Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 13: Przestrzenie afiniczne I

From Studia Informatyczne

Definicja przestrzeni afinicznej. Własności

Niech X będzie zbiorem niepustym a V przestrzenią wektorową nad ciałem {\mathbb K}. Załóżmy, że dane są dwie operacje (odwzorowania)


X\times X\ni (x,y)\longrightarrow \overrightarrow {xy}\in V,      (1.1)


X\times V\ni (x, v )\longrightarrow x+v \in X.      (1.2)


Znak "plus" jest tutaj symbolem użytym w nowym znaczeniu. Mamy ciągle "plus" oznaczający dodawanie w przestrzeni wektorowej i "plus" oznaczający dodawanie w ciele. Z kontekstu zawsze wynika, co oznacza "plus" pojawiający się w danej formule.

Mówimy, że X jest przestrzenią afiniczną o kierunku V, jeśli spełnione są dwa następujące warunki

A1) Dla każdych x\in X, v\in V zachodzi równoważność: x+v=y wtedy i tylko wtedy, gdy \overrightarrow {xy}=v.

A2) Dla każdych x,y, z \in X\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yz}=\overrightarrow{xz}.

Elementy przestrzeni afinicznej X nazywamy punktami. Odwzorowanie (1.1) nazywa się wyznaczaniem wektora przez parę punktów. Odwzorowanie (1.2) nazywa się zaczepianiem wektora w punkcie.

Przestrzeń afiniczną zapisujemy także jako parę (X,V). Używamy także określenia przestrzeń afiniczna X nad V. Wymiarem przestrzeni afinicznej nazywamy wymiar przestrzeni wektorowej V i oznaczamy \dim X.

Zbierzmy na początek kilka podstawowych własności przestrzeni afinicznych.

Twierdzenie 1.1

Dla każdych punktów x,y\in X i każdych wektorów v,w\in V zachodzą następujące warunki:

  1. \overrightarrow {xx} = 0,
  2. x+0 = x, gdzie 0 jest wektorem zerowym w V.
  3. \overrightarrow {xy} = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x=y,
  4. -\overrightarrow {xy} = \overrightarrow {yx},
  5. x = y wtedy i tylko wtedy, gdy \overrightarrow {zx}= \overrightarrow {zy} dla każdego z\in X,
  6. x=y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje z\in X takie, że \overrightarrow {zx}= \overrightarrow {zy},
  7. \overrightarrow {x(y+v)} = \overrightarrow {xy}+v,
  8. x + (v + w) = (x + v) + w.
  9. \overrightarrow {(x+v)(y+w)} = \overrightarrow{xy} + (w-v)

Dowód

1) Korzystając z A2) otrzymujemy równość
\overrightarrow {xx} +\overrightarrow {xx}=\overrightarrow {xx}.


Dodając do obu stron -\overrightarrow {xx} otrzymujemy żądaną równość.

2) Korzystając z A1) i udowodnionej już własności 1) dostajemy

równość x+ 0=x, bo \overrightarrow{xx}=0.

3) Z aksjomatu A1) i udowodnionej już własności 2) wiemy, że \overrightarrow {xy}=0 wtedy i tylko wtedy, gdy y=x+0=x.
4) Z aksjomatu A2) i własności 1) otrzymujemy równości
\overrightarrow {xy} +\overrightarrow {yx} =\overrightarrow {xx}=0.
5) i 6) Następująca implikacja jest oczywista.

Jeśli x=y, to dla każdego punktu z\in X zachodzi równość \overrightarrow {zx} =\overrightarrow {zy}.

Udowodnimy implikację:

Jeśli istnieje punkt z\in X taki, że \overrightarrow {zx}=\overrightarrow {zy}, to x=y.

Korzystając z własności 4) i aksjomatu A2) dostajemy implikacje


\overrightarrow {zx} =\overrightarrow {zy} \Longrightarrow \overrightarrow {zx}-\overrightarrow {zy} =0 \Longrightarrow -(\overrightarrow {xz}+\overrightarrow {zy})=0\Longrightarrow  \overrightarrow {xy}=0


Z własności 3) mamy równość x=y.

7) Korzystając z aksjomatu A2) otrzymujemy równość
\overrightarrow {x(y+v)} = \overrightarrow {xy}   +\overrightarrow {y(y+v)}.


Stosując teraz A1) dostajemy


\overrightarrow {y(y+v)} = v.


