Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy

From Studia Informatyczne

Kombinacje liniowe, układy i zbiory liniowo niezależne, układy i zbiory generujące.

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \mathbb K.

Kombinacją liniową wektorów v_1,..., v_n\in V nazywamy wyrażenie


\lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n,      (1.1)


gdzie \lambda _1,...,\lambda _n są skalarami z ciała \mathbb K. Wartością kombinacji liniowej (1.1) nazywamy wektor równy \lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n. Skalary \lambda _1,...,\lambda _n nazywamy współczynnikami kombinacji liniowej (1.1). Kombinację liniową nazywamy trywialną, jeśli wszystkie jej współczynniki są zerami. Kombinację liniową nazywamy zerową, jeśli jej wartość jest wektorem zerowym. Każda kombinacja liniowa trywialna jest zerowa. Oczywiście nie każda kombinacja zerowa jest trywialna. Na przykład, kombinacja liniowa 1\cdot v+(-1)\cdot v jest zerowa i nietrywialna.

W praktyce mówimy, że wektor v jest kombinacją liniową pewnych wektorów mając na myśli to, że jest wartością tej kombinacji.

Wprowadzimy teraz fundamentalne dla naszego wykładu pojęcie liniowej niezależności.

Definicja 1.1 [Liniowa niezależność]

Mówimy, że ciąg wektorów v_1,..., v_n przestrzeni wektorowej V jest liniowo niezależny, jeśli spełniona jest następująca implikacja:

Jeżeli \lambda _1v_1+...\lambda _nv_n =0 dla pewnych skalarów \lambda _1,...,\lambda _n, to wszystkie te skalary muszą być zerami.

Innymi słowy, ciąg v_1,...,v_n jest liniowo niezależny, jeżeli każda jego kombinacja liniowa, która jest zerowa, jest trywialna. Kolejność wektorów w ciągu v_1,..., v_n jest w tej definicji nieistotna. Zamiast mówić o ciągach liniowo niezależnych, mówimy o układach liniowo niezależnych. Słowo układ zawiera najczęściej w sobie informację, że kolejność jego elementów jest nieistotna. Mówimy też o zbiorach liniowo niezależnych. Jasne jest, co to znaczy, że skończony zbiór jest liniowo niezależny. Różnica między zbiorem skończonym a układem jest taka, że w układzie mogą się pojawić wektory jednakowe.

Zbiór pusty uznajemy za liniowo niezależny.

Mówimy, że dowolny zbiór (niekoniecznie skończony) jest liniowo niezależny, jeśli każdy jego podzbiór skończony jest liniowo niezależny. Definicja taka nie prowadzi do żadnej sprzeczności z definicją liniowej niezależności w przypadku zbiorów skończonych, ponieważ zachodzi następujący lemat

Lemat 1.2 [Podukład]

Niech v_1,...v_n będzie układem liniowo niezależnym. Wtedy każdy jego podukład jest też liniowo niezależny.

Dowód

Można założyć, że dany podukład składa się z wektorów v_1,..., v_k, gdzie k<n. Niech \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k=0. Wtedy


\lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k+0\cdot v_{k+1}+...+0\cdot v_{n}=0.


Korzystając teraz z liniowej niezależności wektorów v_1,...,v_n dostajemy, że wszystkie współczynniki \lambda _1,...,\lambda _k są zerami.

image:End_of_proof.gif

Mówimy, że wektory v_1,...,v_nliniowo zależne, jeśli nie są liniowo niezależne. A zatem, wektory v_1,...,v_n są liniowo zależne, jeśli istnieją skalary \lambda_1,...,\lambda _n\in \mathbb K, nie wszystkie równe zeru takie, że \lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n =0. Wtedy pewien wektor wśród v_1,..., v_n mianowicie każdy, przy którym współczynnik w kombinacji \lambda _1v_1+...+\lambda _nv_n=0 jest niezerowy) da się przedstawić jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów. Przypuśćmy, że \lambda _1\ne 0. Wtedy


v_1=-{{\lambda _2}\over{\lambda _1}}v_2-...-{{\lambda _n}\over{\lambda _1}}v_n.


Podkreślmy, że liniowa zależność wektorów v_1,...,v_n nie oznacza, że każdy wektor wśród v_1,...v_n jest kombinacją liniową pozostałych wektorów.



Liniowa zależność wektorów na płaszczyźnie

Każdy układ zawierający 0 lub dwa jednakowe wektory jest liniowo zależny. Ponadto, układ dwóch wektorów u,v\in V jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są proporcjonalne, tzn. v=\lambda u lub u=\gamma v dla pewnych \lambda, \gamma \in \mathbb K. Sprawdzenie tych faktów pozostawiamy jako ćwiczenie.

