Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 12: Miara układu wektorów

From Studia Informatyczne

Macierz Grama. Wyznacznik Grama

Zajmiemy się teraz przypadkiem, gdy sam iloczyn skalarny (oznaczony w tym rozdziale przez g) jako odwzorowanie dwuliniowe symetryczne jest odwzorowaniem dwuliniowym skojarzonym z formą kwadratową. Tą forma kwadratową jest kwadrat normy


g(v,v)=\Vert v\Vert ^2.


Niech teraz v_1,...,v_k będzie dowolnym ciągiem wektorów przestrzeni V. Definiujemy macierz


\left [ \begin{array} {lcccr} \ g(v_1,v_1) \ .\ .\ .\ g(v_1,v_k)\\ \ g(v_2,v_1) \ .\ .\ .\ g(v_2,v_k)\\ \ ..................................\\ \ g(v_k,v_1) \ . \ .\ .\ g(v_k,v_k) \end{array} \right ].      (1.1)


Macierz tę nazywamy macierzą Grama ciągu wektorów v_1,...,v_k. Wyznacznik tej macierzy nazywamy wyznacznikiem Grama tego ciągu.




Macierz i wyznacznik Grama


Zauważmy od razu, że wyznacznik Grama nie zależy od kolejności wektorów v_1,...,v_k. Istotnie, przestawieniu dwu wektorów w ciągu v_1,...,v_k odpowiada jednoczesne przestawienie dwu kolumn i dwu wierszy w macierzy Grama. A zatem możemy mówić o wyznaczniku Grama układu wektorów. Wyznacznik Grama układu v_1,...,v_k oznaczać będziemy przez {\rm G} (v_1,...,v_k).

Jeżeli V jest skończenie wymiarowa, to macierz odwzorowania dwuliniowego g przy dowolnej bazie ortonormalnej jest macierzą jednostkową. W szczególności, wyznacznik tej macierzy jest dodatni. Ze wzoru (0.3) z Wykładu XI wynika, że wyznacznik macierzy g przy jakiejkolwiek bazie jest dodatni.

Twierdzenie 1.1

Wyznacznik Grama dowolnego układu wektorów jest zawsze większy lub równy zeru. Jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy układ wektorów jest liniowo zależny.

Dowód

Oznaczmy przez U przestrzeń rozpiętą na danych wektorach v_1,...,v_k. Przestrzeń ta jest wyposażona w iloczyn skalarny g (dokładniej mówiąc, zawężenie g do U\times U).

Jeśli wektory v_1,..., v_k są liniowo zależne, to pewien wektor v_j jest kombinacją liniową wektorów pozostałych. Wtedy j-ta kolumna macierzy Grama jest kombinacją liniową pozostałych kolumn. Oznacza to, że wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.

Załóżmy teraz, że wektory v_1,..., v_n są liniowo niezależne. Stanowią więc bazę przestrzeni U. Macierz Grama tego układu, jest macierzą g przy bazie v_1,...,v_n przestrzeni U. A zatem, na podstawie uwagi, którą zrobiliśmy bezpośrednio przed twierdzeniem, wyznacznik tej macierzy jest dodatni (w

szczególności niezerowy). image:End_of_proof.gif

Przykład 1.2

Niech dane będą dwa wektory v i u. Mamy macierz Grama


\left [\begin{array} {lr} \ g(v,v)\ g(v,u)\\ \ g(u, v)\ g(u,u) \end{array} \right ].


Fakt, że wyznacznik tej macierzy jest nieujemny jest nierównością Schwarza.

Niech e_1,...,e_n będzie bazą ortonormalną przestrzeni V i niech v_1,...,v_n będzie dowolnym układem wektorów przestrzeni V. Tak jak zdefiniowaliśmy macierz przejścia od jednej bazy do drugiej, tak samo możemy zdefiniować macierz przejścia od bazy e_1,..., e_n do układu v_1,...,v_n. Mianowicie, definiujemy macierz P=[v_{ij}] wzorami


\displaystyle  v_j=\sum _{i=1}^n v_{ij} e_i.      (1.2)


Macierz P jest macierzą współrzędnych wektorów v_1,...,v_n w bazie e_1,...e_n. Zupełnie tak samo jak wzór (0.3) z Wykładu XI otrzymujemy wzór następujący


\left [ \begin{array} {lcccr} \ g(v_1,v_1) \ .\ .\ .\ g(v_1,v_k)\\ \ ..................................\\ \ g(v_k,v_1) \ . \ .\ .\ g(v_k,v_k) \end{array} \right ] =P^*P,      (1.3)


gdzie P jest macierzą zdefiniowaną formułą (1.2).

