Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 3: Odległość i ciągi

From Studia Informatyczne

3. Odległość i ciągi

Ćwiczenie 3.1.

Wykazać, że funkcje d_{\infty} i d_1 zdefiniowane na \displaystyle\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^N jako


\aligned d_{\infty}(x,y) & \ \stackrel{df}{=}\  & \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i| \qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\mathbb{R}^N,\\ d_1(x,y) & \ \stackrel{df}{=}\  & \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i| \qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\mathbb{R}^N  \endaligned


są metrykami (patrz przykład 3.5. i przykład 3.6.).


Wskazówka

Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do sprawdzenia. W nierówności trójkąta należy wykorzystać nierówność dla wartości bezwzględnej w \displaystyle\mathbb{R} (to znaczy nierówność trójkąta dla metryki euklidesowej w \displaystyle\mathbb{R}).

Rozwiązanie

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla d_{\infty}:
Dla x,y\in\mathbb{R}^N mamy


\aligned d_{\infty}(x,y)=0 & \Longleftrightarrow \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\ & \Longleftrightarrow\big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big] \ \Longleftrightarrow\ x=y. \endaligned


Wobec tego, że |a-b|=|b-a|, dla x,y\in\mathbb{R}^N mamy


d_{\infty}(x,y) \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i| \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|y_i-x_i| \ =\ d_{\infty}(x,y)


zatem spełniony jest warunek symetrii.
Wobec tego, że |a-b|\le |a-c|+|c-b|, dla x,y,z\in\mathbb{R}^N mamy


\aligned d_{\infty}(x,z) & = \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-z_i| \ =\ \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i+y_i-z_i| \ \le\ \max_{i=1,\ldots, N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\ & \le \max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i| +\max_{i=1,\ldots, N}|y_i-z_i| \ =\ d_{\infty}(x,y)+d_{\infty}(y,z), \endaligned


zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem że d_{\infty} jest metryką w \displaystyle\mathbb{R}^N.

Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla d_1:
Dla x,y\in\mathbb{R}^N mamy


\aligned d_1(x,y)=0 & \Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|=0 \ \Longleftrightarrow\ |x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\ & \Longleftrightarrow \big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big] \ \Longleftrightarrow\ x=y. \endaligned


Dla x,y\in\mathbb{R}^N mamy


d_1(x,y) \ =\ \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i| \ =\ \sum_{i=1}^{N}|y_i-x_i| \ =\ d_1(x,y),


zatem spełniony jest warunek symetrii.
Dla x,y,z\in\mathbb{R}^N mamy


\aligned d_1(x,z) & = \sum_{i=1}^{N}|x_i-z_i| \ =\ \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i+y_i-z_i| \ \le\ \sum_{i=1}^{N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\ & = \sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i| +\sum_{i=1}^{N}|y_i-z_i| \ =\ d_1(x,y)+d_1(y,z), \endaligned


zatem pokazaliśmy warunek trójkąta. Wykazaliśmy zatem, że d_1 jest metryką w \displaystyle\mathbb{R}^N.



Odległość punktu od zbioru

Ćwiczenie 3.2.

Dla danej metryki d w \mathbb{R}^N można zdefiniować odległość punktu x od zbioru niepustego A jako infimum wszystkich odległości między x a punktami zbioru A, czyli

\mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ \inf_{z\in A}d(x,z).

Dany jest zbiór A=[0,1]\times[0,1]\subseteq\mathbb{R}^2 oraz dwa punkty x=(2,3) oraz y=(3,-2). Wyznaczyć
(a) odległość punktów x i y;
(b) \displaystyle\mathrm{dist}\, (x,A);

(c) kolejno w metrykach: euklidesowej d_2; taksówkowej d_1; maksimowej d_{\infty}.

Wskazówka

Należy wykonać rysunek zbioru A oraz wszystkich zadanych punktów w układzie współrzędnych. Przy liczeniu odległości punktów oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji poszczególnych metryk oraz rysunku.

Rozwiązanie

(1) Metryka euklidesowa d_2.

<flash>file=AM1.M03.C.R02.swf|width=375|height=375</flash>

Odległość euklidesowa

(a) Odległość punktów x i y

\begin{array}{lll} d_2(x,y)&=& d_2\big((2,3),(3,-2)\big)\\ &=&\sqrt{(2-3)^2+(3+2)^2}\ =\ \sqrt{26}. \end{array}

(b)

Odległość x od zbioru A jest realizowana w punkcie z=(1,1) (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od x do dowolnego innego punktu zbioru A jest większa, niż do z), zatem


\mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ d_2\big((2,3),(1,1)\big) \ =\ \sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2} \ =\ \sqrt{5}.


(2) Metryka taksówkowa d_1

(a) Odległość punktów x i y

d_1(x,y) \ =\ d_1\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ |2-3|+|3+2| \ =\ 6.


(b) Odległość x od zbioru A jest realizowana w punkcie z=(1,1) (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od x do dowolnego innego punktu zbioru A jest większa, niż do z), zatem


\mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ d_1\big((2,3),(1,1)\big) \ =\ |2-1|+|3-1| \ =\ 3.



