Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 14: Przestrzenie afiniczne II

From Studia Informatyczne

Rozważamy przestrzeń afiniczną \displaystyle \mathbb{R}^3 o kierunku \displaystyle \mathbb{R}^3. Niech \displaystyle A = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 2x_1+x_2-3x_3 =5 \}, \displaystyle B = \{(-1+t-2s,1+t+5s, 1+t+s)\ ;\ t,s \in \mathbb{R} \}.

\displaystyle A jest hiperpłaszczyzną afiniczną w \displaystyle \mathbb{R}^3.

\displaystyle A\cap B \neq \emptyset.

\displaystyle A i \displaystyle B są równoległe.

\displaystyle V_0:= \{(2t,t, -t) \ ; \ t \in \mathbb{R} \} jest kierunkiem \displaystyle A.



Rozważamy przestrzeń afiniczną \displaystyle \mathbb{R}^3 o kierunku \displaystyle \mathbb{R}^3. Dane są zbiory \displaystyle P = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 5x_1+3x_2+2x_3 =1 \}, \displaystyle L = \{(1+t,2-t, -1-t) \ ;\ t \in \mathbb{R} \}.

\displaystyle P jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

\displaystyle L jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

\displaystyle L jest równoległa do \displaystyle P.

\displaystyle  L \subset P.



Dany jest układ równań

\displaystyle (U) \left\{ \begin{array} {rrrl}       x + y -z= 2\\                      2x-y+5z=3.  \end{array}  \right.

Zbiór rozwiązań układu \displaystyle (U) jest pusty.

Zbiór rozwiązań układu \displaystyle (U) jest prostą afiniczną.

Zbiór rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z \displaystyle (U) jest prostą wektorową prostopadłą
do \displaystyle lin \{(1,1,-1),(2,-1,5)\}.

Jeśli \displaystyle (x,y,z) oraz \displaystyle (x',y',z') są rozwiązaniami układu\displaystyle (U), to \displaystyle (x-x',y-y',z-z') jest rozwiązaniem \displaystyle (U).



Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych. Mamy dane dwa zbiory \displaystyle A,B \subset V, punkt \displaystyle  c \in V oraz liczbę \displaystyle \lambda \in \mathbb{R}.

Jeżeli \displaystyle A i\displaystyle B są wypukłe, to \displaystyle A+B: = \{a+b \ ;\ a\in A, \ b\in B \} jest wypukły.

Jeżeli \displaystyle A jest wpukły, to \displaystyle c+A:= \{c+a \ ;\ a\in A\} jest wypukły.

Jeżeli \displaystyle A i\displaystyle B są wypukłe, to \displaystyle A\cup B jest wypukły.

Jeżeli \displaystyle A jest wpukły, to \displaystyle \lambda A:= \{\lambda a \ ;\ a\in A\} jest wypukły.



Niech \displaystyle  n \in \mathbb{N}_1. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^n ze standardowym iloczynem skalarnym, który oznaczamy symbolem \displaystyle <\ ,\ >. Niech \displaystyle a \in \mathbb{R}^n i niech \displaystyle \alpha \in \mathbb{R}.

Zbiór \displaystyle \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \ ; \ <x, a> \ \ge \alpha \} jest wypukły.

Zbiór \displaystyle \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \ ; \ <x, a> \neq \alpha \} jest wypukły.

Zbiór \displaystyle \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \ ; \ <x, a > \ >\alpha \} jest wypukły.

Zbiór \displaystyle \{ \mathbf{x}= (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n \ ; \ x_1\cdot...\cdot x_n >0 \} jest wypukły.



Niech \displaystyle a,b,c \in \mathbb{R} i niech

\displaystyle f_{(a,b,c)} \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3)  \to (ax_1^2 +x_3+c, x_1 +b x_1x_2 +c x_3 -7 +b) \in \mathbb{R}^2

Dla dowolnych \displaystyle a,b,c\ \displaystyle f_{(a,b,c)} jest odwzorowaniem afinicznym.

Dla dowolnego \displaystyle c\ \displaystyle f_{(0,0,c)} jest odwzorowaniem afinicznym.

Dla dowolnych \displaystyle b,c\ \displaystyle f_{(0,b,c)} jest odwzorowaniem afinicznym.

Dla dowolnych \displaystyle a,c\ \displaystyle f_{(a,0,c)} jest odwzorowaniem afinicznym.