Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 7: Wyznacznik

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle \textbf{k}_1,\textbf{k}_2,\textbf{k}_3 oznaczają kolumny macierzy \displaystyle A \in M(3,3; \mathbb{R}) i niech \displaystyle B= [\textbf{k}_1 + 2\textbf{k}_2, \textbf{k}_2 +\textbf{k}_1 -3\textbf{k}_3, -2 \textbf{k}_3].

det \displaystyle   B = det \displaystyle   A.

det \displaystyle   B = - det \displaystyle   A.

det \displaystyle   B = 2\ det \displaystyle   A.

det \displaystyle   B = -2\ det \displaystyle   A.



Niech \displaystyle \mathbb{K} będzie dowolnym ciałem, \displaystyle n\geq 2 liczbą naturalną, niech \displaystyle  A,B oznaczają macierze należące do \displaystyle   M(n,n; \mathbb{K}) i niech \displaystyle \lambda \in \mathbb{K}.

\displaystyle \forall A \ \forall \lambda \ det \displaystyle   (\lambda A) = \lambda \ det \displaystyle   A.

\displaystyle \forall A\; \forall \lambda \ det \displaystyle   (\lambda A) = \lambda^n \ det \displaystyle   A.

\displaystyle \forall A,B \ det \displaystyle   (A+B) = det \displaystyle   A  + det \displaystyle   B.

\displaystyle \forall A,B  \ det \displaystyle   (AB) = det \displaystyle   A \ det \displaystyle   B.



Niech

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rrr} - 1 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 &2 &0 \end{array}  \right], \displaystyle B = \left[ \begin{array} {rrr} 5 & 1 & 0 \\ 9 & 0 & -3 \\ -1 &0 & 0 \end{array}  \right].


det \displaystyle   AB = 0.

det \displaystyle   A = 3\ det \displaystyle   B.

rk \displaystyle   A = 3.

rk \displaystyle   A - rk \displaystyle   B = 1.



Niech \displaystyle f:\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} będzie dane wzorem

\displaystyle  f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = x_1y_2 +  x_2y_1  - 2x_3y_1 - 2x_1y_3 + 3x_2y_3 +3x_3y_2.

\displaystyle f jest odwzorowaniem dwuliniowym.

\displaystyle f jest odwzorowaniem symetrycznym.

\displaystyle f jest odwzorowaniem antysymetrycznym.

\displaystyle \forall x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ f(x,x) \geq 0.



Niech \displaystyle  z_1,z_2,z_3,z_4  \in \mathbb{C} i niech

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rrrr} 1 & z_1 & z_1^2&z_1^3\\ 1 &  z_2 &  z_2^2 & z_2^3\\ 1  &z_3 &z_3^2 & z_3^3\\ 1& z_4 &z_4^2 & z_4^3 \end{array}  \right].


Jeżeli \displaystyle z_k \neq z_j dla \displaystyle k \neq j, to det \displaystyle   A \neq 0.

Jeżeli det \displaystyle   A = 0, to istnieją takie wskaźniki \displaystyle j,k, że \displaystyle j \neq k i równocześnie \displaystyle z_j = z_k.

Jeżeli \displaystyle  z_j =j, \ j=1,2,3,4, to det \displaystyle   A = 12.

Jeżeli rk \displaystyle   A =4, to \displaystyle z_k \neq z_j dla \displaystyle k \neq j.



Niech \displaystyle n\geq 2 będzie liczbą naturalną.

\displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \left( AB =0 \Longrightarrow A =0 \ lub \displaystyle   \ B=0) \right).

\displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( det \displaystyle   A^2 = det \displaystyle   A \Longrightarrow det \displaystyle   A \in \{0,1\} \right).

\displaystyle \forall A,B \in M(n,n;\mathbb{C} ) \  A^2 - B^2 = (A+B)(A-B).

\displaystyle \forall A \in M(n,n;\mathbb{C} ) \ \left( AA^* =0 \Longrightarrow A =0 \right).