Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 2: Funkcje elementarne

From Studia Informatyczne

Funkcje elementarne

Ćwiczenie 2.1.

Dana jest funkcja afiniczna \displaystyle f(x)=-x+2. Wyznaczyć:
a) odwrotność tej funkcji,
b) funkcję odwrotną do \displaystyle f,
c) złożenie \displaystyle f^2 =  f \circ f, \displaystyle f^3 = f\circ f \circ f, \displaystyle f^4 = f\circ f \circ f\circ f, \displaystyle f^9 = f\circ f \circ f\circ f\circ f \circ f\circ f\circ f \circ f.
d) Czy istnieje malejąca funkcja afiniczna \displaystyle g taka, że \displaystyle (g\circ g )(x)=4x+3?

Wskazówka

a) Co to jest odwrotność?
b) Wystarczy wyznaczyć \displaystyle y z równania \displaystyle x=f(y).
c) Skorzystać z definicji złożenia. Składanie funkcji jest łączne.
d) Niech \displaystyle g(x)=ax +b. Jakie warunki muszą spełniać współczynniki \displaystyle a i \displaystyle b, aby \displaystyle (g\circ g )(x)=4x+3?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością funkcji \displaystyle f jest funkcja \displaystyle  x\mapsto \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{-x+2}.
b) Wyznaczamy \displaystyle y z równania \displaystyle x=-y+2. Stąd \displaystyle g(x)=-x+2 jest funkcją odwrotną do \displaystyle f. A więc funkcją odwrotną do \displaystyle f jest \displaystyle f.
c) Funkcją odwrotną do \displaystyle f jest \displaystyle f, więc \displaystyle f\circ f =\mathrm{id}\,, gdzie \displaystyle \mathrm{id}\,: x\mapsto x oznacza odwzorowanie identycznościowe. Wobec tego \displaystyle f^3 =(f\circ f)\circ f=\mathrm{id}\,\circ f=f. Podobnie \displaystyle f^4=(f\circ f)\circ (f\circ f)=\mathrm{id}\, \circ \mathrm{id}\, =\mathrm{id}\,. Spostrzegamy, że:

\displaystyle f^n \ =\ \left\{\begin{array}{ll} f, &\textrm{ jeśli }n \textrm{ jest liczbą nieparzystą},\\ \mathrm{id}\,&\textrm{ jeśli }n \textrm{ jest liczbą parzystą},\end{array}\right .

wobec tego \displaystyle f^9=f.
d) Jeśli \displaystyle g(x)=ax+b, to \displaystyle (g\circ g)(x)=a(ax+b)+b=a^2 x+ab+b. Jeśli \displaystyle (g\circ g)(x)=4x+3, to współczynniki \displaystyle a, \displaystyle b muszą spełniać układ równań:

\displaystyle \left\{\begin{array}{l} a^2=4\\  (a+1)b=3,\end{array} \right.

który spełniają dwie pary liczb \displaystyle (a,b)\in\{(-2, -3), \ (2, 1)\}. Funkcja \displaystyle g_1 (x)=-2x-3 jest malejąca, a \displaystyle g_2 (x)=2x+1 jest rosnącą funkcją afiniczną.

Ćwiczenie 2.2.

Dana jest homografia \displaystyle  f(x)=\frac{x+1}{x-1}. Wyznaczyć:
a) odwrotność tej homografii,
b) homografię odwrotną,
c) złożenie \displaystyle f^2 =  f \circ f, \displaystyle f^3 = f\circ f \circ f, \displaystyle f^4 = f\circ f \circ f\circ f oraz \displaystyle f^{11} = f\circ f \circ f\circ f\circ f \circ f\circ f\circ f \circ f\circ f\circ f.
d) Czy istnieje homografia \displaystyle g: \mathbb{R}\mapsto \mathbb{R} taka, że \displaystyle g\circ g =f?

Wskazówka

a), b) c) Zastosować wskazówki do ćwiczenia 2.1.
d) Niech \displaystyle  g(x)=\frac{ax +b}{cx +d}. Zauważyć, że można przyjąć, że \displaystyle c=1 (dlaczego?). Jakie równania muszą spełniać współczynniki \displaystyle a, \ b, \ d, aby \displaystyle g\circ g=f?

