Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 11: Formy kwadratowe

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \to  \mathbb{R} będzie dana wzorem

\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) = 5x_1x_2 +3x_2x_3 +x_1x_3.

Niech ponadto

\displaystyle \Phi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) = 3x_1y_2 +2 x_2y_1+3x_2y_3 +y_1x_3
i niech
\displaystyle  A = \left [ \begin{array} {ccc}                     0 & \frac {5}{2} &\frac {1}{2}  \\                       \frac {5}{2} & 0 & \frac {3}{2}  \\                      \frac {1}{2} & \frac {3}{2} & 0\end{array}  \right ].

\displaystyle \Phi indukuje \displaystyle f.

\displaystyle \Phi jest skojarzone z \displaystyle f.

rk \displaystyle   f =3.

\displaystyle A jest macierzą \displaystyle f przy bazie kanonicznej.



Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{R}, niech \displaystyle  \Phi, \Psi \colon V \times V \to \mathbb{R} będą odwzorowaniami dwuliniowymi i niech \displaystyle  f: V \ni v \to \Phi (v,v) \in \mathbb{R}.

Jeśli dla każdego \displaystyle v \in V\ \displaystyle \Phi (v,v) = \Psi (v,v), to \displaystyle \Phi = \Psi.

Jeśli \displaystyle \Phi i \displaystyle \Psi są symetryczne oraz dla każdego \displaystyle v \in V\ \Phi (v,v) = \Psi (v,v), to \displaystyle \Phi = \Psi.

Odwzorowanie \displaystyle  f jest formą kwadratową.

Macierz \displaystyle f w dowolnej bazie jest symetryczna.



Niech \displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 - x_2^2 -x_3^2 \in \mathbb{R}.

rk \displaystyle   f = 3.

Para (2,1) jest sygnaturą \displaystyle f.

\displaystyle f jest określona ujemnie.

\displaystyle f jest półokreślona dodatnio.



Dana jest forma kwadratowa \displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to x_1^2 + 2x_2^2 +4x_3^2 +2x_1x_2 -2x_2x_3 \in \mathbb{R}.

\displaystyle f jest zapisana w postaci kanonicznej.

\displaystyle f jest określona dodatnio.

Para (3,0) jest sygnaturą \displaystyle f.

Istnieje wektor \displaystyle x \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\} taki, że \displaystyle f(x) =0.



Niech \displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 - x_1x_2 \in \mathbb{R}, \displaystyle \Phi \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \ni ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) \to x_1y_1 - \frac {1}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) \in \mathbb{R}. Niech ponadto

\displaystyle A=\left[\begin{array} {rr}1&-\frac {1}{2}\\-\frac {1}{2}&0\end{array} \right],\quad B=\left[\begin{array} {rr}1&0\\0&-1\end{array} \right].

\displaystyle \Phi jest odwzorowaniem dwuliniowym symetrycznym skojarzonym z \displaystyle f.

\displaystyle A jest macierzą \displaystyle f przy bazie kanonicznej.

\displaystyle B jest macierzą \displaystyle f przy bazie \displaystyle  (1,0), (1,2).

Para (1,1) jest sygnaturą \displaystyle f.



Niech \displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (3x_1 - x_3,2x_2 +x_3, -x_1 +x_2 +5x_3) \in \mathbb{R}^3 i niech \displaystyle \cdot oznacza standardowy iloczyn skalarny w \displaystyle \mathbb{R}^3.

\displaystyle f jest symetryczne.

Macierz \displaystyle f w bazie kanonicznej jest diagonalna.

Odzorowanie \displaystyle  \mathbb{R}^3 \ni x \to f(x) \cdot x \in \mathbb{R} jest formą kwadratową.

Odzorowanie \displaystyle  \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3  \ni (x,y) \to f(x) \cdot y \in \mathbb{R} jest dwuliniowe symetryczne.