.1. (2)).
(2)-(3) Wykorzystać punkt (1).
(4) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.
(5) Stwierdzić z jakim symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia.
(6) Najpierw obliczyć granicę podstawy potęgi.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

\aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{x_n}\bigg)^{x_n} & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{x_n-1}{x_n}\bigg)^{x_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x_n}{x_n-1}\bigg)^{x_n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\bigg(\frac{x_n-1}{x_n-1}+\frac{1}{x_n-1}\bigg)^{x_n}}\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{x_n-1}\bigg)^{x_n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{\displaystyle\underbrace{\bigg(1+\frac{1}{x_n-1}\bigg)^{x_n-1}}_{\rightarrow e}\cdot\underbrace{\bigg(1+\frac{1}{x_n-1}\bigg)}_{\rightarrow 1}} \ =\ \frac{1}{e}, \endaligned

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2) oraz fakt, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (x_n-1)=+\infty. Zauważmy także, że ułamek \displaystyle\frac{x_n}{x_n-1} ma sens przynajmniej od pewnego miejsca, gdyż założenie x_n\longrightarrow+\infty implikuje, że \displaystyle\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ x_n>1, więc w szczególności x_n\ne 1.

(2) Liczymy

\aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n}{n+1}\bigg)^n & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\bigg)^n \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{1}{n+1}\bigg)^n\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\underbrace{\bigg(1-\frac{1}{n+1}\bigg)^{n+1}}_{\rightarrow \frac{1}{e}}\cdot\underbrace{\bigg(1-\frac{1}{n+1}\bigg)^{-1}}_{\rightarrow 1} \ =\ \frac{1}{e}, \endaligned

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1).

(3) Liczymy

\aligned \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n-3}{n+2}\bigg)^n & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n+2}{n+2}-\frac{5}{n+2}\bigg)^n \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(1-\frac{5}{n+2}\bigg)^n\\ & = & \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg[\underbrace{\bigg(1-\frac{1}{\frac{n+2}{5}}\bigg)^{\displaystyle\frac{n+2}{5}}}_{\rightarrow \frac{1}{e}}\bigg]^{\overbrace{\frac{5n}{n+2}}^{\rightarrow 5}} \ =\ \frac{1}{e^5}, \endaligned

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy udowodniony już punkt (1) oraz twierdzenie o arytmetyce granic.

(4) Ponieważ

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{n^2+2}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(n+\frac{2}{n}\bigg) \ =\ +\infty,

więc

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\underbrace{\frac{n^2+2}{n}}_{\rightarrow +\infty}\bigg)^{\overbrace{n}^{\rightarrow +\infty}} \ =\ +\infty,

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych.

(5) Liczymy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n^2+2}{n^2+1}\bigg)^{2n^2+2} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\frac{n^2+1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+1}\bigg)^{2n^2+2} =
= \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg[\underbrace{\bigg(1+\frac{1}{n^2+1}\bigg)^{n^2+1}}_{\rightarrow e}\bigg]^2 \ =\ e^2,

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie 5.1. (2).

(6) Ponieważ

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n+2}{n^2+1} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}} \ =\ \frac{0}{1} \ =\ 0,

więc

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(\underbrace{\frac{n+2}{n^2+1}}_{\rightarrow 0}\bigg)^{\overbrace{n}^{\rightarrow +\infty}} \ =\ 0,

gdzie w ostatniej równości wykorzystaliśmy twierdzenie o arytmetyce granic niewłaściwych (patrz twierdzenie 5.4. (8)).

Ćwiczenie 5.3.

Obliczyć następujące granice ciągów:
(1) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n\cdot\sin\frac{3}{n}
(2) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n\cdot\cos\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{10}{n}
(3) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathrm{arctg}\,\bigg(\frac{n^2+1}{n}\bigg)
(4) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^5+n^6}{2^n+3^n}.

Wskazówka

(1) Skorzystać z granicy specjalnej \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin x_n}{x_n}=1, gdzie \displaystyle x_n\longrightarrow 0.
(2) Podobnie jak w punkcie (1).
(3) Najpierw wyznaczyć granicę argumentu funkcji \displaystyle\mathrm{arctg}\,.
(4) Skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach oraz twierdzenie 5.3.

