Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 13: Przestrzenie afiniczne I

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle X = \{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \ ; \ 3x_1-x_2 =5 \}, \displaystyle V = \{(t,3t) \ ; \ t \in \mathbb{R} \} i niech

\displaystyle \omega \colon X\times X \ni  ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \to (y_1-x_1,y_2-x_2) \in \mathbb{R}^2,
\displaystyle \delta \colon X\times V \ni  ((x_1,x_2),(v_1,v_2)) \to (x_1+v_1,x_2+v_2) \in \mathbb{R}^2.

\displaystyle \omega( X\times X) \subset V.

\displaystyle \delta ( X\times V) \subset X.

\displaystyle (X,V,\omega,\delta) jest przestrzenią afiniczną.

\displaystyle  \forall (x_1,x_2),(y_1,y_2) \in X \ y_2-x_2 = 3 (y_1-x_1).



Niech \displaystyle X = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 2x_1-x_3 =1, \  x_1+x_2 =2\} i niech

\displaystyle \omega \colon X\times X \ni  ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) \to (y_1-x_1,y_2-x_2,y_3-x_3) \in \mathbb{R}^3,
\displaystyle \delta \colon X\times \mathbb{R} \ni  ((x_1,x_2,x_3),t) \to (x_1+t,x_2-t,x_3 +2t) \in \mathbb{R}^3.

\displaystyle (X,\mathbb{R},\omega,\delta ) jest przestrzenią afiniczną.

\displaystyle (0,0,0) \in X.

\displaystyle \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in X \ \mathbf{x}+\mathbf{y} \in X.

\displaystyle \forall \mathbf{x} \in X \ \forall \lambda \in \mathbb{R} \ \lambda \mathbf{x} \in X.



Niech \displaystyle X = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 2x_1+3x_2-3x_3 =1, \  x_1+x_2-2x_3 =-1\}, \displaystyle V = \{(3t,-t,t) \ ; \ t \in \mathbb{R} \} i niech

\displaystyle \omega \colon X\times X \ni  (\mathbf{x},\mathbf{y}) \to \mathbf{y}-\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3,
\displaystyle \delta \colon X\times V \ni  (\mathbf{x},v) \to \mathbf{x}+v \in \mathbb{R}^3.

\displaystyle X jest przestrzenią afiniczną o kierunku \displaystyle V.

\displaystyle \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ x_2+x_3 =1\} \subset X.

Każde trzy punkty \displaystyle a,b,c \in X są afinicznie zależne.

\displaystyle  \forall \mathbf{x} \in X \ \forall v \in V \setminus \{\Theta\} punkty \displaystyle \mathbf{x} oraz \displaystyle  \mathbf{x}+v są afinicznie niezależne.



Niech \displaystyle X będzie przestrzenią afiniczną o kierunku \displaystyle V i niech \displaystyle n\in \mathbb{N}_1.

Jeżeli \displaystyle \dim V =n, to każdy \displaystyle n-elementowy zbiór punktów przestrzeni \displaystyle X jest afinicznie niezależny.

Jeżeli \displaystyle \dim V =n, to istnieje \displaystyle (n+1)-elementowy zbiór punktów przestrzeni \displaystyle X, który jest afinicznie niezależny.

Jeśli \displaystyle v_1, v_2,...,v_n tworzą bazę \displaystyle V, to dla dowolnego \displaystyle a \in A układ \displaystyle (a;v_1, v_2,...,v_n) jest układem bazowym przestrzeni \displaystyle X.

Jeżeli \displaystyle \dim V \ge 2, to istnieją liniowo zależne wektory \displaystyle v,w \in V oraz punkt \displaystyle x\in X takie, że punkty \displaystyle x,x+v,x+w tworzą zbiór afinicznie niezależny.



Niech \displaystyle X = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ 4x_1+3x_2-x_3 = 3, \}, \displaystyle V = \{(\alpha,\beta,4\alpha +3\beta) \ ; \ \alpha, \beta \in \mathbb{R} \} i niech

\displaystyle \omega \colon X\times X \ni  (\mathbf{x},\mathbf{y}) \to \mathbf{y}-\mathbf{x} \in V,
\displaystyle \delta \colon X\times V \ni  (\mathbf{x},v) \to \mathbf{x}+v \in X.

Układ \displaystyle  ((2,-1,2); (1,-1,1), (-3,3,-3)) jest układem bazowym przestrzeni afinicznej \displaystyle X.

Układ \displaystyle  ((2,-1,2); (-2,2,-2), (1,1,7)) jest układem bazowym przestrzeni afinicznej \displaystyle X.

Dla dowolnych \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y} \in X\  \displaystyle  \delta(\mathbf{x},\mathbf{y}) \in lin \{ ( 1,0,4), (0,1,3)\}.

Istnieją liczby \displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R} takie, że \displaystyle  (2+\alpha, -3+\beta, 1+4\alpha+3\beta) \in X.



Dana jest przestrzeń afiniczna \displaystyle X o kierunku \displaystyle V \neq \{\Theta\} oraz punkt \displaystyle x_0 \in X.

Odwzorowanie \displaystyle  X \ni x \to \overrightarrow{x_0x}\in V jest bijekcją.

Odwzorowanie \displaystyle  V \ni v \to x_0 +v \in X jest bijekcją.

Odwzorowanie \displaystyle  X\times X \ni (x,y) \to \overrightarrow{xy}\in V jest iniekcją.

Odwzorowanie \displaystyle  X\times V \ni (x,v) \to x+v\in X jest iniekcją.