Niech teraz A będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni V. Bierzemy rodzinę wszystkich podprzestrzeni wektorowych zawierających podzbiór A. Rodzina ta jest niepusta, bo cała przestrzeń V należy do tej rodziny. A zatem przecięcie wszystkich zbiorów tej rodziny jest podprzestrzenią wektorową zawierającą A (najmniejszą w sensie inkluzji). Oznaczmy tę podprzestrzeń symbolem \textnormal lin A. Jeżeli A jest zbiorem pustym, wtedy \textnormal lin A=\{0\}. Jeżeli W=\textnormal lin A, to mówimy, że A generuje (rozpina) podprzestrzeń W. Oczywiście można też mówić o układzie A i podprzestrzeni generowanej przez ten układ. Jest oczywiste, że jeśli A\subset B, to \textnormal lin A\subset\textnormal lin B. Jeśli W jest podprzestrzenią wektorową, to \textnormal lin\, W =W, a zatem dla dowolnego podzbioru A mamy równość \textnormal lin (\textnormal lin A)=\textnormal lin A.

Twierdzenie 1.3 [Span]

Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni wektorowej V. Wtedy


\textnormal lin A= \{ \lambda _1v_1+...+\lambda _kv_k\, |\  v_1,...,v_k\in A;\ \lambda _1,...,\lambda _k\in \mathbb K;\ k\in \mathbb N\}      (1.2)



Podprzestrzeń generowana przez zbiór

Dowód

Łatwo można sprawdzić, że zbiór znajdujący się po prawej stronie równości(1.2) jest podprzestrzenią wektorową zawierającą A. A zatem \span A zawiera się w tym zbiorze. Odwrotnie, jest oczywiste, że każdy element tego zbioru (wartość kombinacji liniowej pewnych wektorów zbioru A) jest elementem podprzestrzeni wektorowej \textnormal lin A.

image:End_of_proof.gif

W dalszym ciągu będziemy wykorzystywali następujące lematy.

Lemat 1.4

Niech v_1,..., v_n będą wektorami liniowo niezależnymi i w\notin \textnormal lin \{v_1,...,v_n\}. Wtedy wektory v_1,...,v_n, w są liniowo niezależne.

Dowód

Niech


{\lambda _1}v_1+...+{\lambda _n}v_n +\lambda w=0.


Gdyby \lambda\ne 0, to wektor w byłby kombinacją liniową wektorów v_1,...,v_n, a zatem należałby do \textnormal lin \{v_1,...,v_n \}, co byłoby sprzeczne z założeniem. A więc \lambda =0 i w konsekwencji mamy zerową kombinację liniową wektorów liniowo niezależnych v _1,...,v_n. A zatem wszystkie \lambda _1, ..., \lambda _n są zerami.

image:End_of_proof.gif

Lemat 1.5

Niech wektor w będzie kombinacją liniową wektorów v_1,...v_n, t.j. w=\lambda _1v_1 +...+\lambda _n v_n, dla pewnych skalarów \lambda _1,...,\lambda _n. Jeżeli \lambda _1\ne 0, to


\textnormal lin \{ v_1,...,v_n\} =\textnormal lin \{w,v_2,...,v_n\}.


Dowód

Ponieważ w jest kombinacją liniową wektorów v_1,...v_n, więc \textnormal lin \{w,v_2,...,v_n\}\subset \textnormal lin \{ v_1,...,v_n\}.

Z drugiej strony, ponieważ \lambda _1\ne 0, więc


v_1 ={1\over {\lambda _1}}w- {{\lambda _2}\over {\lambda _1}}v_2- ...-{{\lambda _n}\over {\lambda _1}}v_n.


Zatem każda kombinacja liniowa wektorów v_1,...v_n jest też kombinacją liniową wektorów w,v_2,...,v_n.

image:End_of_proof.gif

Twierdzenie 1.6

Niech w_1,...,w_m, v_1,...v_n będą wektorami przestrzeni V. Jeżeli w_1,...,w_m są liniowo niezależne oraz w_1,..., w_m \in \textnormal lin \{v_1,...,v_n\}, to m\le n.

Dowód

Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że m>n. Wektor w_1 jest kombinacja liniową wektorów v_1,...,v_n. Po ewentualnym spermutowaniu wektorów v_1,...,v_n, możemy przyjąć, że w tej kombinacji współczynnik przy v_1 jest różny od 0. Z powyższego lematu mamy, że


\textnormal lin \{w_1,v_2,...,v_n\}=\textnormal lin \{v_1,...,v_n\}.