Otrzymaliśmy więc

Twierdzenie 1.3

Wyznacznik Grama układu wektorów v_1,...,v_n jest równy ({\rm det} P)^2, gdzie P jest macierzą utworzoną ze współrzędnych wektorów v_1,...,v_n w bazie ortonormalnej e_1,...,e_n.

Miara układu wektorów

Niech V będzie skończenie wymiarową euklidesową przestrzenią wektorową. Niech U będzie dowolną jej podprzestrzenią. Mamy wtedy V=U\oplus U^{\perp}. Niech v\in V będzie dowolnym wektorem. Wektor ten rozkłada się jednoznacznie na sumę v=u+u', gdzie u\in U i u'\in U^{\perp}. Zdefiniujmy liczbę


d(v,U)= \Vert u'\Vert .      (2.4)


Niech teraz V będzie dowolną (niekoniecznie skończenie wymiarową) euklidesową przestrzenią wektorową i v_1,...,v_n dowolnym ciągiem wektorów.

Zdefiniujemy liczbę {\rm vol} (v_1,...,v_n) , którą nazywać będziemy miarą układu v_1,...,v_n (lub n-wymiarową objętością). Definicja będzie indukcyjna.


Definicja 2.1

Jeżeli n=1, to miarą wektora v_1 jest jego długość \Vert v_1\Vert. Jeżeli określona już jest miara układów n-elementowych, to miarą układu v_1,...,v_n, v jest liczba zdefiniowana wzorem


{\rm vol} (v_1,...,v_n,v) =d(v, {\rm lin}\{v_1,...,v_n\}){\rm vol} (v_1,...,v_n).




Miara układu wektorów (objętość)

Definicja ta jest zgodna z naszą intuicją i wiadomościami wyniesionymi ze szkoły.

Miara układu dwóch wektorów jest polem równoległoboku wyznaczonego przez te wektory. Miara układu trzech liniowo niezależnych wektorów jest objętością równoległościanu utworzonego przez te wektory.

Z definicji miary układu wektorów łatwo wynika, że {\rm vol} (v_1,...,v_n) =0, jeśli wektory v_1,...,v_n są liniowo zależne.

Udowodnimy teraz twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Dla każdego układu wektorów v_1,..., v_n zachodzi równość


{\rm vol} (v_1,...,v_n) = \sqrt{{\rm G} (v_1,...,v_n)}.      (2.5)


Dowód

Dowód jest indukcyjny ze względu na n.

Dla n=1 twierdzenie jest trywialne. Załóżmy, że jest prawdziwe dla pewnego n.

Niech dany będzie układ wektorów v_1,...,v_n,v. Jeśli układ ten jest liniowo zależny, to po obydwu stronach (2.5) mamy zero. Możemy więc założyć, że dany układ wektorów jest liniowo niezależny.

W (n+1)-wymiarowej przestrzeni V'={\rm lin} \{v_1,...,v_n, v\} weźmy n-wymiarową podprzestrzeń U={\rm lin} \{ v_1,...,v_n\}. Oznaczmy przez d liczbę d=d(v, U). Niech v= u+u', gdzie u\in U i u'\in U^{\perp}, zaś U^{\perp} jest dopełnieniem ortogonalnym do U w V'. W szczególności g(u,u')=0. Ponieważ v_1,...,v_n jest bazą U, wektor u możemy zapisać jako


\displaystyle u= \sum _{i=1}^n x_iv_i.


Zachodzą następujące równości


\aligned d^2=\Vert u'\Vert ^2&= g(u',u')=g(u',u+u')=g(u',v)=g(v-u,v)\\ &= g(v,v)-g(u,v) =\Vert v\Vert ^2 -g\left (\sum _{i=1}^n x_iv_i ,v\right )= \Vert v\Vert ^2- \sum _{i=1}^n x_ig(v_i ,v). \endaligned
image:End_of_proof.gif


A zatem mamy równość


\displaystyle  \sum _{i=1}^n x_ig(v_i ,v) +(-1)(\Vert v\Vert ^2 -d^2)=0.      (2.6)


Oczywiście g(u, v_j)= g(v,v_j) dla każdego j=1,...n. Stąd


\displaystyle  g\left (\sum _{i=1}^n x_iv_i,v_j\right )= g(v,v_j)


dla j=1,...,n. Zatem


\displaystyle  \sum _{i=1}^n x_ig(v_i,v_j)+(-1)g(v,v_j)=0.      (2.7)


Przyjmijmy x_{n+1}=-1. Łącząc (2.6) i (2.7) otrzymujemy układ n+1 równości


\displaystyle \left \{ \begin{array} {l} \ \sum _{i}^n x_ig(v_i,v_j)+x_{n+1} g(v,v_j)=0,\ \ j=1,...,n\\ \ \sum _{i}^n x_ig(v_i ,v) +x_{n+1}(\Vert v\Vert ^2 -d^2)=0. \end{array} \right .      (2.8)


