Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 14: Przestrzenie afiniczne II

From Studia Informatyczne

Podprzestrzenie afiniczne

Niech V_0 będzie podprzestrzenią przestrzeni V, zaś X_0 - niepustym podzbiorem X. Mówimy, że X_0 jest podprzestrzenią X o kierunku V_0, jeśli spełnione są dwa następujące warunki:

PA 1) \overrightarrow {xy}\in V_0 dla każdych x,y\in X_0.
PA 2) x+v\in X_0 dla każdych x\in X_0 i v\in V_0.

Jest oczywiste, że jeśli spełnione są te warunki, to (X_0,V_0) z operacjami zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów zawężonymi z przestrzeni (X,V) jest przestrzenią afiniczną.

Przykład 1.1

Podzbiór składający się z jednego (dowolnego) punktu przestrzeni X jest podprzestrzenią afiniczną o kierunku \{0\}. Cała przestrzeń X jest podprzestrzenią o kierunku V.



Ilustracja przykładu 1.2

Przykład 1.2

Niech x_0\in X i V_0 będzie podprzestrzenią wektorową V. Rozważmy zbiór


x_0+ V_0=\{ x_0+v\,|\, v\in V_0\}.      (1.1)


Niech x=x_o+ v, y=x_0+ w, gdzie v,w\in V_0. Z Twierdzenia 1.1 wiemy, że


\overrightarrow {(x_0+v)(x_0+w)} = w-v\in V_0.


Podobnie, jeśli x_0 +v, gdzie v\in V_0, to


(x_0 +v) +w =x_0 +(v+w) \in x_0 +V_0,


dla w\in V_0. A zatem zbiór zdefiniowany przez(1.1) jest podprzestrzenią afiniczną o kierunku V_0.

Przypomnijmy sobie, że zbiór rozwiązań układu równań liniowych jest właśnie postaci (1.1). A zatem mamy twierdzenie.

Twierdzenie 1.3

Jeśli układ równań liniowych ma rozwiązanie, to zbiór wszystkich rozwiązań tego układu jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni {\mathbb K} ^n o kierunku będącym przestrzenią rozwiązań odpowiadającego układu jednorodnego.

W szczególności podprzestrzeń dana jednym równaniem, tzn. równaniem


a_0+a_1x_1+...+a_nx_n=0      (1.2)


jest (n-1) wymiarową podprzestrzenią {\mathbb K} ^n (lub dowolnej n-wymiarowej przestrzeni afinicznej X z wprowadzonym okładem współrzędnych), o ile któryś ze skalarów a_1,..., a_n jest różny od zera. Podprzestrzeń (n-1)-wymiarową nazywa się hiperpłaszczyzną. Równanie (1.2) nazywa się równaniem ogólnym hiperpłaszczyzny.

Podprzestrzeń jednowymiarową nazywamy prostą afiniczną. Podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną afiniczną.

Mamy następujący lemat.

Lemat 1.4

Jeśli (X_0,V_0) oraz (X_0,W_0) są podprzestrzeniami afinicznymi to V_0=W_0.

Dowód

Niech x\in X_0 i v\in V_0. Wtedy x+v\in X_0. Ponieważ (X_0,W_0) jest podprzestrzenią afiniczną, więc v=\overrightarrow {x (x+v)}\in W_0. image:End_of_proof.gif

Dzięki temu lematowi wystarczy mówić " niech X_0 będzie podprzestrzenią afiniczną", bo kierunek podprzestrzeni X_0 jest wyznaczony jednoznacznie.

Zauważmy teraz, że każda podprzestrzeń afiniczna jest taka jak w (Przykładzie 1.2).



Ilustracja twierdzenia 1.5

Twierdzenie 1.5

Niech X_0 będzie podprzestrzenią afiniczną o kierunku V_0. Dla dowolnego punktu x_0 \in X_0 mamy


X_0=x_0 +V_0.


Dowód

Z definicji podprzestrzeni afinicznej wynika, że x_0+V_0\subset X_0. Odwrotnie, jeżeli x\in X_0, to \overrightarrow {x_0x}\in V_0, a zatem x=x_0+\overrightarrow {x_0 x}\in x_0 +V_0. image:End_of_proof.gif

Kierunek dowolnej podprzestrzeni afinicznej X_0 jest równy przestrzeni


\{ \overrightarrow {x_o x}\, |\, x\in X_0\},      (1.3)


gdzie x_0 jest dowolnie wybranym punktem przestrzeni X, lub, co na jedno wychodzi, przestrzeni


\{\overrightarrow {xy}\, |\, x,y \in X_0\}.      (1.4)


Załóżmy, że mamy dwie podprzestrzenie tej samej przestrzeni afinicznej (X,V).

Mówimy, że podprzestrzeń afiniczna (X_0, V_0) jest równoległa do podprzestrzeni (X_1, V_1), jeśli V_0\subset V_1. Podprzestrzenie (X_0,V_0), (X_1,V_1) są równoległe, jeśli V_0=V_1.