Ponieważ w_2 należy do tej przestrzeni, więc jest kombinacją liniową wektorów w_1,v_2,...,v_n. W kombinacji tej przynajmniej jeden ze współczynników przy wektorach v_2,...,v_n musi być różny od zera. W przeciwnym bowiem przypadku, w_1,w_2 byłyby liniowo zależne. Po ewentualnym spermutowaniu wektorów v_2,...,v_n możemy założyć, że współczynnik przy v_2 jest różny od zera. A zatem, korzystając z Lematu 1.5, dostajemy, że


\textnormal lin \{w_1,w_2,v_3,...,v_n \}=\textnormal lin \{v_1,...,v_n\}.


Postępujemy podobnie dalej, tzn. zastępujemy kolejne wektory v_3,... wektorami w_3,.... Ponieważ założyliśmy, że m>n, więc dochodzimy do sytuacji, gdy \textnormal lin \{w_1,...w_n\}= \textnormal lin\{v_1,...v_n\}. Oznacza to sprzeczność, gdyż wektor w_{n+1} musiałby być kombinacją liniową wektorów w_1,...,w_n.

image:End_of_proof.gif

Baza i wymiar przestrzeni

Wprowadzimy teraz kolejne fundamentalne dla naszego wykładu pojęcie.

Definicja 2.1 [Baza]

Mówimy, że podzbiór (lub układ, lub ciąg) A przestrzeni wektorowej V jest bazą tej przestrzeni, jeśli jest liniowo niezależny i generuje V.

Bazą przestrzeni zerowej jest zbiór pusty.

Twierdzenie 2.2 [Baza]

Załóżmy, że wektory v_1,...,v_n generują przestrzeń wektorową V. Z wektorów v_1,..., v_n można wybrać bazę przestrzeni V.

Dowód

Weźmy wszystkie podukłady układu v_1,...,v_n i wśród tych, które są liniowo niezależne, wybierzmy maksymalny, czyli o maksymalnej długości. (Taki podukład nie musi być jedyny.) Możemy założyć, że v_1,...,v_m jest takim podukładem. Twierdzimy, że jest to baza V. Gdyby bowiem nie była to baza, to któryś z pozostałych wektorów v_{m+1},..., v_n, powiedzmy v_{m+1}, nie byłby kombinacją liniową wektorów v_1,...,v_m. A zatem wektory v_1,...,v_{m+1} byłyby liniowo niezależne, na podstawie Lematu 1.4. Oznacza to, że podukład v_1,...,v_m nie byłby maksymalnym podukładem liniowo niezależnym.

image:End_of_proof.gif

Definicja 2.3 [Skończona wymiarowość]

Mówimy, że przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarowa, jeśli ma skończony układ generujący.}

Z powyższych twierdzeń wynika następujący wniosek

Twierdzenie 2.4

Przestrzeń skończenie wymiarowa V ma bazę.

Wykażemy ponadto

Twierdzenie 2.5

W przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie bazy są równoliczne, czyli mają tyle samo elementów.

Dowód

Niech B_1=\{e_1,..., e_n\} będzie skończoną bazą przestrzeni V, a zatem, skończonym zbiorem generującym V. Załóżmy, że B_2 jest inną bazą tej przestrzeni. Wtedy każdy skończony podzbiór B_2 jest liniowo niezależny. Z Twierdzenia 1.6 wynika, że każdy taki podzbiór ma co najwyżej n elementów. Oznacza to, że zbiór B_2 jest skończony i ma co najwyżej n elementów. Zamieńmy teraz rolami bazy B_1 i B_2. Potraktujmy B_2 jako zbiór generujący V, zaś B_1 jako zbiór liniowo niezależny. I znowu z Twierdzenia 1.6 wynika, że zbiór B_1 ma co najwyżej tyle elementów co zbiór B_2.

image:End_of_proof.gif

Na podstawie powyższego twierdzenia możemy podać następującą definicję wymiaru przestrzeni skończenie wymiarowej.

Definicja 2.6 [Wymiar]

Wymiarem przestrzeni skończenie wymiarowej nazywamy liczbę wektorów pewnej (lub, co na jedno wychodzi, każdej) bazy tej przestrzeni. Wymiar przestrzeni V oznaczamy symbolem \dim V.

Kolejne twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją powyższych rozważań.