Potraktujmy ten układ jako jednorodny układ n+1 równań liniowych z n+1 niewiadomymi x_1,...,x_{n+1}. Wiemy, że układ ten ma niezerowe rozwiązanie (x_1,...,x_n, -1). A zatem wyznacznik macierzy współczynników tego układu jest równy 0. Macierz współczynników tego układu jest następująca


\left [\begin{array} {lccccr} \ g(v_1,v_1) \ . \ . \ . \ g(v_n, v_1) \ \ \ \ \ \ g(v,v_1)\\ \ ....................................................... \\ \ g(v_1,v_n) \ .\ . \ .\ \ g(v_n,v_n)\ \ \ \  \ g(v,v_n )  \\  \ g(v_1, v) \ \ .\  . \ . \ \ \ g(v_n,v)\ \ \ \ \ g(v,v)-d^2 \end{array}  \right ]      (2.9)


Korzystając teraz z liniowości wyznacznika ze względu na ostatnią kolumnę otrzymujemy równość wyznaczników następujących macierzy


\left [\begin{array} {lccccr} \ g(v_1,v_1)\ .\ .\ .\ g(v_n,v_1)\ g(v,v_1)      \\ \ ...............................................\\ \ g(v_1,v_n) \ .\ . \ . \ g(v_n,v_n) \ g( v,v_n) \\ \ g(v_1,v)\ .\ .\ . \ \ g(v_n,v) \ \ \ \ g(v,v) \end{array} \right ],      (2.10)


\left [\begin{array} {lccccl} \ g(v_1,v_1)\ .\ .\ .\ g(v_n,v_1)\ \ \ \ 0      \\ \ ...............................................\\ \ g(v_1,v_n) \ .\ . \ . \ g(v_n,v_n) \ \ \ \ 0\\ \ g(v_1,v)\ .\ .\ . \ \ g(v_n,v) \ \ \ \ \ \ d^2 \end{array} \right ],      (2.11)


Wyznacznik pierwszej macierzy jest równy {\rm G} ( v_1,...,v_n,v), zaś wyznacznik drugiej macierzy jest równy d^2 {\rm G} (v_1,...,v_n). Dowód twierdzenia jest zakończony.

Z powyższego twierdzenia wynika natychmiast następujący

Wniosek 2.3

Miara układu wektorów nie zależy od uporządkowania wektorów tworzących układ.

Ponadto udowodniliśmy następujący wzór

Twierdzenie 2.4

Dla dowolnych wektorów v_1,...v_n,v zachodzi wzór


{\rm G} (v_1,...,v_n,v)=d^2 G(v_1,...,v_n),      (2.12)


gdzie liczba d=d(v,U) zdefiniowana jest formułą (2.4) i U={\rm lin} \{v_1,...,v_n\}.

Miara dowolnego ortonormalnego układu wektorów jest równa 1. Wynika to łatwo zarówno z definicji jak i z formuły (2.5). Innymi słowy, objętość kostki rozpiętej na układzie ortonormalnym jest równa 1.

Niech f będzie endomorfizmem przestrzeni euklidesowej V. Załóżmy, że V jest skończenie wymiarowa. Ustalmy pewną bazę ortonormalną e_1,...,e_n. Miara układu wektorów (e_1,...,e_n) jest równa 1. Jeśli f jest endomorfizmem przestrzeni V, to f przeprowadza daną bazę w układ f(e_1),...,f(e_n). Kolumny macierzy A odwzorowania f przy bazie e_1,...,e_n są współrzędnymi wektorów f(e_1),...,f(e_n) w bazie e_1,..., e_n. A zatem, na podstawie Twierdzenia 1.2 i Twierdzenia 2.2, otrzymujemy

Wniosek 2.5

Miara wektorów f(e_1),...,f(e_n) jest równa mierze bazy e_1,..., e_n wtedy i tylko wtedy, gdy {\rm det} f=\pm 1.

O endomorfizmie f mówimy, że zachowuje objętość, jeśli jego wyznacznik jest równy \pm 1. Oczywiście izometrie maja tę własność, ale odwzorowań zachowujących objętość jest o wiele więcej. Każdy automorfizm pomnożony przez odpowiedni skalar jest odwzorowaniem zachowującym objętość. Endomorfizm, którego wyznacznik jest równy 1 nazywa się endomorfizmem unimodularnym.

Ogół macierzy kwadratowych o wymiarach n na n, których wyznacznik równy jest 1 jest podgrupą grupy GL(n;{\mathbb R} ). Grupę tę oznacza się SL (n;\mathbb R) i nazywa się grupą specjalną. Elementy tej grupy nazywa się macierzami unimodularnymi.