Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 9: Endomorfizmy. Twierdzenie Jordana

From Studia Informatyczne

Dane są macierze

\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr}                      1 & 2 \\                       3 & 4 \end{array}  \right] ,\ B =\left [ \begin{array} {rr}                      1 & 0 \\                       2 & -2 \end{array}  \right], \ C=\left [ \begin{array} {rr}                      2 & 5 \\                       1 & 3 \end{array}  \right], \ D=\left [ \begin{array} {rr}                      -4 & -5 \\                       2 & 3 \end{array}  \right].

Macierze \displaystyle A i \displaystyle B są podobne.

Macierze \displaystyle A i \displaystyle C są podobne.

Macierze \displaystyle B i \displaystyle C są podobne.

\displaystyle  D = C^{-1}BC.



Dana jest macierz

\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr}                      8 & -2 & 4\\                       -1 & 3 & -1\\                       -5&1& -1 \end{array}  \right].

Liczba \displaystyle 4 jest wartością własną macierzy \displaystyle A.

Wektor \displaystyle (1,-1,-2) jest wektorem własnym macierzy \displaystyle A.

Wektor \displaystyle (1,-1,-2) jest wektorem własnym macierzy \displaystyle A odpowiadającym wartości własnej \displaystyle 4.

Wielomian \displaystyle -(8-\lambda)(3-\lambda )(1 + \lambda ) jest wielomianem charakterystycznym macierzy \displaystyle A.



Dana jest macierz

\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr}                      1 & 1 & 0\\                       -1 & 2 & 1\\                       1&0& 1 \end{array}  \right] \in M(3,3;\mathbb{C}).

Liczba \displaystyle 1-\textbf{i} jest wartością własną macierzy \displaystyle A.

Liczba \displaystyle 2+\textbf{i} jest wartością własną macierzy \displaystyle A.

Wektor \displaystyle (\textbf{i},-1,1) jest wektorem własnym macierzy \displaystyle A.

Wektor \displaystyle (1,-1,1) jest wektorem własnym macierzy \displaystyle A.



Niech \displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (-x+2y,2x-y) \in \mathbb{R}^2 i niech

\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr}                      1 & 0 \\                       0 & -3 \end{array}  \right].

Liczba \displaystyle -1 jest wartością własną endomorfizmu \displaystyle f.

\displaystyle U = \{ (t,-t) ; t \in \mathbb{R} \} jest podprzestrzenią \displaystyle f - niezmienniczą przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2.

Istnieje baza przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2 złożona z wektorów własnych endomorfizmu \displaystyle f.

\displaystyle A jest macierzą endomorfizmu \displaystyle f w pewnej bazie przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2.



Niech \displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (5x-y,9x-y) \in \mathbb{R}^2 i niech

\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr}                      3 & 1 \\                       0 & 3 \end{array}  \right].

Wektory \displaystyle (1,3) i \displaystyle (0,-1) stanowią bazę Jordana endomorfizmu \displaystyle f.

\displaystyle A jest macierzą Jordana endomorfizmu \displaystyle f.

\displaystyle U = \{ (t,t) ; t \in \mathbb{R} \} jest podprzestrzenią \displaystyle f - niezmienniczą przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2.

Istnieje baza przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2 złożona z wektorów własnych endomorfizmu \displaystyle f.



Niech \displaystyle  A,B \in M(2,2;\mathbb{R}).

Jeśli tr \displaystyle   A = tr \displaystyle   B, to \displaystyle A i \displaystyle B są podobne.

Jeśli \displaystyle A i \displaystyle B są podobne i \displaystyle A jest odwracalna, to \displaystyle B jest odwracalna.

Jeśli \displaystyle A i \displaystyle B są podobne, to det \displaystyle   A = det \displaystyle   B.

Jeśli \displaystyle A i \displaystyle B są podobne, to \displaystyle AB = BA.