Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

From Studia Informatyczne

Rozważamy przestrzeń euklidesową \displaystyle {\mathbb{R}}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech \displaystyle X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; x_1-2x_2+3x_3 =2 \}, \displaystyle  V niech oznacza kierunek \displaystyle X i niech \displaystyle U = \{ (t,-2t,3t) ; t \in \mathbb{R} \}.

\displaystyle X jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

\displaystyle X jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

\displaystyle  U^{\perp} = V.

\displaystyle  \dim X = 2.



W \displaystyle \mathbb{R}^3 mamy trzy wektory \displaystyle  a=(1,2,1), \ b=(-1,0,1) i \displaystyle c=(1,4,3).

\displaystyle a,b,c są afinicznie niezależne.

\displaystyle a,b,c są liniowo niezależne.

Jeśli \displaystyle X jest hiperpłaszczyzną afiniczną w \displaystyle \mathbb{R}^3 i \displaystyle  a,b,c \in X, to \displaystyle (5,4,-1) \in X.

Jeśli \displaystyle X jest hiperpłaszczyzną afiniczną w \displaystyle \mathbb{R}^3 i \displaystyle  a,b,c \in X, to \displaystyle (-1,6,3) \in X.



Rozważamy przestrzeń euklidesową \displaystyle {\mathbb{R}}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym.

Niech \displaystyle  X\colon = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 3x_1 +2x_2 - 4x_3 =1\},
\ k:= \{ (7+2t,2-t,3+t) ; t \in \mathbb{R} \},
\ l:=  \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 2x_1 -x_2 - 3x_3 =-1, \ x_1 +3x_2 - x_3 =2\}.

\displaystyle l\parallel X.

\displaystyle k\parallel X.

\displaystyle k\perp l.

\displaystyle k\parallel l.



W \displaystyle {\mathbb{R}}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym dane są: hiperpłaszczyzna afiniczna \displaystyle X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; x_1-x_2+3x_3 =2 \} oraz punkty \displaystyle a=(-2,1,4) i \displaystyle  b= (-5,4,-5).

Punkt \displaystyle (5,-6,-3) jest rzutem prostopadłym punktu \displaystyle a na \displaystyle X.

Prosta przechodząca przez \displaystyle a i \displaystyle b jest prostopadła do \displaystyle X.

Płaszczyzna \displaystyle X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; 3x_1-x_2 - x_3 =7 \} jest równoległa do \displaystyle X.

Odległość punktu \displaystyle (-3,2,1) od podprzestrzeni \displaystyle X wynosi 2.



W \displaystyle {\mathbb{R}}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest płaszczyzna \displaystyle X:= \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; x_1-x_2+2x_3 -2 =0\} oraz punkty \displaystyle a=(1,3,2), \displaystyle  b= (5,3,0), \ c= (2,4,2) i \displaystyle z=( -1,1,0).

vol \displaystyle   (a,b,c) = \sqrt 6.

vol \displaystyle   (a,b,c,z) = \frac {4}{3}.

\displaystyle a,b,c są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.

\displaystyle X jest najmniejszą (ze względu na inkluzję) podprzestrzenią afiniczną przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 zawierającą punkty \displaystyle a,b i \displaystyle c.



Niech \displaystyle X,Y będą afinicznymi przestrzeniami euklidesowymi o kierunkach \displaystyle V i \displaystyle W (odpowiednio), a \displaystyle f\colon X \to Y niech będzie izometrią.

\displaystyle f jest iniekcją.

\displaystyle \forall v \in V odwzorowanie \displaystyle  g_v \colon X \ni x \to f(x+v) \in Y jest izometrią.

\displaystyle \forall w \in W odwzorowanie \displaystyle  h_w \colon X \ni x \to f(x)+w \in Y jest izometrią.

\displaystyle \forall x_0 \in X odwzorowanie \displaystyle \varphi \colon V \ni v \to \overrightarrow{f(x_0)f(x_0+v)} \in V jest izometrią liniową.