Rozwiązanie

(1) Liczymy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n\cdot\sin\frac{3}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin\frac{3}{n}}{\frac{1}{n}} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 3\cdot\underbrace{\frac{\sin\frac{3}{n}}{\frac{3}{n}}}_{\rightarrow 1} \ =\ 3\cdot 1 \ =\ 3,

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin x_n}{x_n}=1 dla \displaystyle x_n=\frac{3}{n}\longrightarrow 0 (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(2) Liczymy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} n\cdot\cos\frac{1}{n}\cdot\sin\frac{10}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 10\cdot\underbrace{\cos\frac{1}{n}}_{\rightarrow 1}\cdot\underbrace{\frac{\sin\frac{10}{n}}{\frac{10}{n}}}_{\rightarrow 1} \ =\ 10,

gdzie skorzystaliśmy z granicy specjalnej \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin x_n}{x_n}=1 dla \displaystyle x_n=\frac{10}{n}\longrightarrow 0 (patrz twierdzenie 5.8. (8)).

(3) Ponieważ

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2+1}{n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\bigg(n+\frac{1}{n}\bigg) \ =\ +\infty,

więc

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\mathrm{arctg}\,\bigg(\underbrace{\frac{n^2+1}{n}}_{\rightarrow +\infty}\bigg) \ =\ \frac{\pi}{2}.

(4) Zauważmy, że

0 \ \le\ \frac{n^5+n^6}{2^n+3^n} \ \le\ \frac{2n^6}{2^n}.

Niech \displaystyle a_n=\frac{2n^6}{2^n}. W celu obliczenia granicy \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n wyliczmy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2(n+1)^6 2^n}{2^{n+1}2n^6} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^6 \ =\ \frac{1}{2}.

Zatem korzystając z twierdzenie 5.3. (1), wnioskujemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0. Z kolei z twierdzenia o trzech ciągach i powyższego oszacowania mamy, że

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{n^5+n^6}{2^n+3^n} \ =\ 0.

Ćwiczenie 5.4.

Obliczyć granice górne i dolne następujących ciągów:
(1) \displaystyle a_n=\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n\cos n\pi,
(2) \displaystyle a_n=\sin\frac{n\pi}{2},
(3) \displaystyle a_n=2\cdot(-1)^n+3\cdot(-1)^{n+1}.

Wskazówka

(1) Zbadać jak wygląda ciąg \displaystyle\{\cos n\pi\}.
(2) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg \displaystyle\{a_n\}.
(3) Zbadać jakie wartości przyjmuje ciąg \displaystyle\{a_n\}.

Rozwiązanie

<flash>file=AM1_M05.C.R03.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres funkcji f(x)=\sin\frac{\pi x}{2} oraz ciągu a_n=\sin\frac{n\pi}{2}

(1) Zauważmy, że \displaystyle\cos n\pi=(-1)^n dla n\in\mathbb{N} oraz \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n=\frac{1}{e} (patrz ćwiczenie 5.2.).

Zatem dla wyrazów parzystych mamy

\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} a_{2k} \ =\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k}\bigg)^{2k}\cos 2k\pi \ =\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k}\bigg)^{2k} \ =\ \frac{1}{e},

a dla nieparzystych

\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} a_{2k-1} \ =\ \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k-1}\bigg)^{2k-1}\cos (2k-1)\pi =

-\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} \bigg(1-\frac{1}{2k-1}\bigg)^{2k-1} \ =\ -\frac{1}{e}.

Wnioskujemy stąd, że

\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ \frac{1}{e} \quad\textrm{oraz}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ -\frac{1}{e}

(2)

Zauważmy, że

a_n \ =\ \sin\frac{n\pi}{2} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 0 & \textrm{gdy}& n=4k,\\ 1 & \textrm{gdy}& n=4k+1,\\ 0 & \textrm{gdy}& n=4k+2,\\ -1 & \textrm{gdy}& n=4k+3,\\ \end{array}  \right.

Zatem kolejne wyrazy ciągu wynoszą:

1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots

Jedynymi wartościami ciągu jak również jego punktami skupienia

są: 1,0,-1. Zatem

\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ -1 \quad\textrm{oraz}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ 1.

<flash>file=AM1_M05.C.R01.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres funkcji f(x)=\cos\pi x oraz ciągu a_n=\cos n\pi=(-1)^n

<flash>file=AM1_M05.C.R02.swf|width=375|height=375</flash>

Wykres ciągu a_n=\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^n\cos n\pi

(3) Zauważmy, że

2\cdot(-1)^n \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} 2  & \textrm{gdy} & n=2k,\\ -2 & \textrm{gdy} & n=2k-1, \end{array}  \right. \quad\textrm{oraz}\quad 3(-1)^{n+1} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -3 & \textrm{gdy} & n=2k,\\ 3  & \textrm{gdy} & n=2k-1. \end{array}  \right.