Rozwiązanie

a) Odwrotnością danej homografii jest \displaystyle  x\mapsto\frac{1}{f(x)}=\frac{x-1}{x+1}.
b) Homografię odwrotną do \displaystyle f otrzymamy, wyznaczając \displaystyle x z równania \displaystyle  y=\frac{x+1}{x-1}. Stąd \displaystyle  x=\frac{y+1}{y-1}, czyli homografią odwrotną do \displaystyle f jest ta sama funkcja.
c) Skoro \displaystyle f^{-1}=f, więc - podobnie jak w ćwiczeniu 2.1. - złożenie \displaystyle f\circ f=\mathrm{id}\,, \displaystyle f^4=(f\circ f)\circ (f\circ f)=\mathrm{id}\, \circ \mathrm{id}\, =\mathrm{id}\,. Spostrzegamy, że:

\displaystyle f^n \ =\ \left\{\begin{array}{ll} f, &\textrm{ jeśli }n \textrm{ jest liczbą nieparzystą},\\ \mathrm{id}\,&\textrm{ jeśli }n \textrm{jest liczbą parzystą,}\end{array}\right .

wobec tego \displaystyle f^3=f, \displaystyle f^{11}=f.
d) Niech \displaystyle  g(x)=\frac{ax+b}{cx+d}. Współczynnik \displaystyle c\neq 0, gdyż w przeciwnym przypadku funkcja \displaystyle g byłaby afiniczna i złożenie \displaystyle g\circ g byłoby funkcją afiniczną, co nie jest możliwe. Skoro \displaystyle c\neq 0 możemy podzielić licznik i mianownik rozważanego ułamka przez stałą \displaystyle c i przyjąć, że \displaystyle c=1 to znaczy: \displaystyle  g(x)=\frac{ax+b}{x+d}. Wobec tego

\displaystyle \aligned (g\circ g)(x)=&g(g(x)) =\frac{ag(x)+b}{g(x)+d}\\=&\frac{a\frac{ax+b}{x+d}+b}{\frac{ax+b}{x+d}+d} =\frac{a(ax+b)+b(x+d)}{ax+b+d(x+d)}=\frac{(a^2+b)x+(ab+bd)}{(a+d)x+(b+d^2)}.\endaligned

Równość \displaystyle g\circ g=f zachodziłaby, gdyby odpowiednie współczynniki homografii \displaystyle g\circ g oraz \displaystyle f były równe,

\displaystyle 0\neq  a^2+b=b(a+d)=a+d=-(b+d^2).

Ale jest to niemożliwe, gdyż z równości \displaystyle b(a+d)=a+d wynika, że \displaystyle b=1, co pociąga za sobą w konsekwencji nierówność: \displaystyle 1\leq a^2 +1=a^2 +b=-(b+d^2)=-(1+d^2)\leq -1, która jest fałszywa. Nie ma więc takiej homografii \displaystyle g:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}, aby \displaystyle g\circ g=f.

Ćwiczenie 2.3.

Wyrazić w prostszej postaci:
a) \displaystyle \arcsin(\cos x), \displaystyle \arccos(\sin x),
b) \displaystyle \sin(\arccos x), \displaystyle \cos(\arcsin x),
c) \displaystyle \mathrm{arctg}\,(\mathrm{ctg}\, x), \displaystyle \mathrm{arc\,ctg}\,(\mathrm{tg}\, x ),
d) \displaystyle \mathrm{tg}\, (\mathrm{arc\,ctg}\, x ), \displaystyle \mathrm{ctg}\, (\mathrm{arctg}\, x ),
e) \displaystyle \sinh({\rm arcosh\, } x), \displaystyle \cosh({\rm arsinh\, } x).

Wskazówka

a) Skorzystać ze związku: \displaystyle \arccos x=\arcsin(-x)+\frac{\pi}{2}.
b) Skorzystać z jedynki trygonometrycznej.

