Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle  f : \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to det \displaystyle   A(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}, gdzie

\displaystyle A(x_1,x_2,x_3): = \left[ \begin{array} {rrr} x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & -1 & 0\\  1&  2 &3  \end{array}  \right].


\displaystyle f jest odwzorowaniem liniowym.

Jeśli \displaystyle (x_1,x_2,x_3) \in lin \{ (1,-1,0), \ (1,2,3) \}, to \displaystyle f(x_1,x_2,x_3) =0.

Jeśli \displaystyle x_3 =x_1+x_2, to \displaystyle f(x_1,x_2,x_3) =0.

Jeśli \displaystyle f(x_1,x_2,x_3) =0, to \displaystyle x_3 =x_1+x_2.



Dany jest układ równań

\displaystyle  (U) \left\{ \begin{array} {rrrl}       5x - 2y +z= 0\\                    3x+y+5z=0 \\                     9x-8y-7z=0.  \end{array}  \right.

Jedynym rozwiązaniem układu \displaystyle (U) jest trójka \displaystyle (0,0,0).

Zbiór rozwiązań układu \displaystyle (U) jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

Jeśli trójka \displaystyle (x,y,z) jest rozwiązaniem układu \displaystyle (U), to \displaystyle y = -3x -5z.

Dla dowolnego \displaystyle x \in \mathbb{R} trójka \displaystyle (x,2x,-x) jest rozwiązaniem układu \displaystyle (U).



Dany jest układ równań

\displaystyle  (U) \left\{ \begin{array} {rrrl}       5x +2y -z= 6\\                    3x-y+2z=7 \\                     x-4y+5z=8.  \end{array}  \right.

Wyznacznik macierzy współczynników układu \displaystyle (U) jest różny od zera.

Jeśli \displaystyle (x_0,y_0,z_0 ) jest rozwiązaniem \displaystyle (U), to \displaystyle (x_0 - 1,y_0 -2,z_0 -3 ) jest rozwiązaniem układu jednorodnego skojarzonego z \displaystyle (U).

Jeśli \displaystyle (x_0,y_0,z_0 ) jest rozwiązaniem \displaystyle (U), to \displaystyle (x_0 + 1,y_0 +2,z_0 +3 ) jest rozwiązaniem układu \displaystyle (U).

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z \displaystyle (U) jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.



Dany jest układ równań

\displaystyle  (U_a) \left\{ \begin{array} {rrrl}       2x - y= a\\                    -3x+y+az=1 \\                     ax+y-3z=-7.  \end{array}  \right.

Jeśli \displaystyle  a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -3\}, to układ \displaystyle (U_a) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeśli \displaystyle a=1, to układ \displaystyle (U_a) nie ma rozwiązań.

Jeśli \displaystyle a=-3, to układ \displaystyle (U_a) ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Istnieje takie \displaystyle a \in \mathbb{R}, że zbiór rozwiązań układu \displaystyle (U_a) jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.



Dany jest układ równań o współczynnikach rzeczywistych

\displaystyle  (U) \left\{ \begin{array} {rrrl}       a_{11}x_1 + a_{12} x_2+... +a_{1n}x_n= b_1\\       a_{21}x_1 + a_{22}x_2+...  +a_{2n}x_n= b_2\\       ...........................................\\       a_{n1}x_1 + a_{n2} x_2+... +a_{nn}x_n= b_n.  \end{array}  \right.

Niech \displaystyle A= [a_{ij}]_{i,j = 1,2, ...,n}

Jeśli det \displaystyle   A \neq 0 to dla dowolnego wektora \displaystyle (b_1,..., b_n) \in \mathbb{R}^n układ \displaystyle (U) ma rozwiązanie.

Jeśli det \displaystyle   A \neq 0 to dla dowolnego wektora \displaystyle (b_1,..., b_n) \in \mathbb{R}^n układ \displaystyle (U) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Jeśli det \displaystyle   A =0 to istnieje taki wektor \displaystyle (b_1,..., b_n) \in \mathbb{R}^n, że układ \displaystyle (U) ma rozwiązanie.

Jeśli det \displaystyle   A =0 to istnieje taki wektor \displaystyle (b_1,..., b_n) \in \mathbb{R}^n, że układ \displaystyle (U) ma dokładnie jedno rozwiązanie.



Niech \displaystyle \mathbb{K} = \mathbb{R} \ lub \displaystyle   \ \mathbb{C}, \ n\in \mathbb{N}, \ n\geq 2 i niech \displaystyle  A,C \in M(n,n;\mathbb{K}),\ B,D,X_0,Y_0 \in M(n,1;\mathbb{K}). Rozważamy układy równań

\displaystyle (U_1)\  AX=B\ \ oraz \displaystyle   \ \  (U_2) \ CX=D

o niewiadomej \displaystyle X \in M(n,1;\mathbb{K}).

Jeżeli \displaystyle X_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle U_1, \displaystyle B jest rozwiązaniem układu \displaystyle U_2, to \displaystyle X_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle  (CA)X = D.

Jeżeli \displaystyle X_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle U_1, \displaystyle B jest rozwiązaniem układu \displaystyle U_2, to \displaystyle X_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle  (AC)X = D.

Jeżeli \displaystyle X_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle  (CA)X = D, to \displaystyle AX_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle U_2.

Jeżeli \displaystyle X_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle U_1, \displaystyle Y_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle U_2, to \displaystyle X_0 +Y_0 jest rozwiązaniem układu \displaystyle  (A+C)X = B+D.