Zatem ciąg \displaystyle\{a_n\} przyjmuje tylko dwie wartości

a_n \ =\ 2\cdot(-1)^n+3(-1)^{n+1} \ =\ \left\{ \begin{array} {lll} -1 & \textrm{gdy} & n=2k,\\ 1 & \textrm{gdy} & n=2k-1, \end{array}  \right.

co możemy zapisać krócej

\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n=(-1)^{n+1},

czyli

\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ -1 \quad\textrm{oraz}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n \ =\ 1.

Ćwiczenie 5.5.

Ciąg \displaystyle\{x_n\} zadany jest rekurencyjnie

x_1=1,\quad \forall n\ge 1:\ x_{n+1}=\frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg),

gdzie c>0. Zbadać zbieżność ciągu \displaystyle\{x_n\}. Jeśli jest on zbieżny, obliczyć jego granicę.

Wskazówka

Wykazać kolejno, że ciąg \displaystyle\{x_n\} jest ograniczony od dołu przez \displaystyle\sqrt{c} (przynajmniej od drugiego miejsca) następnie, że jest malejący (także przynajmniej od drugiego miejsca). Należy skorzystać z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym w celu stwierdzenia istnienia granicy. W końcu obliczyć granicę wykorzystując związek rekurencyjny.

Rozwiązanie

Najpierw zauważmy, że x_n>0 dla każdego n\ge 1. Następnie pokażemy, że x_n\ge \sqrt{c} dla każdego n\ge 2. W tym celu przekształcamy oczywistą nierówność \displaystyle (x_n-\sqrt{c})^2\ge 0, otrzymując kolejno

x_n^2-2\sqrt{c}x_n+c \ \ge\ 0,
x_n^2+c \ \ge\ 2\sqrt{c}x_n
x_n+\frac{c}{x_n} \ \ge\ 2\sqrt{c}
\frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg) \ \ge\ \sqrt{c},

zatem

\forall n\in\mathbb{N}:\ x_{n+1} \ \ge\ \sqrt{c}.

Pokażemy następnie, że ciąg \displaystyle\{x_n\} jest malejący (przynajmniej od drugiego wyrazu). Ponieważ x_n\ge \sqrt{c} dla n\ge 2, więc mamy kolejno

x_n^2 \ \ge\ c
x_n^2+c \ \le\ 2x_n^2
x_n+\frac{c}{x_n} \ \le\ 2x_n
\frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg) \ \le\ x_n,

zatem

\forall n\ge 2:\ x_{n+1} \ \le\ x_n,

czyli ciąg \displaystyle\{x_n\} jest malejący (począwszy od drugiego wyrazu). Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym (patrz twierdzenie 4.15.), wnioskujemy, że ciąg ten ma granicę g\in\mathbb{R}. W zadanym związku rekurencyjnym \displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg) możemy zatem przejść do granicy po obu stronach (oczywiście \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_{n+1}), otrzymując

\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_{n+1}}_{=g} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{2}\bigg(x_n+\frac{c}{x_n}\bigg) \ =\ \frac{1}{2}\bigg(\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n}_{=g}+\frac{c}{\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n}_{=g}}\bigg),

zatem

g \ =\ \frac{1}{2}\bigg(x+\frac{c}{g}\bigg).

Zatem, jeśli g jest granicą, to musi spełniać powyższą równość. Rozwiązując to równanie, dostajemy g=\sqrt{c}.
Odpowiedź: \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=\sqrt{c}.

Ćwiczenie 5.6.

Niech \displaystyle\{a_n\}\subseteq\mathbb{R} będzie ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy \displaystyle\forall n\in\mathbb{N}:\ a_n>0). Udowodnić następujące stwierdzenia:
(1) jeśli \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a<1, to \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0;

(2) jeśli \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a>1, to \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty.
Korzystając z powyższych stwierdzeń, wyznacz następujące granice:

(3) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a^n}{n!}, gdzie a\in\mathbb{R};

(4) \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a^n}{n^k}, gdzie a,k>0.