Zachodzi następujące (zgodne z intuicją) twierdzenie.

Twierdzenie 1.6

Jeżeli podprzestrzeń X_0 jest równoległa do X_1, to albo X_0\subset X_1, albo X_0\cap X_1=\emptyset.

Dowód

Przypuśćmy, że X_0\cap X_1\ne\emptyset. Niech x_0\in X_0\cap X_1. Jeżeli V_0, V_1 sa kierunkami X_0 i X_1 odpowiednio, to X_0=x_0+V_0 i X_1= x_0+V_1. Wobec tego X_0\subset X_1. image:End_of_proof.gif

Twierdzenie 1.7

Niech {X_t}_{\{t\in T\}} będzie dowolną rodziną podprzestrzeni przestrzeni X. Jeśli \bigcap _{t\in T}X_t\ne \emptyset, to \bigcap _{t\in T}X_t jest podprzestrzenią afiniczną X.

Dowód

Niech V_t będzie kierunkiem X_t dla każdego t\in T. Jeśli \displaystyle x_0\in \bigcap _{t\in T} X_t, to


\displaystyle X_t =x_0+ V_t,


a więc


\displaystyle \bigcap _{t\in T}X_t= x_0+ \bigcap _{t\in T}  V_t.


image:End_of_proof.gif

Zbiory wypukłe

Niech dane będą dwa różne punkty p, q przestrzeni afinicznej X o kierunku będącym przestrzenią wektorową nad ciałem {\mathbb R}. Prosta przechodząca przez te punkty może być opisana jako zbiór wszystkich punktów postaci y=p+t\overrightarrow {pq}, t\in {\mathbb R}. Odcinkiem wyznaczonym przez te punkty nazywamy zbiór


\overline {pq}=\{p+t\overrightarrow {pq} \ | \ t\in [0,1]\}.


Jeśli X jest przestrzenią wektorową (lub w przestrzeni afinicznej ustalony jest punkt bazowy), to \overline {pq} = \{ (1-t)p+tq\ |\ t\in [0,1]\}.

Zbiór A\subset X nazywamy wypukłym, jeśli dla każdej pary punktów p,q\in A odcinek \overline {pq} zawiera się w zbiorze A.




Zbiór wypukły


Oczywiste jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.1

Przecięcie dowolnej rodziny zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

Jeżeli A jest dowolnym podzbiorem przestrzeni X, to przez {\rm conv} A oznaczamy przecięcie wszystkich zbiorów wypukłych zawierających A. Na mocy Twierdzenia 2.1 jest to zbiór wypukły o tej własności, że każdy zbiór wypukły zawierający A zawiera {\rm conv} A. Zbiór {\rm conv} A nazywa się wypukłą otoczką zbioru A.

Odwzorowania afiniczne

Niech V,W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem {\mathbb K} i niech (X,V), (Y,W) będą przestrzeniami afinicznymi. Odwzorowanie


f: X\longrightarrow Y


nazywamy odwzorowaniem afinicznym, jeśli istnieje odwzorowanie liniowe


\varphi : V\longrightarrow W


takie, że dla każdych x', x''\in X zachodzi równość


\overrightarrow {f(x')f(x'')}= \varphi (\overrightarrow {x'x''}).      (3.5)


Warunek ten można zastąpić warunkiem równoważnym:


f(x+v) =f(x)+\varphi (v)      (3.6)


dla każdych x\in X i v\in V.

Mówimy, że \varphi jest odwzorowaniem liniowym indukowanym przez odwzorowanie afiniczne f.

Odwzorowanie indukowane jest dla danego odwzorowania afinicznego jedyne. Mamy mianowicie

Lemat 3.1

Jeżeli f jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowania liniowe \varphi _1 i \varphi _2, to \varphi _1=\varphi _2.

Dowód

Niech v\in V i x\in X. Zachodzą równości


\varphi _1 (v) = \varphi _1(\overrightarrow {x (x+v))}=\overrightarrow {f(x)f(x+v)}= \varphi _2 (\overrightarrow {x(x+v))}=\varphi _2(v).


image:End_of_proof.gif

Dowód następującego twierdzenia jest standardowy

Twierdzenie 3.2

Złóżenie odwzorowań afinicznych jest odwzorowaniem afinicznym. Jeśli odwzorowanie afiniczne jest bijekcją, to odwzorowanie odwrotne jest afiniczne.

Obraz podprzestrzeni afinicznej przez odwzorowanie afiniczne jest podprzestrzenią afiniczną.

Przeciwobraz podprzestrzeni afinicznej przez odwzorowanie afiniczne jest podprzestrzenią afiniczną.

Przykład 3.3

Odwzorowanie identycznościowe przestrzeni afinicznej X jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie identycznościowe.