8) Na podstawie 6) wiemy, że x+(v+w) =(x+v)+w wtedy i tylko wtedy, gdy
\overrightarrow {x(x+(v+w))} = \overrightarrow {x((x+v)+w)}.


Lewa strona ostatniej równości jest równa (na podstawie własności 6) i 1))


\overrightarrow {xx} +(v+w)= v+w.


Dla prawej strony zachodzą równości (również na podstawie 6) i 1))


\overrightarrow {x((x+v)+w)}= \overrightarrow {x(x+v)}+w = (\overrightarrow {xx} +v)+w=v+w.
9) Wykorzystując udowodnione już własności otrzymujemy
\overrightarrow {(x+v)( y+w)}= \overrightarrow {(x+v)y} +w= - \overrightarrow {y(x+v)} +w= -\overrightarrow {yx} -v + w = \overrightarrow {xy} +(w-v).
image:End_of_proof.gif


Z własności 8) wynika, że możemy stosować zapis x+v+w.

Przykład 1.2

Każda przestrzeń wektorowa V jest przestrzenią afiniczną nad samą sobą. Operacje zaczepiania wektora w punkcie i wyznaczania wektora przez parę punktów dane są następująco. Dla v,w \in V


\overrightarrow{vw}=w-v,


v+w=v+w.


W ostatnim wzorze z lewej strony mamy zaczepianie wektora w w punkcie v, z prawej strony dodawanie wektorów w V.

Przykład 1.3

Dowolny zbiór jednoelementowy jest przestrzenią afiniczną nad przestrzenią wektorową \{0\}.

Przykład 1.4

Najlepiej znanym przykładem przestrzeni afinicznej jest przykład znany ze szkoły. Mianowicie, płaszczyzna lub trójwymiarowa przestrzeń fizyczna ze znanymi ze szkoły operacjami zaczepiania wektora swobodnego w punkcie i wyznaczania wektora swobodnego przez parę punktów są oczywiście przestrzeniami afinicznymi. Płaszczyzna i trójwymiarowa przestrzeń fizyczna są zbiorami punktów. Proponujemy, aby czytelnik prześledził na tym przykładzie wszystkie własności z Twierdzenia 1.1. Własności te w większości wydają się całkiem oczywiste, ale pamiętajmy, że definicja przestrzeni afinicznej (tak samo zresztą jak definicje przestrzeni wektorowej, ciała czy grupy) jest definicją aksjomatyczną i wszystkie własności tej struktury, choćby wydawały się najbardziej oczywiste, muszą być wywiedzione z aksjomatów.



Twierdzenie 1.1 na płaszczyźnie

Punkt bazowy, układ bazowy

Ustalmy pewien punkt {\rm o} w przestrzeni afinicznej (X,V). Punkt ten nazwiemy punktem bazowym. Rozważmy odwzorowanie


\Phi _{{\rm o}}: X \ni x \longrightarrow \overrightarrow {{\rm o} x}\in V.      (2.3)


Odwzorowanie to jest bijekcją. Istotnie, odwzorowanie odwrotne dane jest formułą


(\Phi _{{\rm o}})^{-1} (v) ={{\rm o}}+v.


Ponieważ \Phi _{{\rm o}} jest bijekcją, więc możemy przenieść strukturę przestrzeni wektorowej z V na X. Robimy to tak, aby odwzorowanie \Phi było izomorfizmem liniowym, tzn. definiujemy działania w X następująco:

Dla x,y\in X punkt x+y jest równy takiemu punktowi z\in X, że \overrightarrow {{\rm o} x} +\overrightarrow {{\rm o} y} = \overrightarrow {{\rm o} z}.

Dla x\in X i \lambda \in {\mathbb K} punkt \lambda x zdefiniowany jest jako punkt z\in X taki, że \overrightarrow {{\rm o} z}= \lambda \overrightarrow {{\rm o} x}.

Innymi słowy,


\overrightarrow {{\rm o} (x+y)} =\overrightarrow {{\rm o} x}+\overrightarrow {{\rm o} y},


\overrightarrow {{\rm o} (\lambda\, x)}= \lambda \overrightarrow {{\rm o} x}.


Łatwy eksperyment pokazuje, że struktura przestrzeni wektorowej na X wprowadzona przez zadanie punktu bazowego, w istotny sposób zależy od tego punktu.

