Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 6: Macierze a odwzorowania liniowe

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle  f:\mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1+x_2 -2x_3 ,\ x_1 - x_2+x_3) \in \mathbb{R}^2 i niech

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rrr} 2 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \end{array}  \right], \displaystyle B = \left[ \begin{array} {rrr} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1  \end{array}  \right]


\displaystyle A jest macierzą \displaystyle f w bazach uporządkowanych \displaystyle ( 1,1,0),\  (0,1,1), \ (1,0,1) oraz \displaystyle (1,1),\ (0,1).

\displaystyle A jest macierzą \displaystyle f w bazach uporządkowanych \displaystyle ( 1,1,0),\  (0,1,1), \ (1,0,1) oraz \displaystyle (0,1),\ (1,1).

\displaystyle B jest macierzą \displaystyle f w bazach kanonicznych.

\displaystyle A^* jest macierzą \displaystyle f^* w bazach dualnych do kanonicznych.



Niech \displaystyle  f: \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (-x_2+x_3, x_1+x_3,2x_1+x_2+3x_3) \in \mathbb{R}^3 i niech

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rrr} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1\\ 1 &1 &3  \end{array}  \right]


\displaystyle A jest macierzą \displaystyle f w bazie kanonicznej.

\displaystyle A jest macierzą \displaystyle f^* w bazie dualnej do bazy kanonicznej.

\displaystyle A^* jest macierzą \displaystyle f w bazie kanonicznej.

\displaystyle A^* jest macierzą \displaystyle f^* w bazie dualnej do bazy kanonicznej.



Wiemy, że

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rr} 4 & 0 \\ 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{array}  \right]


jest macierzą odwzorowania liniowego \displaystyle  f: \mathbb{R}^2  \to \mathbb{R}^3 w bazach \displaystyle  u_1 = (1,1), \ u_2 = (1,-1) oraz \displaystyle v_1 = (0,1,1), \ v_2 = (1,0,1), \ v_3 = (0,-1,0).

\displaystyle f jest epimorfizmem.

\displaystyle f jest monomorfizmem.

rk \displaystyle   f^* = 1.

ker \displaystyle   f^* = \{ 0 \}.



Dane są: odwzorowanie \displaystyle  f: \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1, x_1+x_3,x_2) \in \mathbb{R}^3, wektory \displaystyle  u_1= (1,0,0), \ u_2= (1,1,0), \ u_3 = (1,1,1), formy liniowe \displaystyle  \alpha_1, \ \alpha_2, \ \alpha_3 \in (\mathbb{R}^3)^* dane wzorami \displaystyle  \alpha_1(x_1,x_2,x_3) = x_1 - x_2, \ \alpha_2(x_1,x_2,x_3) = x_2 - x_3, \ \alpha_3(x_1,x_2,x_3) = x_3 oraz macierz

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rrr} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 &1 &1 \end{array}  \right].

\displaystyle  \alpha_1, \ \alpha_2, \ \alpha_3 tworzą bazę dualną do bazy \displaystyle u_1 \ u_2, \ u_3.

\displaystyle A jest macierzą \displaystyle f w bazie \displaystyle u_1 \ u_2, \ u_3.

rk \displaystyle   f = 2.

\displaystyle A^* jest macierzą \displaystyle f^* w bazie \displaystyle  \alpha_1, \ \alpha_2, \ \alpha_3.



Niech \displaystyle V i \displaystyle W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{R}. Niech \displaystyle \dim V = n, \ \dim W = m i nich \displaystyle A_f będzie macierzą odwzorowania \displaystyle f w dowolnie ustalonych bazach przestrzeni \displaystyle V i \displaystyle W.

Jeżeli \displaystyle f jest monomorfizmem, to rk \displaystyle   A_f = m.

Jeżeli \displaystyle f jest epimorfizmem, to rk \displaystyle   A_f = n.

Jeżeli rk \displaystyle   A_f = m, to \displaystyle f jest epimorfizmem.

Jeżeli rk \displaystyle   A_f = n, to \displaystyle f jest izomorfizmem.



Niech

\displaystyle f: \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to (x_1+x_2, x_1+2x_2,2x_1+x_2) \in \mathbb{R}^3, \\ g:\mathbb{R}^3 \ni (y_1,y_2,y_3) \to (y_3 ,\ y_2 - y_1) \in \mathbb{R}^2

i niech

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rr} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}  \right].


\displaystyle A jest macierzą \displaystyle g \circ f w bazie kanonicznej.

ker \displaystyle   g \circ f = ker \displaystyle   f.

rk \displaystyle   g \circ f = rk \displaystyle   g.

im \displaystyle   f \cap ker \displaystyle   g = \{\Theta \}.