Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 3: Układy liniowo niezależne, generatory, bazy

From Studia Informatyczne

Rozważamy przestrzeń wektorową \displaystyle  \mathbb{R}^3.

Wektory \displaystyle  (1, -2,-5), \ ( -3, 4, 5),\  (-2,2,2) są liniowo niezależne.

Wektory \displaystyle  (1, -2,-5), \ ( -3, 4, 5),\  (-2,2,2) generują \displaystyle U.

Wektor \displaystyle (-3,2,-5) jest kombnacją liniową wektorów \displaystyle  (1, -2,-5) i \displaystyle  ( -3, 4, 5).

Każdy wektor \displaystyle  v \in \mathbb{R}^3 jest kombnacją liniową wektorów \displaystyle  (1, -2,-5), \ ( -3, 4, 5) i \displaystyle (-2,2,2).



Niech \displaystyle  z =    1 +\mathbf{i}, \ w =    1-\mathbf{i} będą elementami ciała \displaystyle \mathbb{C} .

\displaystyle z,w są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej \displaystyle (\mathbb{C}, \mathbb{C},+, \cdot).

\displaystyle z,w są liniowo niezależne w przestrzeni wektorowej \displaystyle (\mathbb{C}, \mathbb{R},+, \cdot).

\displaystyle z,w generują \displaystyle (\mathbb{C}, \mathbb{C},+, \cdot).

\displaystyle z,w generują \displaystyle (\mathbb{C}, \mathbb{R},+, \cdot).



Niech \displaystyle  V będzie dowolną skończenie wymiarową przestrzenią wektorową.

Istnieją podprzestrzenie \displaystyle U i \displaystyle W przestrzeni \displaystyle V takie, że \displaystyle U\cap W  =    \emptyset.

Dla dowolnych podprzestrzeni \displaystyle U i \displaystyle W przestrzeni \displaystyle V zbiór \displaystyle  Z =    \{ u-w \ : \ u \in U, w \in W \} jest podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle V.

Każdy układ generatorów przestrzeni \displaystyle V jest bazą przestrzeni \displaystyle V.

Każdy układ wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni \displaystyle V jest bazą przestrzeni \displaystyle V.



Niech \displaystyle U  =    \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 + 2x_2- x_3  =   0 \}, \displaystyle W  =    \{ (t,2t, 3t) \ : t \in \mathbb{R} \}.

\displaystyle \dim U  =    1.

\displaystyle \dim W  =    1.

Wektory \displaystyle (1,0,1) i \displaystyle (0,1,2) generują \displaystyle U.

Wektory \displaystyle (1,0,1) i \displaystyle (0,1,2) tworzą bazę \displaystyle U.



Niech \displaystyle V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową, a \displaystyle U i \displaystyle W jej podprzestrzeniami takimi, że \displaystyle V =    U \oplus W. Niech ponadto ciąg \displaystyle u_1,...,u_n będzie bazą \displaystyle U, a ciąg \displaystyle w_1,...,w_m bazą \displaystyle W.

Wektory \displaystyle u_1,...,u_n,w_1,...,w_m generują \displaystyle V.

Wektory \displaystyle u_1,...,u_n,w_1,...,w_m są liniowo niezależne.

\displaystyle  \forall u \in U \ \forall w \in W \ u+w \in U \cup W.

\displaystyle  \forall v \in V \ \exists u \in U \ \exists w \in W \ v =   u+w.



Niech \displaystyle  a  =    (1,0), \ b  =    (i,0),\ c  =    (0,1),\ d  =    (0,i).

Wektory \displaystyle a,b,c,d są liniowo niezależne w przestrzeni \displaystyle (\mathbb{C}^2,\mathbb{C}, +, \cdot ).

Wektory \displaystyle a,b,c,d są liniowo niezależne w przestrzeni \displaystyle (\mathbb{C}^2,\mathbb{R}, +, \cdot ).

Wektory \displaystyle a+c,b+d tworzą bazę przestrzeni \displaystyle (\mathbb{C}^2,\mathbb{C}, +, \cdot ).

Wektory \displaystyle a+b,c+d tworzą bazę przestrzeni \displaystyle (\mathbb{C}^2,\mathbb{C}, +, \cdot ).