Niech teraz dany będzie punkt bazowy o i baza przestrzeni wektorowej V. Załóżmy, że przestrzeń V jest skończenie wymiarowa i e_1,...,e_n jest daną bazą tej przestrzeni.

Układ ({\rm o} ;e_1,...,e_n) nazywamy układem bazowym przestrzeni afinicznej X. Układ bazowy nazywa się też układem współrzędnych. Punkt {\rm o} jest początkiem tego układu zaś e_1,...e_n są wektorami wyznaczającymi osie współrzędnych. Taki układ współrzędnych nazywa się ukośnokątnym układem współrzędnych (dla podkreślenia, że nie musi to być układ prostokątny). Na razie zresztą nie mamy pojęcia prostopadłości w przestrzeni afinicznej.

Mając dany układ bazowy ({\rm o} ;e_1,...,e_n) każdemu punktowi x\in X możemy przyporządkować ciąg współrzędnych (x_1,...,x_n) wektora \overrightarrow {ox} w bazie e_1,..., e_n, tzn. \overrightarrow {{\rm o} x} =x_1e_1+...+x_ne_n. Ciąg ten nazywamy współrzędnymi punktu x w danym układzie bazowym (układzie współrzędnych).




Punkt bazowy


Układ bazowy

Afiniczna niezależność punktów



Afiniczna niezależność punktów

Niech (X,V) będzie przestrzenią afiniczną i A= {\{x_t\}}_{t\in T} zbiorem punktów przestrzeni X. Oznaczmy jeden z elementów zbioru wskaźników T przez 0. Mówimy, że zbiór A jest afinicznie niezależny, jeśli zbiór wektorów


\{ \overrightarrow {x_0 x_t}\}_{  t\in T\setminus \{0\}}


jest liniowo niezależny. Definicja ta zależy a priori od wyboru punktu x_0. Za chwilę wykażemy, że zależność ta jest tylko pozorna.

Zbiór punktów nazywa się afinicznie zależnym, jeśli nie jest afinicznie niezależny. Podobne definicje afinicznej zależności i niezależności obowiązują dla układu punktów. Dwa punkty są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są równe. Pojedynczy punkt uważamy za afinicznie niezależny.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Niech {\rm o} będzie punktem bazowym przestrzeni afinicznej X. Punkty x_0,x_1,...x_n są afinicznie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skalary r_0,...,r_n nie wszystkie równe zeru takie, że r_0+...+ r_n=0 oraz


r_0\overrightarrow {{\rm o} x_0} +...+r_n\overrightarrow {{\rm o} x_n} =0,      (3.4)


Dowód

Załóżmy najpierw, że \{ x_0,...x_n\} są afinicznie zależne, czyli \overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_n} są liniowo zależne. Istnieją więc skalary r_1,...,r_n nie wszystkie równe zeru, takie, że


r_1\overrightarrow  {x_0x_1}+...+ r_n\overrightarrow {x_0 x_n}=0.


Zdefiniujmy r_0=-r_1-...-r_n. Zachodzą równości


\aligned\sum _{i=0}^n r_i\overrightarrow {{\rm o} x_i}&= (-r_1-...-r_n) \overrightarrow {{\rm o} x_0}+ r_1\overrightarrow {{\rm o} x_1} +...+r_n\overrightarrow {{\rm o} x_n}\\ &= r_1 \overrightarrow {x_0{\rm o}}+...+ r_n\overrightarrow {x_0{\rm o}}+r_1\overrightarrow{{\rm o} x_1}+...+r_n\overrightarrow {{\rm o} x_n}\\ &= r_1\overrightarrow {x_0x_1}+...+r_n \overrightarrow {x_0x_n}=0. \endaligned


Odwrotnie załóżmy, że istnieją skalary r_0,...,r_n nie wszystkie równe zeru, których suma jest równa zeru i takie, że \sum _{i=0}^n r_0\overrightarrow {{\rm o} x_i}=0.

