Algebra liniowa z geometrią analityczną/Test 10: Euklidesowe przestrzenie wektorowe

From Studia Informatyczne

Niech \displaystyle \varphi \colon \mathbb{R}^3 \times  \mathbb{R}^3 \ni ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) \to x_1y_2 +x_2y_1 - 3 x_3y_3 \in \mathbb{R}.

\displaystyle \varphi jest dwuliniowe.

\displaystyle \varphi jest symetrczne.

\displaystyle \varphi jest iloczynem skalarnym.

\displaystyle \varphi (x,x) = 0 \iff x= \Theta.



Rozważamy przestrzeń euklidesową \displaystyle (\mathbb{R}^3, \varphi), gdzie \displaystyle \varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))= 3 x_1y_1 + 2 x_2y_2 +x_3y_3.

\displaystyle (1,0,3)\perp (1,0,-1).

\displaystyle (0,1,-1)\perp (1,1,1).

\displaystyle  \parallel (1,1,2) \parallel =3.

\displaystyle  \parallel (2,2,1) \parallel =3.



Rozważamy przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^2 ze standardowym iloczynem skalarnym. Dany jest endomorfizm \displaystyle f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (x+2y,y -2x) \in \mathbb{R}^2.

\displaystyle f jest izometrią.

\displaystyle  \forall u,v \in \mathbb{R}^2 \ \big( u\perp v \Longrightarrow f(u) \perp f(v)\big).

\displaystyle f(1,1) \perp f(-1,1).

\displaystyle \{ v \in \mathbb{R}^2 ; f(u) \perp u \} jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2.



Rozważamy przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Dane są wektory \displaystyle u = (1,0,-1), \ v= (1,2,1) oraz \displaystyle w = (2,-2,2).

Wektory \displaystyle u,v,w są wzajemnie prostopadłe.

Wektory \displaystyle u,v,w stanowią bazę ortonormalną przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

Wektory \displaystyle u,v,w są liniowo niezależne.

\displaystyle  w \perp lin \{ u,v \}.



W \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym rozważamy podprzestrzenie \displaystyle  U = \{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \ ; \ x_1 + 5x_2 -2 x_3 =0\} i \displaystyle  V = \{ (t, -5t, 2t) \ ; \ t \in \mathbb{R} \}.

\displaystyle  V \perp U.

Istnieje wektor \displaystyle u \in U \setminus \{\Theta\} taki, że dla każdego \displaystyle  v \in V \ u \perp v.

Dla każdego wektora \displaystyle u \in U\  \displaystyle  u \perp (1,5,-2).

\displaystyle U^{\perp} \cap V^{\perp} jest jednowymiarową podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.



Niech

\displaystyle  A = \left [ \begin{array} {ccc}                     \frac {1}{\sqrt 2} & \frac {1}{\sqrt 2}& 0 \\                      -\frac {1}{\sqrt 2} & \frac {1}{\sqrt 2} & 0 \\                      0 & 0 & 1\end{array}  \right ].

det \displaystyle   A = -1.

\displaystyle A^*A = I.

\displaystyle A jest macierzą pewnej izometrii \displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 w bazie kanonicznej.

\displaystyle A jest macierzą ortogonalną.