(3) Metryka maksimowa d_{\infty}

(a) Odległość punktów x i y

d_{\infty}(x,y) \ =\ d_{\infty}\big((2,3),(3,-2)\big) \ =\ \max\big\{|2-3|,|3+2|\big\} \ =\ 5.


(b) Odległość x od zbioru A jest realizowana na przykład w punkcie z=(0,1) (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od x do dowolnego innego punktu zbioru A jest niemniejsza, niż do z), zatem


\mathrm{dist}\, (x,A) \ =\ d_2\big((2,3),(0,1)\big) \ =\ \max\big\{|2-0|,|3-1|\big\} \ =\ 2.


<flash>file=AM1.M03.C.R03.swf|width=375|height=375</flash>

Odległość taksówkowa

<flash>file=AM1.M03.C.R04.swf|width=375|height=375</flash>

Odległość maksimowa

Ćwiczenie 3.3.

Udowodnić, że dla każdego ciągu \displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N istnieje co najwyżej jedna granica, to znaczy:


\bigg[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_1\in \mathbb{R}^N \quad\textrm{i}\quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2\in \mathbb{R}^N \bigg] \ \Longrightarrow\ g_1=g_2.


Wskazówka

Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}d(g_1,g_2) w definicji granicy ciągu.

Rozwiązanie

<flash>file=AM1.M03.C.R05.swf|width=375|height=60</flash>

Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy N=1

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że

\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_1, \quad \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2 \quad\textrm{oraz}\quad g_1\ne g_2.


Niech \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}d(g_1,g_2). Wówczas \displaystyle\varepsilon>0 (gdyż założyliśmy, że g_1\ne g_2). Z definicji granicy ciągu wynika, że


\aligned \exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_1)<\varepsilon\,\\ \exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_2: && d(x_n,g_2)<\varepsilon\.  \endaligned


Niech N=\max \{N_1,N_2\}. Wówczas dla wyrazu x_N mamy:


d(g_1,g_2) \ \le\ d(g_1,x_N)+d(x_N,g_2) \ <\ \varepsilon+\varepsilon \ =2\varepsilon

sprzeczność. Zatem g_1=g_2.

<flash>file=AM1.M03.C.R06.swf|width=375|height=375</flash>

Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.3, gdy N=2

Ćwiczenie 3.4.

Udowodnić, że jeśli ciąg \displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N jest zbieżny, to jest ograniczony.


Wskazówka

Zastosować definicję granicy z ustalonym \displaystyle\varepsilon>0 (na przykład \displaystyle\varepsilon=1) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest ograniczony.

Rozwiązanie

Załóżmy, że \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g. Ustalmy \displaystyle\varepsilon=1. Z definicji granicy ciągu mamy


\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N: d(x_n,g)<1


(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od N-tego leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony). Niech teraz


R \ =\ \max\big\{ d(x_1,g),\ d(x_2,g),\ \ldots,\ d(x_N,g) \big\} +1.


Wówczas d(x_n,g)<R dla dowolnego n\in\mathbb{N}, czyli


\forall n\in \mathbb{N}: x_n\in K(g,R),


<flash>file=AM1.M03.C.R07.swf|width=375|height=375</flash>

Ilustracja do dowodu twierdzenia z ćwiczenia 3.4.

a to oznacza, że ciąg \displaystyle\{x_n\} jest ograniczony.

Ćwiczenie 3.5.

(1) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w \displaystyle\mathbb{R} takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.
(2) Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w \displaystyle\mathbb{R} takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.


Wskazówka

(1) Rozważyć zstępującą rodzinę przedziałów otwartych (to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny jest zawarty w poprzednim).
(2) Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych (to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny zawiera poprzedni).

Rozwiązanie

(1) Rozważmy przedziały otwarte \displaystyle U_n=\big(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\bigg) dla n\in\mathbb{N}. Wówczas


\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n \ =\ [0,1],


oraz przedział \displaystyle [0,1] nie jest zbiorem otwartym.

(2) Rozważmy przedziały domknięte \displaystyle F_n=\big[\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}\bigg]. Wówczas


\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n \ =\ (0,2),


oraz przedział \displaystyle (0,2) nie jest zbiorem domkniętym.

Ćwiczenie 3.6.

Zbadać, czy ciąg \displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb({R}^2,d_2) gdzie x_n=\bigg\{\frac{2+n}{n},n\bigg\}, spełnia warunek Cauchy'ego.

Wskazówka

Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu x_n i x_{n+1} dla dowolnego n\in\mathbb{N}.

Rozwiązanie

Zauważmy, że


d_2(x_n,x_{n+1}) \ =\ \sqrt{\underbrace{\bigg(\frac{2+n+1}{n+1}-\frac{2+n}{n}\bigg)^2}_{\ge 0}+(\underbrace{n+1-n}_{=1})^2} \ \ge\ 1,


a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego, gdyż dla dowolnie dużego n\in\mathbb{N} odległości między kolejnymi wyrazami ciągu są stale większe od 1.