Rozwiązanie

a) Zauważmy, że funkcja \displaystyle x\mapsto\arcsin(\cos x) jest określona w każdym punkcie zbioru liczb rzeczywistych i jest okresowa o okresie \displaystyle 2\pi. Wystarczy więc wyznaczyć jej wartości w jakimkolwiek przedziale postaci \displaystyle [a-\pi, a+\pi]. Funkcja cosinus jest parzysta, stąd złożenie \displaystyle x\mapsto\arcsin(\cos x) jest funkcją parzystą. Wystarczy więc rozważyć wyrażenie \displaystyle \arcsin(\cos x) w zbiorze \displaystyle 0\leq x\leq \pi. Jeśli \displaystyle 0\leq x\leq \pi, to różnica \displaystyle \frac{\pi}{2}-x\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Korzystając ze wzoru redukcyjnego: \displaystyle  \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right), otrzymujemy

\displaystyle \arcsin(\cos x)=\arcsin\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x,
dla \displaystyle 0\leq x\leq \pi. Wobec parzystości rozważanej funkcji mamy dla \displaystyle -\pi\leq x\leq\pi równość
\displaystyle \arcsin(\cos x)=\frac{\pi}{2}-|x|.

<flash>file=an1c02.0020.swf|width=375|height=270</flash>

Rysunek do ćwiczenia 2.3.(a)

<flash>file=an1c02.0030.swf|width=375|height=270</flash>

Rysunek do ćwiczenia 2.3.(a)


Funkcja \displaystyle x\mapsto \arccos(\sin x) ma okres \displaystyle 2\pi i jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Podobnie jak w poprzednim przykładzie określimy więc jej wartość w przedziale \displaystyle [-\pi, \pi]. Dzięki okresowości wystarczy to, aby określić jej wartość dla dowolnej liczby rzeczywistej \displaystyle x. Zauważmy, że funkcja \displaystyle  y\mapsto f(y)=\arccos y-\frac{\pi}{2} jest nieparzysta, więc \displaystyle f(-y)=-f(y), stąd

\displaystyle \arccos (-y)=\pi -\arccos y, dla |y|\leq\frac{\pi}{2}.

Rozumując jak poprzednio, na mocy wzoru

redukcyjnego równość: \displaystyle \sin x=\cos \bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg). Stąd

\displaystyle \arccos (\sin x)) \ =\ \arccos\bigg(\cos\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg)\bigg) \ =\ \frac{\pi}{2}-x,

dla \displaystyle  x\in \bigg[0, \frac{\pi}{2}\bigg]. Natomiast dla

\displaystyle  x\in \bigg[\frac{\pi}{2},\pi\bigg] mamy równość

\displaystyle \arccos (\sin x) \ =\ -\bigg(\frac{\pi}{2}-x\bigg) \ =\ x-\frac{\pi}{2}.

Stąd dla

\displaystyle  \bigg|x-\frac{\pi}{2}\bigg|\leq \frac{\pi}{2} mamy

\displaystyle \arccos (\sin x)) \ =\ \bigg|x-\frac{\pi}{2}\bigg|.

Korzystając teraz z nieparzystości

funkcji \displaystyle  y\mapsto \arccos y-\frac{\pi}{2} dla \displaystyle x\in [-\pi, 0], otrzymamy \displaystyle \arccos(\sin x)=\pi-\bigg|x+\frac{\pi}{2}\bigg|. Stąd ostatecznie dla \displaystyle x\in[-\pi, \pi] mamy

\displaystyle \arccos (\sin x)=\left\{\aligned &\frac{3\pi}{2}+x, &\textrm{ dla }& -\pi \leq x\leq-\frac{\pi}{2}\\ &\frac{\pi}{2}-x, &\textrm{ dla }& -\frac{\pi}{2} \leq x\leq \frac{\pi}{2}\\ &x-\frac{\pi}{2}, &\textrm{ dla }&+ \frac{\pi}{2} \leq x\leq \pi.\endaligned \right.

b) Niech \displaystyle y=\arccos x. Zatem \displaystyle \sin y\geq 0. Z jedynki trygonometrycznej: \displaystyle \sin^2 y=1-\cos^2 y=1-x^2. Stąd \displaystyle \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2} dla \displaystyle -1\leq x\leq 1.

Podobnie dostajemy równość: \displaystyle \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2} dla \displaystyle -1\leq x\leq 1.

c) Funkcja \displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\,(\mathrm{ctg}\, x) jest nieparzysta, gdyż jest złożeniem dwóch funkcji nieparzystych: \displaystyle x\mapsto \mathrm{ctg}\, x oraz \displaystyle u\mapsto \mathrm{arctg}\, u. Jest okresowa o okresie \displaystyle \pi wystarczy więc rozważyć ją np. na przedziale \displaystyle 0<x<\pi. Ze wzoru redukcyjnego mamy \displaystyle \mathrm{ctg}\, x=\mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2}-x\right), stąd

\displaystyle \mathrm{arctg}\,(\mathrm{ctg}\, x) \ =\ \mathrm{arctg}\,\left(\mathrm{tg}\,\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=\frac{\pi}{2}-x,

dla \displaystyle 0<x<\pi.

