Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 2: Przestrzenie wektorowe

From Studia Informatyczne

W zbiorze \displaystyle  \mathbb{R}^2 określamy następujące działania:
\displaystyle  \boxplus : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni \left( (x_1,x_2),(y_1,y_2) \right)\to (x_1+y_1,x_2 +y_2) \in \mathbb{R}^2,
\displaystyle  \odot : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \ni (\alpha,(x_1,x_2) ) \to (\alpha x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2.

\displaystyle \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ \ 2 \odot (x_1,x_2) = (x_1,x_2)\boxplus (x_1,x_2).

\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R} \ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha \beta)\odot (x_1,x_2) = (\alpha \odot (\beta \odot (x_1,x_2))).

\displaystyle \forall  \alpha \in \mathbb{R} \  \forall (x_1,x_2),\  (y_1,y_2)\in \mathbb{R}^2 \\ \alpha ((x_1,x_2) \boxplus (y_1,y_2)) = \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \alpha \odot(y_1,y_2).

\displaystyle \forall  \alpha, \ \beta \in \mathbb{R}\ \forall (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \\ (\alpha  +\beta)\odot (x_1,x_2) = \alpha \odot  (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot  (x_1,x_2).



Niech \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x_1+2x_2+3 x_3 =0 \} i niech \displaystyle  w= (1,0,1).

\displaystyle U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle  \mathbb{R}^3.

\displaystyle (3,0,-1) \in U.

\displaystyle \forall u \in U \ u+w \notin U.

\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb{R} \ ( \alpha w \in U \Longrightarrow \alpha=0 ).



Niech \displaystyle  u = (2,1,0), \  v= (1,-1,1) i niech \displaystyle U = \{ \alpha u + \beta v \ : \  \alpha, \beta \in \mathbb{R} \}.

\displaystyle (1,1,1) \in U.

\displaystyle (4,-1,2) \in U.

\displaystyle \forall x,y \in U \ x+y \in U.

\displaystyle \forall x \in U  \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \  \alpha x \in U.



Niech \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 - x_2+ x_3 =0,\ x_1 + 2x_2 =0 \},
\ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \ : \ 2x_1 + x_2- 3x_3 =0 \}.

\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}.

\displaystyle \mathbb{R}^3 = U \oplus W.

\displaystyle  U \cup W = \mathbb{R}^3.

\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3.



Niech \displaystyle U = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \ x_1 =0\},
\ W = \{ (x_1,x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \  : \  x_2 +x_3 =0 \},
Z = \{(t,-t,t) \ : \ t \in \mathbb{R} \}.

\displaystyle U \cap W = \{ \Theta \}.

\displaystyle  U+ W = \mathbb{R}^3.

\displaystyle  U \cup W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle  \mathbb{R}^3.

\displaystyle  Z \cup W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle  \mathbb{R}^3.



Niech \displaystyle V = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}U = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x \in \mathbb{R} \ f(x)= f(-x)\},   \ W = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ \forall x~\in \mathbb{R} \ f(x) = -f(-x)\},
Q = \{ f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \ : \ f\ jest wielomianem stopnia parzystego \displaystyle \}.

\displaystyle Q jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle V.

\displaystyle U jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle V.

\displaystyle W jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle V.

\displaystyle V = U \oplus W.