Wniosek 2.7

Przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy ma bazę skończoną. Jeżeli e_1,...,e_n jest bazą przestrzeni V, to każdy wektor v przestrzeni V da się w sposób jednoznaczny przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów e_1,...,e_n.

Dowód

Sprawdźmy jednoznaczność w ostatniej tezie. Jeśli e_1,...,e_n jest ustaloną bazą i v=\lambda _1e_1+...\lambda_ne_n oraz v=\lambda' _1e_1+...\lambda'_ne_n, to (\lambda_1 -\lambda' _1)e_1+...+(\lambda_n-\lambda'_n)e_n=0. Z liniowej niezależności wektorów bazy dostajemy, że \lambda _i=\lambda'_i dla każdego i=1,...n.

image:End_of_proof.gif

Jeżeli mamy bazę e_1,...,e_n przestrzeni wektorowej V i wektor v=\lambda _1e_1+...+\lambda _ne_n, to skalary \lambda _1,...,\lambda _n nazywamy współrzędnymi wektora v w bazie e_1,..., e_n.

Najważniejszym i najłatwiejszym przykładem bazy jest tak zwana baza kanoniczna przestrzeni \mathbb K ^n. Mianowicie, baza ta jest ciągiem


(1,0,...,0 ), \ \ (0,1,0, ...,0),\ \  ...\ \ , (0,...,0,  1).


Bardzo często kolejność wektorów bazy jest istotna. Aby to podkreślić, mówimy, że baza jest uporządkowana. Baza kanoniczna jest uporządkowana w naturalny sposób.

Twierdzenie 2.8

Niech v_1,...,v_m będzie układem liniowo niezależnym w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Układ ten można uzupełnić do bazy, a zatem istnieje baza przestrzeni V zawierająca dany układ liniowo niezależny.

Dowód

Niech W_1 =\textnormal lin \{ v_1,..., v_m\}. Jeżeli W_1\ne V, to istnieje wektor v_{n+1} w V, który nie należy do W_1. Wtedy, na podstawie Lematu 1.4, zbiór v_1,...,v_n, v_{m+1} jest liniowo niezależny. Jeśli zbiór ten nie jest bazą V, postępujemy tak jak poprzednio. To znaczy, bierzemy wektor v_{m+2}\notin \textnormal lin \{v_1,...,v_n,v_{n+1}\} i dołączamy go do poprzednich wektorów. Postępując tak skończoną ilość razy otrzymujemy bazę przestrzeni V.

image:End_of_proof.gif

Z twierdzenia tego wynika natychmiast

Wniosek 2.9

Każda podprzestrzeń W przestrzeni skończenie wymiarowej V jest skończenie wymiarowa i jej wymiar jest nie większy od wymiaru przestrzeni V. Bazę e_1,...,e_n przestrzeni V można wybrać w ten sposób, że pierwsze jej wektory e_1,..., e_m stanowią bazę podprzestrzeni W.

Dowód

Niech e_1,...,e_m będzie bazą przestrzeni W. Baza ta jest zbiorem liniowo niezależnym w V, a zatem, na podstawie Twierdzenia 2.8, można ten zbiór uzupełnić do bazy całej przestrzeni V. image:End_of_proof.gif

Zauważmy jeszcze, że jeśli V jest przestrzenią skończenie wymiarową a U jest jej podprzestrzenią taką, że \dim U=\dim V, to V=U. Istotnie, wybierzmy pewną, powiedzmy n-elementową, bazę przestrzeni U. Rozrzerzmy ją do bazy przestrzeni wektorowej V. Ale ta rozrzerzona baza też musi mieć n elementów, a zatem wybrana baza przestrzeni U jest też bazą przestrzeni V. To oczywiście implikuje, że U=V.

Jeżeli mamy zbiór (lub układ wektorów) A przestrzeni wektorowej V i podprzestrzeń \textnormal lin A jest skończenie wymiarowa, to rzędem A nazywamy liczbę \dim\textnormal lin A. Rząd A oznaczać będziemy symbolem \textnormal rk A.

Twierdzenie 2.10

Niech U, W będą podprzestrzeniami przestrzeni skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Zachodzi wtedy wzór


\dim (U+W) =\dim U+\dim W - \dim (U\cap W).


Dowód

Wiemy już, że przestrzenie U, W, U\cap W są skończenie wymiarowe.

Niech e_1,...,e_m będzie bazą U\cap W. Na podstawie Twierdzenia 2.8 wiemy, że układ ten można rozszerzyć do bazy przestrzeni U oraz do bazy przestrzeni W.