Podobnie \displaystyle x\mapsto \mathrm{arc\,ctg}\,(\mathrm{tg}\, x) jest nieparzysta, okresowa o okresie \displaystyle \pi. Wystarczy więc rozważyć ją np. w przedziale \displaystyle \bigg(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\bigg), gdzie zachodzi równość:

\displaystyle \mathrm{arc\,ctg}\,(\mathrm{tg}\, x)=\mathrm{arc\,ctg}\,(\mathrm{ctg}\,(\frac{\pi}{2}-x))=\frac{\pi}{2}-x.

d) Pamiętając, że \displaystyle \mathrm{tg}\, u=\frac{1}{\mathrm{ctg}\, u}, otrzymamy \displaystyle \mathrm{tg}\,(\mathrm{arc\,ctg}\, x)=\frac{1}{\mathrm{ctg}\,(\mathrm{arc\,ctg}\, x)}=\frac{1}{x}, dla \displaystyle x\neq 0.

Podobnie: \displaystyle \mathrm{ctg}\,(\mathrm{arctg}\, x)=\frac{1}{\mathrm{tg}\,(\mathrm{arctg}\, x)}=\frac{1}{x}, dla \displaystyle x\neq 0.

e) Z jedynki hiperbolicznej \displaystyle \sinh(u)=\sqrt{\cosh^2 u -1} dla \displaystyle u\geq 0. Po podstawieniu \displaystyle u:={\rm arcosh\, } x, dostajemy \displaystyle \sinh({\rm arcosh\, } x)=\sqrt{x^2-1}, dla \displaystyle x\geq 1.

Z kolei \displaystyle \cosh^2 v=1+\sinh^2v. Funkcja \displaystyle x\mapsto \cosh({\rm arsinh\, } x) jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych i jest parzysta. Mamy równość:

\displaystyle \cosh({\rm arsinh\, } x) \ =\ \sqrt{1+\sinh^2({\rm arsinh\, } x)} \ =\ \sqrt{1+x^2},

prawdziwą dla wszystkich liczb rzeczywistych \displaystyle x.

Ćwiczenie 2.4.

Wykazać, że dla dowolnych liczb \displaystyle x, \displaystyle y zachodzą równości:
a) \displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x \cosh y+\sinh x\sinh y,
b) \displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x \sinh y.

Wskazówka

a) Warto przekształcić wpierw prawą stronę równości, skorzystać z definicji funkcji \displaystyle \sinh oraz \displaystyle \cosh, wykonać mnożenie i zredukować wyrazy podobne.
b) Należy postąpić podobnie jak w punkcie a) zadania.

Rozwiązanie

a) Z definicji funkcji \displaystyle \sinh i \displaystyle \cosh mamy:

\displaystyle \aligned 4(\cosh x \cosh y+\sinh x\sinh y)&=(e^x+e^{-x} )(e^y+e^{-y} )(e^x-e^{-x} )(e^y-e^{-y} )\\ &=e^{x+y}+e^{x-y}+e^{-x+y}+e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}-e^{-x+y}+e^{-x-y}\\ &=2(e^{x+y}+e^{-(x+y)})\\ &=4\cosh(x+y), \endaligned

stąd \displaystyle \cosh x \cosh y+\sinh x\sinh y=\cosh(x+y).

b) Dokonując podobnych przekształceń jak w punkcie a), otrzymujemy:

\displaystyle \aligned 4(\sinh x \cosh y+\cosh x\sinh y)&=(e^x-e^{-x} )(e^y+e^{-y} )(e^x+e^{-x} )(e^y-e^{-y} )\\ &=e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}+^{-x+y}-e^{-x-y}\\ &=2(e^{x+y}-e^{-(x+y)})\\ &=4\sinh(x+y), \endaligned

stąd \displaystyle \sinh x \cosh y+\cosh x\sinh y=\sinh(x+y).

