Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 4: Odwzorowania liniowe

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle V będzie dowolną niezerową przestrzenią wektorową i niech \displaystyle v_0 \in V \setminus \{\Theta\}. Dane są odwzorowania liniowe \displaystyle f,g : V \to V, przy czym \displaystyle f \neq 0.

Odwzorowanie \displaystyle  \varphi : V \ni v \to f(v) +v_0 \in V jest liniowe.

Odwzorowanie \displaystyle  f-g : V \ni v \to f(v) - g(v) \in V jest liniowe.

Odwzorowanie \displaystyle  g\circ f : V \ni v \to g(f(v)) \in V jest liniowe.

Odwzorowanie \displaystyle  \psi : V \ni v \to f(v +v_0 ) \in V jest liniowe.



Niech \displaystyle V,W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle f : V \to W będzie monomorfizmem. Zakładamy, że wektory \displaystyle v_1,...,v_n \in V.

ker \displaystyle   f = \{ \Theta\}.

im \displaystyle   f = W.

Jeśli ciąg wektorów \displaystyle v_1,...,v_n jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów \displaystyle f(v_1),...,f(v_n) jest liniowo niezależny.

Jeśli ciąg wektorów \displaystyle v_1,...,v_n tworzy bazę przestrzeni \displaystyle V, to ciąg \displaystyle f(v_1),...,f(v_n) tworzy bazę przestrzeni \displaystyle W.



Niech \displaystyle V,W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle f : V \to W będzie odwzorowaniem liniowym. Zakładamy, że wektory \displaystyle v_1,...,v_n,u \in V.

Jeśli \displaystyle f(v_1),...,f(v_n) są liniowo niezależne, to \displaystyle v_1,...,v_n liniowo niezależne.

Jeśli \displaystyle u jest kombinacją liniową wektorów \displaystyle v_1,...,v_n, to \displaystyle f(u) jest kombinacją liniową wektorów \displaystyle f(v_1),...,f(v_n).

Jeśli ciąg wektorów \displaystyle v_1,...,v_n jest liniowo niezależny, to ciąg wektorów \displaystyle f(v_1),...,f(v_n) jest liniowo niezależny.

Jeśli \displaystyle f(u) jest kombinacją liniową wektorów \displaystyle f(v_1),...,f(v_n), to \displaystyle u jest kombinacją liniową wektorów \displaystyle v_1,...,v_n.



Niech \displaystyle  f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 -x_2 + x_3,  x_1 + x_2  ) \in \mathbb{R} ^2.

ker \displaystyle   f = \{ ( t,-t, -2t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}.

rk \displaystyle   f = 1.

Wektory \displaystyle f( 1,0,1) i \displaystyle  f( 1,1,4) są liniowo zależne.

\displaystyle  (2,3) \in im \displaystyle   f.



Niech \displaystyle  f : \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 - x_3,  x_3 -x_2,  x_1 -x_2  ) \in \mathbb{R} ^3.

Jeśli \displaystyle (y_1,y_2,y_3) \in im \displaystyle   f, to \displaystyle  y_3 = y_1+ y_2.

rk \displaystyle   f =2.

\displaystyle  \dim ker \displaystyle   f = 1.

\displaystyle  \mathbb{R}^3 = ker \displaystyle   f \oplus im \displaystyle   f.



Niech \displaystyle  f : \mathbb{R}^3  \to \mathbb{R}^2 będzie odwzorowaniem liniowym i niech \displaystyle  u= (1,0,2), \ v= ( 2, -1, 3), \ w = (0, 1, 1), \ z= ( 3,-1 ,0).

Jeśli \displaystyle  f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0), to może być \displaystyle f(w) =  (0,4).

Jeśli \displaystyle  f(u) = (1,-1), \ f(v)= (3,0), to musi być \displaystyle f(z) = (0,4).

Jeśli \displaystyle g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2 jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki \displaystyle  g(u) = f(u),\  g(v)= f(v), to musi być \displaystyle g=f.

Jeśli \displaystyle g: \mathbb{R}^3 \ni \to \mathbb{R}^2 jest odwzorowaniem liniowym spełniającym warunki \displaystyle  g(u) = f(u),\  g(v)= f(v), \ g(z)  = f(z), to musi być \displaystyle g=f.