Oznaczmy te bazy przez e_1,...,e_m, e_{m+1} ...e_{n_1} oraz e_1,..., e_m,e'_{m+1},..., e'_{n_2} odpowiednio. Twierdzimy, że zbiór

image:End_of_proof.gif

e_1,...,e_m, e_{m+1},..., e_{n_1},e'_{m+1},..., e'_{n_2}      (2.3)


jest bazą przestrzeni U+W.

Sprawdźmy najpierw generowanie. Niech v\in U + W. Wtedy v=u+w, gdzie u\in U i w\in W. Istnieją skalary \alpha _1,..., \alpha _{n_1} oraz \beta _1,..., \beta _{n_2} takie, że


u=\alpha _1 e_1+...+\alpha _{n_1} e_{n_1},


w =\beta _1 e_1+...+\beta _m e_m  + \beta _{m+1}e'_{m+1}+...+\beta _{n_2} e'_{n_2}.


Wobec tego


v=(\alpha _1+\beta _1) e_1+...+ (\alpha _m +\beta _m)e_m + \alpha _{m+1}e_{m+1}+ ...+\alpha _{n_1} e_{n_1}


+\beta _{m+1}e'_{m+1}+...+\beta _{n_2} e'_{n_2}.


Sprawdzimy teraz liniową niezależność układu (2.3). Niech


0=\lambda _1 e_1+...+ \lambda _m e_m + \lambda _{m+1}e_{m+1}+ ...+\lambda _{n_1} e_{n_1} + \lambda ' _{m+1}e'_{m+1}+...+\lambda ' _{n_2} e'_{n_2}.      (2.4)


Oznaczmy przez w wektor \lambda ' _{m+1}e'_{m+1}+...+\lambda '_{n_2} e'_{n_2}, zaś przez u wektor \lambda _1 e_1+...+\lambda _m e_m + \lambda _{m+1}e_{m+1}+ ...+\lambda _{n_1}e_{n_1}. Wtedy u=-w. Wektor u należy do U, a wektor w do W. A zatem obydwa te wektory należą do podprzestrzeni U\cap W. Oznacza to, że w =\gamma _1e_1+... +\gamma _m e_m i w konsekwencji mamy


\gamma _1e_1+... +\gamma _m e_m -(\lambda ' _{m+1}e'_{m+1}+...+\lambda ' _{n_2} e'_{n_2})=0.


Z liniowej niezależności układu e_1,...,e_m,e'_{m+1},..., e'_{n_2} dostajemy, że skalary \lambda '_{m+1},..., \lambda '_{n_2} są równe zeru. Wracając teraz do równości (2.4) i korzystając z liniowej niezależności układu e_1,..., e_{n_1} otrzymujemy, że \lambda _1,...,\lambda _{n _1} są również równe zeru. Dowód został zakończony.


Wróćmy teraz do pojęcia sumy prostej zdefiniowanego w poprzednim wykładzie.

Na podstawie Twierdzenia 2.10 mamy

Wniosek 2.11

Jeśli V jest skończenie wymiarowa i V=U\oplus W, to \dim V=\dim U +\dim W.

Mamy ponadto

Twierdzenie 2.12

Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową a U jej podprzestrzenią. Istnieje wtedy dopełnienie algebraiczne do U.

Dowód

Niech e_1,...e_m będzie bazą U. Rozszerzmy ten układ do do bazy przestrzeni V. Oznaczmy tę rozszerzoną bazę przez e_1,...,e_m, e_{m+1},..., e_n. Oznaczmy przez W przestrzeń rozpiętą na wektorach e_{m+1},..., e_n. Wtedy V=U\oplus W.

image:End_of_proof.gif

Zauważmy, że dopełnienie algebraiczne nie jest wyznaczone jednoznacznie.

Zakończymy ten wykład uwagami o przestrzeniach nieskończenie wymiarowych.

Przestrzeń V nazywa się przestrzenią nieskończenie wymiarową, jeśli nie jest skończenie wymiarowa. Mamy następujący lemat

Lemat 2.13

Jeśli przestrzeń V zawiera nieskończony zbiór wektorów liniowo niezależnych, to V jest nieskończenie wymiarowa.

Dowód

Gdyby przestrzeń V była skończenie wymiarowa, to na podstawie Twierdzenia 1.6, każdy zbiór liniowo niezależny tej przestrzeni byłby skończony.

image:End_of_proof.gif

Dowodzi się, co wykracza poza ramy tego wykładu, że w każdej przestrzeni wektorowej (również nieskończenie wymiarowej) istnieje baza i wszystkie bazy danej przestrzeni są równoliczne (czyli bijektywne).