Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 14: Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

From Studia Informatyczne

14. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej

Ćwiczenie 14.1.

Obliczyć następującą całkę, korzystając z definicji:

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_0^1 x\,dx.


Wskazówka

Należy zauważyć najpierw, że ta całka istnieje. Gdy już to wiemy, wystarczy policzyć granicę ciągu sum całkowych dla dogodnie wybranego ciągu podziałów normalnych.

Rozwiązanie

Ponieważ funkcja \displaystyle  f(x) jest ciągła na przedziale \displaystyle  \displaystyle [0,1], więc całka Riemanna z tej funkcji istnieje (patrz twierdzenie 14.10). Niech \displaystyle  \displaystyle\{P_n\} będzie ciągiem podziałów przedziału \displaystyle  \displaystyle [0,1], gdzie \displaystyle  P_n jest podziałem odcinka \displaystyle  \displaystyle [0,1] na \displaystyle  n równych pododcinków, tzn.

\displaystyle  P_n:\ 0 \ =\ x_0 \ <\ x_1 \ <\ \ldots \ <\ x_n \ =\ 1,

gdzie \displaystyle  \displaystyle x_i=\frac{i}{n} dla \displaystyle  i=0,1,\ldots,n. Obliczmy dolną sumę całkową odpowiadającą podziałowi \displaystyle  P_n:

\displaystyle  L(f,P_n) \ =\ \sum_{i=1}^n \Delta x_i\cdot m_i(f,P_n),

gdzie,

\displaystyle  m_i(f,P_n) \ =\ \inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x) \ =\ \frac{i-1}{n},

zatem

\displaystyle  L(f,P_n) \ =\ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\cdot\frac{i-1}{n} \ =\ \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n (i-1) \ =\ \frac{1}{n^2}\frac{n(n-1)}{2}.

Całka wynosi zatem

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_0^1 f(x)\,dx \ =\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}\frac{n(n-1)}{2} \ =\ \frac{1}{2}.

<flash>file=Am1.M14.C.R01a.swf|width=375|height=375</flash>

Suma całkowa dla podziału P_2

<flash>file=Am1.M14.C.R01b.swf|width=375|height=375</flash>

Suma całkowa dla podziału P_3

<flash>file=Am1.M14.C.R01c.swf|width=375|height=375</flash>

Suma całkowa dla podziału P_4

<flash>file=Am1.M14.C.R01d.swf|width=375|height=375</flash>

Suma całkowa dla podziału P_5

Odpowiedź: Całka wynosi \displaystyle  \displaystyle \frac{1}{2}.

Ćwiczenie 14.2.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji okrąg \displaystyle  f(x)=\sqrt{x} i \displaystyle  g(x)=x^2.


Wskazówka

Wykonać rysunek. Skorzystać z geometrycznej interpretacji całki.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R02.swf|width=375|height=375</flash>

Obszar ograniczony wykresami funkcji g(x)=x^2 i f(x)=\sqrt{x}

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Pole tego obszaru jest równe różnicy pól pod wykresami obu

zadanych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla \displaystyle  \displaystyle x=1. Mamy zatem

\displaystyle  P \ =\ 2\bigg( \displaystyle\int\limits_0^1 \sqrt{x}\,dx - \displaystyle\int\limits_0^1 x^2\,dx \bigg) \ =\ \bigg[\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}\bigg]_0^1 \ =\ \frac{2}{3}-\frac{1}{3} \ =\ \frac{1}{3}.

Odpowiedź:

Pole rozważanego obszaru wynosi \displaystyle  \displaystyle \frac{1}{3}.

Ćwiczenie 14.3.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji \displaystyle  \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, osią \displaystyle  Oy oraz prostymi \displaystyle  x=0 i \displaystyle  x=1.


Wskazówka

Wykonać rysunek. Zauważyć, że obszar jest nieograniczony i licząc pole, będziemy mieli do czynienia z całką niewłaściwą.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R03.swf|width=375|height=375</flash>

Obszar ograniczony wykresem funckji f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} osią Oy oraz prostymi x=0 i x=1

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Pole tego obszaru jest równe polu pod wykresem

funkcji \displaystyle  \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} dla \displaystyle  x\in(0,1]. Mamy zatem

\displaystyle  P \ =\ \displaystyle\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \ =\ 2\sqrt{x}\bigg|_0^1 \ =\ 2.

Zwróćmy tutaj uwagę, że całka

\displaystyle  \displaystyle \int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx jest niewłaściwa, gdyż \displaystyle  \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty. Powyższy zapis jest skróconą wersją zapisu z definicji całki niewłaściwej:

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \ =\ \lim_{a'\rightarrow 0^+}2\sqrt{x}\bigg|_{a'}^1.

Odpowiedź:

Pole rozważanego obszaru wynosi \displaystyle  2.

Ćwiczenie 14.4.

Obliczyć pole mniejszego z obszarów ograniczonego przez okrąg \displaystyle  x^2+y^2=1 oraz wykres funkcji \displaystyle  f(x)=|x|.