Wskazówka

(1) Dobrać tak małe \displaystyle\varepsilon>0, aby wyrazy ciągu \displaystyle\big\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\big\} były mniejsze od pewnej liczby b<1. Wyprowadzić stąd oszacowanie na wyrazy ciągu \displaystyle\{a_n\} przez wyrazy ciągu geometrycznego Mb^n (od pewnego miejsca, gdzie M jest pewną stałą).
(2) Zrobić analogicznie do poprzedniego twierdzenia, dobierając tym razem tak małe \displaystyle\varepsilon>0, aby wyrazy ciągu \displaystyle\big\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\big\} były większe od pewnej liczby b>1.
(3) Rozważyć osobno przypadki a=0,a>0 i a<0. Gdy a>0, obliczyć granicę ilorazu \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} w celu skorzystania z punktu (1) lub (2).
(4) Obliczyć granicę ilorazu \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} w celu skorzystania z punktu (1) lub (2). Rozważyć osobno przypadki a<1,a=1 i a>1.

Rozwiązanie

(1) Ponieważ a<1, więc możemy wybrać b takie, że a<b<1. Niech \displaystyle\varepsilon=b-a. Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}-a\bigg|< b-a,

więc w szczególności mamy

\forall n\ge N:\ 0 \ <\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \ <\ b,

czyli

\forall n\ge N:\ a_{n+1} \ <\ b\cdot a_n.

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego n\ge N, dostajemy

a_{n+1} \ <\ b\cdot a_n \ <\ b^2\cdot a_{n-1} \ <\ b^3\cdot a_{n-2} \ <\ \ldots \ <\ b^{n+1-N}\cdot a_N \ =\ Mb^n,

gdzie M=b^{1-N}a_N jest stałą niezależną od n. Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu \displaystyle\{a_n\} (począwszy od N-tego miejsca) szacują się od góry przez wyrazy ciągu geometrycznego \displaystyle\{Mb^n\}, który jest zbieżny do zera (bo 0<b<1). Z założenia wiemy, że wyrazy a_n>0, zatem korzystając z twierdzenia o trzech ciągach, dostajemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0, co należało dowieść.

(2) Ponieważ a>1, więc możemy wybrać b takie, że a>b>1. Niech \displaystyle\varepsilon=a-b. Korzystając z definicji granicy ciągu, mamy

\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\ \bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}-a\bigg|< a-b,

więc w szczególności mamy

\forall n\ge N:\ \frac{a_{n+1}}{a_n} \ >\ b,

czyli

\forall n\ge N:\ a_{n+1} \ >\ b\cdot a_n.

Postępując indukcyjnie, dla dowolnego n\ge N, dostajemy

a_{n+1} \ >\ b\cdot a_n \ >\ b^2\cdot a_{n-1} \ >\ b^3\cdot a_{n-2} \ >\ \ldots \ >\ b^{n+1-N}\cdot a_N \ =\ Mb^n,

gdzie M=b^{1-N}a_N jest stałą niezależną od n. Zatem pokazaliśmy, że wyrazy naszego ciągu \displaystyle\{a_n\} (począwszy od N-tego miejsca) szacują się od dołu przez wyrazy ciągu geometrycznego \displaystyle\{Mb^n\}, który jest rozbieżny do +\infty (bo b>1). Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach, dostajemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty, co należało dowieść.

(3) Niech \displaystyle a_n=\frac{a^n}{n!} dla n\in\mathbb{N}.

Gdy a=0, to ciąg jest zerowy i jego granica wynosi 0.

Załóżmy teraz, że a>0.

Liczymy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^{n+1}n!}{(n+1)! a^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a}{n} \ =\ 0.

Zatem korzystając z punktu (1), dostajemy, że \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^n}{n!}=0.

W końcu gdy a<0, to zauważmy, że definiując \displaystyle b_n=|a_n|, mamy \displaystyle b_n=\frac{|a|^n}{n!}, zatem możemy wykorzystać już udowodnioną część i wywnioskować, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=0. Korzystając teraz z twierdzenia 4.9. (7), dostajemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.

Zatem dla dowolnego a\in\mathbb{R} dostaliśmy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.


(4) Niech \displaystyle a_n=\frac{a^n}{n^k}. Liczymy

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a^{n+1}n^k}{(n+1)^ka^n} \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a}{\displaystyle\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^k} \ =\ a.

Zatem, jeśli a<1, to korzystając z punktu (1), dostajemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0. Jeśli a>1, to korzystając z punktu (2) dostajemy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=+\infty. Jeśli a=1, to stwierdzamy bezpośrednio, że \displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^k}=0.