Zachodzą następujące równości


\aligned 0&= r_0(\overrightarrow {{\rm o} x_0}+\overrightarrow {x_0 x_0}) +...+ r_n( \overrightarrow{{\rm o} x_0}+\overrightarrow {x_0x_n})\\ &= (r_0+...+r_n)\overrightarrow {{\rm o} x_0} +r_1\overrightarrow {x_0x_1}+...+ r_n \overrightarrow {x_0x_n}\\ &= r_1\overrightarrow {x_0x_1}+...+ r_n \overrightarrow {x_0x_n} \endaligned


Ponieważ nie wszystkie skalary r_0,...r_n są równe zeru a ich suma jest równa zeru, więc wśród skalarów r_1,...,r_n istnieje skalar niezerowy. A zatem \overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_n} są liniowo zależne, co kończy dowód twierdzenia.

image:End_of_proof.gif

Warunek w powyższym twierdzeniu zależy a priori od wyboru punktu bazowego, ale nie zależy od wyboru x_0. W definicji punkt bazowy w ogóle się nie pojawia. Ponieważ warunek definicyjny i warunek z twierdzenia są sobie równoważne afiniczna zależność nie zależy ani od wyboru punktu x_0, ani od wyboru punktu bazowego.

W n-wymiarowej przestrzeni afinicznej może istnieć co najwyżej n+1 punktów afinicznie niezależnych. Na fizycznej płaszczyźnie każde trzy niewspółliniowe punkty są afinicznie niezależne i każda większa liczba punktów stanowi zbiór afinicznie zależny.

Ustalmy pewien układ bazowy ({\rm o} ;e_1,...,e_n) w przestrzeni afinicznej (X,V). Jeśli dane są punkty x, y i ich współrzędne (x_1,...,x_n), (y_1,...,y_n) w danym układzie bazowym, to wektor \overrightarrow {xy} ma współrzędne (y_1-x_1,...,y_n-x_n) w bazie e_1,...,e_n.

Niech dane będą punkty x_0,...,x_m\in X i niech


(x_{i1},...,x_{in})


będą współrzędnymi punktu x_i, dla i=0,...,m, w danym układzie bazowym.

Mamy następujące równości


{\rm rk}\left [\begin{array} {lr}  \ 1 \ \ \ 1\ \ \ \  \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ 1\\  \ x_{01} \ x_{11} \ \ \ \ ... \ \ \ \ x_{m1}\\ \ .  \\  \ .   \\  \  .  \\  \ x_{0n}\  x_{1n} \ \ \ \ ...  \ \ \ \ x_{mn} \end{array} \right ]
= {\rm rk}\left [\begin{array} {lr}  \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\  \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\\  \ x_{01} \ x_{11}-x_{01}\ \ \ \ \ ... \ \ \ \ x_{m1}-x_{01}\\ \ .  \\  \ .   \\  \  .  \\  \ x_{0n}\  x_{1n}-x_{0n} \ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}-x_{0n} \end{array} \right ]=
=1+ {\rm rk}\left [\begin{array} {lr}  \ x_{11}-x_{01} \ \ \ \ ... \ \ \ \ x_{m1}-x_{01}\\ \ .  \\  \ .   \\  \  .  \\  \  x_{1n}-x_{on} \ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}-x_{0n} \end{array} \right ]


Wektory \overrightarrow {x_0x_1},...,\overrightarrow {x_0x_m}, m\le n, są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy


{\rm rk}\left [\begin{array} {lr} \ x_{11}-x_{01} \ \ \ \ ... \ \ \ \ x_{m1}-x_{01}\\ \ .  \\  \ .   \\  \  .  \\  \ x_{1n}-x_{0n} \ \ \ \ ...\ \ \ \ x_{mn}-x_{0n} \end{array} \right ]=m


Udowodniliśmy

Twierdzenie 3.2

Punkty x_0,..., x_m, m\le n=\dim X, są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy


{\rm rk}\left [\begin{array} {lr}  \ 1 \ \ \ 1\ \ \ \  \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ 1\\  \ x_{01} \ x_{11} \ \ \ \ ... \ \ \ \ x_{m1}\\ \ .  \\  \ .   \\  \  .  \\  \ x_{0n}\  x_{1n} \ \ \ \ ...  \ \ \ \ x_{mn} \end{array} \right ]=1+m


Podobnie uzasadnia się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 3.3

Punkty x_0,..., x_n, n=\dim X, są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy


{\rm det}\left [\begin{array} {lr}  \ 1 \ \ \ 1\ \ \ \  \ \ \ \ ...\ \ \ \ \ 1\\  \ x_{01} \ x_{11} \ \ \ \ ... \ \ \ \ x_{n1}\\ \ .  \\  \ .   \\  \  .  \\  \ x_{0n}\  x_{1n} \ \ \ \ ...  \ \ \ \ x_{nn} \end{array} \right ]\ne 0