Ćwiczenie 2.5.

a) Niech \displaystyle T_n(x):=\cos(n\arccos x) dla \displaystyle n=0,1,2,.... Wykaż, że \displaystyle T_0(x)=1, \displaystyle T_1(x)=x oraz

\displaystyle T_{n+2}(x) \ =\ 2x T_{n+1}(x)-T_n (x),

dla \displaystyle n\geq 0.
b) Wykazać, że funkcja \displaystyle T_n(x)=\cos(n\arccos x) jest wielomianem zmiennej \displaystyle x, dla \displaystyle n=0,1,2,3,....

Wskazówka

a) Przekształcić \displaystyle T_{n+2} oraz \displaystyle T_{n+1}, wykorzystując wzory wyrażające sinus i cosinus sumy \displaystyle x+y, analogiczne do tych, które zostały wykazane w ćwiczeniu 2.4., a mianowicie:

\displaystyle \aligned \cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\ \sin(x+y)&=\sin x \cos y+\cos x\sin y. \endaligned

b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.

Rozwiązanie

a) Niech \displaystyle y:=\arccos x. Stosując znane wzory na cosinus i sinus sumy \displaystyle x+y oraz jedynkę trygonometryczną, otrzymamy

\displaystyle \aligned T_{n+2}(x)&=\cos(n y+2 y)\\ &=\cos(n y)\cos(2y)-\sin(n y)\sin(2y)\\ &=\cos(ny)(2\cos^2 y-1)-\sin(ny)2\sin y\cos y\\ &=T_n (x)(2x^2-1)-2 x \sin(n\arccos x) \sin (\arccos x), \endaligned

gdyż \displaystyle \cos y=\cos(\arccos x)=x oraz \displaystyle \cos ny=\cos(n\arccos x)=T_n(x). Przekształćmy także

\displaystyle \aligned T_{n+1}(x)&=\cos(n y+ y)\\ &=\cos(n y)\cos(y)-\sin(n y)\sin(y)\\ &=T_n (x) x-\sin(n\arccos x) \sin (\arccos x). \endaligned

Stąd \displaystyle \sin(n\arccos x) \sin (\arccos x)=x T_n (x)-T_{n+1}(x). Wobec tego

\displaystyle \aligned T_{n+2}(x)&=T_n (x)(2x^2-1)-2 x \sin(n\arccos x) \sin (\arccos x)\\ &=T_n (x)(2x^2-1)-2 x(x T_n (x)-T_{n+1}(x))\\ &=2x T_{n+1}(x)-T_{n}(x). \endaligned

b) Formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć \displaystyle T_{n+2} dla \displaystyle n=0,1,2,.... Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Funkcje \displaystyle T_0(x)=1 oraz \displaystyle T_1(x)=x są wielomianami zmiennej \displaystyle x, więc każda kolejna funkcja

\displaystyle \aligned T_2(x)&=2xT_1(x)-T_0(x)=2x^2-1,\\ T_3(x)&=2xT_2(x)-T_1(x)=4x^3-3x,\\ T_4(x)&=2xT_3(x)-T_2(x)=8x^4-8x^2+1,\\ T_5(x)&=2xT_4(x)-T_3(x)=16x^5-20x^3+5x, \ \ ... \endaligned

jest również wielomianem zmiennej \displaystyle x.

Ćwiczenie 2.6.

a) Niech \displaystyle U_n(x):=\cosh(n {\rm arcosh\, } x) dla \displaystyle n=0,1,2,.... Wykaż, że \displaystyle U_0(x)=1, \displaystyle U_1(x)=x oraz

\displaystyle U_{n+2}(x) \ =\ 2xU_{n+1}(x)-U_{n}(x),\quad

dla \displaystyle n\geq 0.

b) Wykazać, że funkcja \displaystyle U_n(x)=\cosh(n {\rm arcosh\, } x) jest wielomianem zmiennej \displaystyle x, dla \displaystyle n=0,1,2,3,....
c) Wykazać, że dla dowolnej liczby \displaystyle n=0,1,2,3,... istnieje wielomian \displaystyle W_n taki, że \displaystyle U_n oraz \displaystyle T_n są restrykcjami - odpowiednio do przedziałów \displaystyle [1, \infty) oraz \displaystyle [-1, 1] - wielomianu \displaystyle W_n.