Wskazówka

Zauważyć, że obszar ten jest ograniczony od góry i od dołu wykresami pewnych funkcji. Wykorzystać symetrię obszaru. Wykonać rysunek.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R04.swf|width=375|height=375</flash>

Wycinek koła

Narysujmy obszar, którego pole należy obliczyć:

Obszar jest symetryczny względem osi \displaystyle  Oy, więc wystarczy

obliczyć pole połowy obszaru (dla \displaystyle  x\ge 0). Obszar leży między wykresami funkcji \displaystyle  f(x)=x oraz \displaystyle  \displaystyle g(x)=\sqrt{1-x^2}, zatem jego pole jest równe różnicy pól pod wykresami obu powyższych funkcji. Zauważmy, że funkcje te przecinają się dla \displaystyle  \displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}. Mamy zatem

\begin{array}{lll} \displaystyle  P & = &\displaystyle  2\bigg( \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sqrt{1-x^2}\,dx - \displaystyle\int\limits_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} x\,dx \bigg)\\ & = &\displaystyle  2\bigg[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}\arcsin x-\frac{x^2}{2}\bigg]_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \ =\ 2\frac{\sqrt{2}}{4}\sqrt{1-\frac{1}{2}} +\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2} \ =\ \frac{\pi}{4}. \end{array}

Na zakończenie zauważmy, że rozważanym obszarem jest ćwiartka

koła, której pole wynosi \displaystyle  \displaystyle\frac{1}{4}\cdot \pi.
Odpowiedź: Pole rozważanego obszaru wynosi \displaystyle  \displaystyle\frac{\pi}{4}.

Ćwiczenie 14.5.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi opisanymi przez: \displaystyle  y=x,\displaystyle y=2x,\displaystyle xy=1 i \displaystyle  xy=2 (dla \displaystyle  x>0 i \displaystyle  y>0).


Wskazówka

Wykonać rysunek obszaru. Podzielić obszar na kilka obszarów, z których każdy leży między wykresami pewnych funkcji.

Rozwiązanie

<flash>file=Am1.M14.C.R05.swf|width=375|height=375</flash>

Obszar ograniczyny krzywymi y=x, y=2x, xy=1 i xy=2

Rozważany obszar znajduje się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. W celu opisania tego obszaru wyznaczmy punkty przecięcia krzywych ograniczających obszar. Kolejno rozwiązując układy równań:

\displaystyle  \left\{ \begin{array} {l} y=x\\ xy=1 \end{array}  \right. \quad \left\{ \begin{array} {l} y=x\\ xy=2 \end{array}  \right. \quad \left\{ \begin{array} {l} y=2x\\ xy=1 \end{array}  \right. \quad \left\{ \begin{array} {l} y=2x\\ xy=2 \end{array}  \right.

otrzymujemy punkty przecięcia:

\displaystyle  A:\ \left\{ \begin{array} {l} x=1\\ y=1 \end{array}  \right. \quad B:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\sqrt{2}\\ y=\sqrt{2} \end{array}  \right. \quad C:\ \left\{ \begin{array} {l} x=1\\ y=2 \end{array}  \right. \quad D:\ \left\{ \begin{array} {l} x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ y=\sqrt{2} \end{array}  \right.

Zatem rozważany obszar możemy podzielić na dwa obszary normalne:

\displaystyle  D_1 \ =\ \bigg\{(x,y):\ \frac{\sqrt{2}}{2}\le x\le 1,\ \frac{1}{x}\le y\le 2x\bigg\},

D_2 \ =\ \bigg\{(x,y):\ 1\le x\le \sqrt{2},\ x\le y\le \frac{2}{x}\bigg\}.

Zatem pole rozważanego obszaru wynosi:

\begin{array}{lll} \displaystyle  P & = &\displaystyle  |D_1|+|D_2| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1\bigg[2x-\frac{1}{x}\bigg]\,dx +\displaystyle\int\limits_1^{\sqrt{2}}\bigg[\frac{2}{x}-x\bigg]\,dx\\ &=& \bigg[x^2-\ln x\bigg]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 +\bigg[2\ln x-\frac{1}{2}x^2\bigg]_1^{\sqrt{2}}\\ & = &\displaystyle  1-\frac{1}{2}+\ln\frac{\sqrt{2}}{2} +2\ln \sqrt{2}-1+\frac{1}{2} \ =\ \ln \sqrt{2}. \end{array}

Odpowiedź:

Pole rozważanego obszaru wynosi \displaystyle  \displaystyle\ln\sqrt{2}.

Ćwiczenie 14.6.

Zbadać zbieżność szeregu liczbowego \displaystyle  \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n}


Wskazówka

Wykorzystać kryterium całkowe zbieżności szeregów.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że funkcją \displaystyle  \displaystyle f(x)=\frac{1}{x\ln x} jest malejąca w przedziale \displaystyle  \displaystyle [2,+\infty) (jako odwrotność funkcji dodatniej, rosnącej) oraz \displaystyle  \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0. Możemy zatem skorzystać z kryterium całkowego zbieżności szeregów, z którego wynika, że zbieżność szeregu \displaystyle  \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} jest równoważna zbieżności całki \displaystyle  \displaystyle\displaystyle\int\limits_2^{\infty} f(x)\,dx. Zatem liczymy całkę (stosując podstawienie)

\displaystyle  \displaystyle\int\limits_2^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx \ =\ \left| \begin{array} {rcl} \ln x                    & = & t\\ \displaystyle\frac{1}{x} & = & \,dt \end{array}  \right| \ =\ \displaystyle\int\limits_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{t}\,dt \ =\ \ln |t|\bigg|_{\ln 2}^{\infty} \ =\ +\infty.

Na mocy kryterium całkowego, szereg \displaystyle  \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} jest rozbieżny.

Odpowiedź: Szereg \displaystyle  \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\ln n} jest rozbieżny.