Przykład 3.4

Odwzorowanie stałe, tzn. f:X\ni x\longrightarrow y_0\in Y, gdzie y_0 jest ustalonym punktem przestrzeni Y, jest odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie zerowe. Przypomnijmy, że jedynym odwzorowaniem liniowym stałym jest odwzorowanie zerowe.

Przykład 3.5

Odwzorowanie liniowe przestrzeni wektorowej jest odwzorowaniem afinicznym indukującym samo siebie.

Przykład 3.6

Niech v będzie ustalonym wektorem przestrzeni wektorowej V. Zdefiniujmy odwzorowanie


t_v :X\ni x \longrightarrow x+v\in X .


Odwzorowanie to nazywa się translacją (lub przesunięciem równoległym) o wektor v. Odwzorowanie to jest odwzorowaniem afinicznym indukującym identyczność przestrzeni V.

Dla dwóch wektorów v,w\in V zachodzi równość t_{v}\circ t_{w}= t_{v+w}. W szczególności t_v\circ t_w= t_w\circ t_v.




Translacja w \mathbb R ^3


Niech f: X\longrightarrow Y będzie odwzorowaniem afinicznym indukującym odwzorowanie liniowe \varphi : V\longrightarrow W. Załóżmy, że dane są punkty bazowe {\rm o} w X i {\rm o} ' w Y.

Niech w\in W będzie takim wektorem, że f({\rm o} )= {\rm o} '+  w. Dla każdego x\in X zachodzi wzór


f(x) = {\rm o} ' + \varphi (\overrightarrow { ox } )+w.      (3.7)


Z formuły (3.7) wynika, że każde odwzorowanie afiniczne f: V\longrightarrow W przestrzeni wektorowych jest złożeniem odwzorowania liniowego i translacji w przestrzeni W.

Taka sama konkluzja dotyczy sytuacji, gdy przestrzenie afiniczne wyposażymy w strukturę przestrzeni liniowych przez wybranie punktów bazowych.

Odwzorowanie afiniczne, tak jak i odwzorowanie liniowe, ma przedstawienie macierzowe. Niech ({\rm o} ; e_1,...,e_n) będzie układem bazowym w (X,V) zaś ({\rm o} ' ; e'_1,...,e'_m ) układem bazowym w (Y,W).

Niech A będzie macierzą \varphi przy danych bazach przestrzeni V i W.

Załóżmy, że punkt x ma współrzędne (x_1,...,x_n), wektor w ma współrzędne (w_1,...,w_m), zaś punkt y=f(x) współrzędne (y_1,...,y_m).

Macierzą odwzorowania afinicznego f nazywamy macierz


\left [\begin{array} {lccccr}  \ \ \ \ \ \ \ \ \     \ \ \ w_1\\  \ \ \ \ \ \ \ \ \      \ \ \ \ .\\  \  \ \ \   A \ \ \ \  \ \ \   . \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \      \ \ \ \ .\\  \  \ \ \ \ \    \  \ \  \ \ \,  \ w_m\\  \ 0\ \  ...\ \  0 \ \ \ 1  \end{array} \right ]      (3.8)


lub w skrócie


\left [\begin{array} {lccccr}  \  \   A \ \    w \\  \ \  0\  \ 1  \end{array} \right ]      (3.9)


Posługując się formułami rachunku macierzowego, otrzymujemy równość


\left [\begin{array} {lccccr}  \ \ \ \ \ \ \ \ \     \ \ \ w_1\\  \ \ \ \ \ \ \ \ \      \ \ \ \ .\\  \  \ \ \   A \ \ \ \  \ \ \   . \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \      \ \ \ \ .\\  \  \ \ \ \ \    \  \ \  \ \ \,  \ w_m\\  \ 0\ \  ...\ \  0 \ \ \ 1  \end{array} \right ] \left [\begin{array} {l} \ x_1 \\ \ .\\ \ .\\ \ .\\ \ x_n\\ \ 1 \end{array} \right ]= \left [\begin{array} {l}\ y_1 \\ \ .\\ \ .\\ \ .\\ \ y_m\\ \ 1 \end{array} \right ].      (3.10)


Macierz A nazywamy częścią liniową macierzy afinicznej (3.9), zaś wektor w jej częścią translacyjną. Przy tak ustalonej metodzie zapisu macierzy odwzorowań afinicznych stosują się odpowiednie reguły rachunku macierzowego.

Na przykład, złożeniu odwzorowań afinicznych odpowiada iloczyn ich macierzy


\left [ \begin{array} {lr} \ \ \ A\ \ w\\ \  \ \ 0\ \ \ 1 \end{array} \right ] \left [\begin{array} {lr} \ \ \ B\ \ v\\ \ \ \ 0\ \  \ 1 \end{array}  \right ]= \left [\begin{array} {lr} \ \ \ AB\ \ A(v)+w\\ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \  \ \ \ \  \ \ 1\ \ \ \ \end{array}  \right  ].      (3.11)