Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 12: Miara układu wektorów

From Studia Informatyczne

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech \displaystyle  u =(1,0,1), \ v= (-1,2,0), \ w= (-2,-1,2).

\displaystyle w \perp u.

\displaystyle w \perp v.

\displaystyle w =  v\times u.

\displaystyle \parallel w\parallel =3.



Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech \displaystyle  u =(3,2,1), \ v= (-2,1,-1), \ w= (7,0,3).

\displaystyle (u \times v) \perp w.

\displaystyle  G(v,u,w) >0.

\displaystyle u,v,w są liniowo niezależne.

\displaystyle  lin \{ u \times v\} =  lin \{ u \times w\}.



W przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2 ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory \displaystyle  v = (1,2) i \displaystyle w = (1,-1).

Pole trójkąta o wierzchołkach \displaystyle (0,0), \ (1,2), \ (1,-1) wynosi \displaystyle \frac {3}{2}.

\displaystyle G(v,w) = 9.

Dla dowolnego wektora \displaystyle  u \in \mathbb{R}^2 \ G( v,w,u)=0.

Dla dowolnego wektora \displaystyle  u \in \mathbb{R}^2 \ G( v,u)>0.



Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech \displaystyle  u =(2,1,0), \ v= (1,0,-1), \ w= (-1,2,1), \ z=(3,5,-1) i niech \displaystyle U= lin \{u,v\}.

\displaystyle d(z,U) = 6.

\displaystyle z - w \in U.

\displaystyle u,v,w są ortogonalne.

\displaystyle G (u,v,w) = 6 G(u,v).



Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech \displaystyle  u = (\frac {1}{3},\frac {2}{3},\frac {-2}{3}),\ v = (\frac {2}{3},\frac {1}{3},\frac {2}{3}),\ w=(\frac {-2}{3},\frac {2}{3},\frac {1}{3}).

\displaystyle u,v,w tworzą bazę ortonormalną przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

\displaystyle G (u,v,w) = 1.

\displaystyle  d(w, lin \{ u,v \}) = \frac {1}{3}.

\displaystyle  w = u \times v.



Niech \displaystyle V będzie wektorową przestrzenią euklidesową i niech \displaystyle  v_1,..., v_k \in V.

Jeżeli \displaystyle  v_1,..., v_k są ortogonalne, to \displaystyle G( v_1,..., v_k ) = \parallel v_1\parallel^2 ...\parallel v_k \parallel^2.

Jeżeli \displaystyle  v_1,..., v_k są ortonormalne, to \displaystyle G( v_1,..., v_k ) =1.

Jeżeli \displaystyle G( v_1,..., v_k ) =1, to \displaystyle  v_1,..., v_k są ortonormalne.

Jeżeli \displaystyle G( v_1,..., v_k ) \neq 0, to \displaystyle  v_1,..., v_k są ortogonalne.