Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 5: Macierze

From Studia Informatyczne

Dane są macierze

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rr} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}  \right] oraz \displaystyle B = \left[ \begin{array} {rr} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}  \right]



\displaystyle A^* = A.

\displaystyle B = A^{-1}.

\displaystyle A+B jest odwracalna.

\displaystyle B^* = (A^*)^{-1}.



Niech

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rrr} 1 & 0  & 1\\ 2 & -1 & 1\\ \end{array}  \right], \displaystyle B = \left[ \begin{array} {rrr} 3 & -1  & 0\\ 2 & 2 & 1\\ \end{array}  \right] oraz \displaystyle C = \left[ \begin{array} {rr} 2 & 1\\ -1 & 0\\ 1 & 1 \end{array}  \right], \displaystyle D = \left[ \begin{array} {rrr} 5 & -1 & 2\\ 6 & 0 & 3\\ \end{array}  \right],

\displaystyle 2A+B = D.

\displaystyle AB^* = BA^*.

\displaystyle A^* = C.

rk \displaystyle   A =3.



Dane są macierze

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rrr} 3 & -2  & 1\\ 2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 \end{array}  \right] oraz \displaystyle B = \left[ \begin{array} {rrr} 1 & 2  & 2\\ -1 & -3 & -3\\ 1 & 2 & 1\\ \end{array}  \right]


rk \displaystyle   A =3.

\displaystyle B= A^{-1}.

\displaystyle B^*= A^{-1}.

\displaystyle  A^* = B^{-1}.



Niech

\displaystyle A = \left[ \begin{array} {rr} \textbf{i} & 1\\ 0 & -\textbf{i}\\ \end{array}  \right]


\displaystyle A^2 = I.

\displaystyle A^4 = I.

\displaystyle A^3 = A^{-1}.

\displaystyle A^3 = A^*.



Niech \displaystyle  A,B \in M(n,n; \mathbb{R}).

Jeśli \displaystyle A i \displaystyle B są odwracalne, to \displaystyle A+B jest odwracalna.

Jeśli \displaystyle A jest odwracalna, to \displaystyle  A^* jest odwracalna.

Jeśli \displaystyle B jest odwrotna do \displaystyle A, to \displaystyle B^* jest odwrotna do \displaystyle A^*.

Jeśli rk \displaystyle   A=n, to \displaystyle A jest odwracalna.



Niech

\displaystyle A_{11} = \left[ \begin{array} {rr} 1 & 0  \\ 0 & 0 \\ \end{array}  \right] \displaystyle A_{12} = \left[ \begin{array} {rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array}  \right] \displaystyle A_{21} = \left[ \begin{array} {rr} 0 & 0 \\ 1 & 0\\ \end{array}  \right] \displaystyle A_{22} = \left[ \begin{array} {rr} 0 & 0 \\ 0 & 1\\ \end{array}  \right]


Macierze \displaystyle A_{11},\ A_{12},\ A_{21}, \ A_{22} tworzą układ liniowo niezależny w \displaystyle M(2,2;\mathbb{R}).

Macierze \displaystyle A_{11},\ A_{12},\ A_{21}, \ A_{22} generują \displaystyle M(2,2;\mathbb{R}).

\displaystyle   \dim M(2,2;\mathbb{R}) = 2.

\displaystyle (\{ A_{11},\ A_{12},\ A_{21}, \ A_{22} \}, \cdot) jest grupą (\displaystyle \cdot oznacza mnożenie macierzy).