Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 1: Grupy i ciała

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle (G,*) będzie dowolną grupą, niech \displaystyle a,b,c \in G i niech \displaystyle e będzie elementem neutralnym w \displaystyle G.

\displaystyle  a jest elementem odwrotnym do \displaystyle e\displaystyle  \Longrightarrow \ a = e.

\displaystyle b,c są elementami odwrotnymi do \displaystyle a\displaystyle \Longrightarrow \ b =c.

\displaystyle  ab=ac  \Longrightarrow \ b=c.

\displaystyle  ab=ca  \Longrightarrow \ b=c.



Niech \displaystyle P = \{ 2k \ : \ k\in \mathbb{Z} \} i niech \displaystyle + oraz \displaystyle  \cdot oznaczają zwykłe działania dodawania i mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.

(P,+) jest grupą.

\displaystyle  \cdot jest działaniem wenętrznym w \displaystyle P.

\displaystyle (P,\cdot) jest grupą.

Odwzorowanie \displaystyle P \ni x \to 2x \in P jest bijekcją.



W zbiorze \displaystyle X := \mathbb{R} \setminus \{-1 \} definiujemy działanie \displaystyle * : \displaystyle x*y = x+y+xy.

Działanie \displaystyle * jest łączne.

\displaystyle 0 jest elementem neutralnym względem działania \displaystyle *.

Jeśli \displaystyle x \in X, to \displaystyle \frac {-x}{1+x} \in X.

Liczba \displaystyle \frac {-x}{1+x} \in X jest elementem odwrotnym do \displaystyle x w \displaystyle (X, *).



Niech \displaystyle  z = 1-\mathbf{i} \displaystyle.

\displaystyle  z^2 jest liczbą rzeczywistą.

\displaystyle  z^4 jest liczbą rzeczywistą.

\displaystyle  z^4 jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

\displaystyle  z jest pierwiastkiem równania \displaystyle  z^2 -( 4+\mathbf{i}) z + 3 +3\mathbf{i} = 0.



Niech \displaystyle  f : \mathbb{C} \ni z \to \bar z \in \mathbb{C}, gdzie \displaystyle  \bar z = \overline{x+y\mathbf{i}} = x - y\mathbf{i}, i niech \displaystyle I_{\mathbb{C}} oznacza identyczność na \displaystyle \mathbb{C}.

\displaystyle f \circ f =  I_{\mathbb{C}}.

\displaystyle  \forall z \in \mathbb{C} \ \forall \lambda \in \mathbb{C} \ \ f( \lambda z ) = \lambda f(z ).

\displaystyle  \forall z \in \mathbb{C} \ \forall \alpha \in \mathbb{R} \ \ f( \alpha z ) = \alpha f(z ).

\displaystyle  \forall a,b,c \in \mathbb{C} \ \  ( az^2+ bz+c=0 \  \Longrightarrow  a\bar z^2+ b\bar z+c=0 ).



Niech \displaystyle  z= \frac { 1}{2} + \frac {\sqrt 3}{2}\mathbf{i} i niech \displaystyle H:= \{ z^n \ : \ n \in \mathbb{N} \}.

\displaystyle H ma nieskończenie wiele różnych elementów.

\displaystyle H ma 6 różnych elementów.

\displaystyle  \forall a,b \in H \ ab \in H.

\displaystyle  \forall a,b \in H \ a + b \in H.