Wskazówka

a) Warto uprościć \displaystyle U_{n+2} oraz \displaystyle U_{n+1}, wykorzystując wzory wykazane w ćwiczeniu 2.4.
b) Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Wykorzystać formułę z punktu a) zadania.
c) Porównać formuły z punktów b) w ćwiczeniu 2.5. i ćwiczeniu 2.6. Wyznaczyć dziedziny funkcji \displaystyle T_n oraz \displaystyle U_n.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle y:={\rm arcosh\, } x. Postępując podobnie jak w ćwiczeniu 2.5. tzn. stosując wykazane w ćwiczeniu 2.4. wzory na cosinus hiperboliczny i sinus hiperboliczny sumy \displaystyle x+y oraz jedynkę hiperboliczną, otrzymamy

\displaystyle \aligned U_{n+2}(x)&=\cosh(n y+2 y)\\ &=\cosh(n y)\cosh(2y)+\sinh(n y)\sinh(2y)\\ &=\cosh(ny)(2\cosh^2 y-1)+\sinh(ny)2\sinh y\cosh y\\ &=U_n (x)(2x^2-1)+2 x \sinh(n{\rm arcosh\, } x) \sinh ({\rm arcosh\, } x), \endaligned

gdyż \displaystyle \cosh y=\cosh({\rm arcosh\, } x)=x oraz \displaystyle \cosh(ny)=\cosh(n{\rm arcosh\, } x)=U_n(x). Przekształćmy także

\displaystyle \aligned U_{n+1}(x)&=\cosh(n y+ y)\\ &=\cosh(n y)\cosh(y)+\sinh(n y)\sinh(y)\\ &=U_n (x) x+\sinh(n{\rm arcosh\, } x) \sinh ({\rm arcosh\, } x). \endaligned

Stąd \displaystyle \sinh(n{\rm arcosh\, } x) \sinh ({\rm arcosh\, } x)=-x U_n (x)+U_{n+1}(x). Wobec tego

\displaystyle \aligned U_{n+2}(x)&=U_n (x)(2x^2-1)+2 x \sinh(n{\rm arcosh\, } x) \sinh ({\rm arcosh\, } x)\\ &=U_n (x)(2x^2-1)+2 x(-x U_n (x)+U_{n+1}(x))\\ &=2x U_{n+1}(x)-U_{n}(x). \endaligned

b) Zauważmy, że formuła wykazana w punkcie b) pozwala wyznaczyć \displaystyle U_{n+2} dla \displaystyle n=0,1,2,.... Iloczyn i suma wielomianów jest wielomianem. Ponadto funkcje \displaystyle U_0(x)=1 oraz \displaystyle U_1(x)=x są wielomianami zmiennej \displaystyle x, więc każda kolejna funkcja

\displaystyle \aligned U_2(x)&=2xU_1(x)-U_0(x)=2x^2-1,\\ U_3(x)&=2xU_2(x)-U_1(x)=4x^3-3x,\\ U_4(x)&=2xU_3(x)-U_2(x)=8x^4-8x^2+1,\\ U_5(x)&=2xU_4(x)-U_3(x)=16x^5-20x^3+5x, \ \ ... \endaligned

jest również wielomianem zmiennej \displaystyle x.
c) Formuły pozwalające wyznaczyć \displaystyle T_{n+2} oraz \displaystyle U_{n+2} są identyczne:

\displaystyle \aligned T_{n+2}(x)&=2x T_{n+1}(x)-T_{n}, \ \ T_{0}(x)=1, \ \ T_1 (x)=x,\\ U_{n+2}(x)&=2x U_{n+1}(x)-U_{n}, \ \ U_{0}(x)=1, \ \ U_1 (x)=x. \endaligned

Wielomiany \displaystyle T_n oraz \displaystyle U_n są więc zacieśnieniem -- odpowiednio do przedziałów \displaystyle [-1,1] oraz \displaystyle [1,\infty) - tego samego wielomianu
\displaystyle W_n, \displaystyle n=0,1,2,.... Zwróćmy uwagę na fakt, że dziedziną każdej z funkcji \displaystyle T_n(x)=\cos(n\arccos x) jest przedział \displaystyle [-1,1] a dziedziną funkcji \displaystyle U_n(x)=\cosh(n{\rm arcosh\, } x) - przedział \displaystyle [1, +\infty). Stąd formalnie równość funkcji \displaystyle T_n (x)=U_n (x) ma sens w części wspólnej obu dziedzin, tj. w punkcie \displaystyle x=1.