Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 8: Zastosowania wyznacznika. Układy równań liniowych

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 8.1

Wykazać, że macierz


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr} 4 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 &3 &1\end{array}  \right]


jest odwracalna i w oparciu o wzór podany w odpowiednim twierdzeniu z wykładu wyznaczyć \displaystyle A^{-1}.

Wskazówka

Macierz \displaystyle A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle \det~A~\neq~0.

Rozwiązanie

Aby sprawdzić, czy macierz \displaystyle A jest odwracalna, wyliczymy \displaystyle \det A. Obliczanie wyznacznika macierzy \displaystyle A uprościmy odejmując wiersz pierwszy od wiersza trzeciego naszej macierzy. Otrzymamy wtedy macierz


\displaystyle \left[ \begin{array} {rrr} 4 &  2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 &  1 & 0 \end{array}  \right].


Rozwijając teraz jej wyznacznik względem ostatniej kolumny widzimy, że


\displaystyle \det A = \det \left[ \begin{array} {rr} 2 & -1 \\ -3 &  1 \end{array}  \right]=-1.


Zatem macierz \displaystyle A jako macierz o niezerowym wyznaczniku jest odwracalna. Zgodnie z twierdzeniem z wykładu macierzą odwrotną do macierzy \displaystyle A jest macierz \displaystyle B=[b_{ij}], gdzie


\displaystyle b_{ij}=\frac{\Delta_{ji}}{\det A},


a \displaystyle \Delta_{ij} jest zdefiniowane wzorem


\displaystyle \Delta_{ij}=(-1)^{i+j}\det A_{ij},


przy czym \displaystyle A_{ij} oznacza macierz powstającą poprzez wykreślenie \displaystyle i-tego wiersza oraz \displaystyle j-tej kolumny z macierzy \displaystyle A.

W naszym przypadku podstawiając odpowiednie wartości do powyższych wzorów otrzymujemy:


\displaystyle \aligned A_{11}&=\left[\begin{array} {rr}-1& 0\\ 3& 1\end{array} \right],\qquad A_{12}&=\left[\begin{array} {rr} 2& 0\\ 1& 1\end{array} \right],\qquad A_{13}&=\left[\begin{array} {rr} 2&-1\\ 1& 3\end{array} \right],\\ A_{21}&=\left[\begin{array} {rr} 2& 1\\ 3& 1\end{array} \right],\qquad A_{22}&=\left[\begin{array} {rr} 4& 1\\ 1& 1\end{array} \right],\qquad A_{23}&=\left[\begin{array} {rr} 4& 2\\ 1& 3\end{array} \right],\\ A_{31}&=\left[\begin{array} {rr} 2& 1\\-1& 0\end{array} \right],\qquad A_{32}&=\left[\begin{array} {rr} 4& 1\\ 2& 0\end{array} \right],\qquad A_{33}&=\left[\begin{array} {rr} 4& 2\\ 2&-1\end{array} \right], \endaligned


a dalej


\displaystyle \aligned \Delta_{11}&=(-1)^{1+1}\det A_{11}=-1,\\ \Delta_{12}&=(-1)^{1+2}\det A_{12}=(-1)\cdot 2=-2,\\ \Delta_{13}&=(-1)^{1+3}\det A_{13}=7,\\ \Delta_{21}&=(-1)^{2+1}\det A_{21}=(-1)\cdot (-1)=1,\\ \Delta_{22}&=(-1)^{2+2}\det A_{22}=3,\\ \Delta_{23}&=(-1)^{2+3}\det A_{23}=(-1)\cdot 10=-10,\\ \Delta_{31}&=(-1)^{3+1}\det A_{31}=1,\\ \Delta_{32}&=(-1)^{3+2}\det A_{32}=(-1)\cdot(- 2) =2,\\ \Delta_{33}&=(-1)^{3+3}\det A_{33}=-8. \endaligned


Wpisując wyliczone wyżej współczynniki w macierz oraz uwzględniając, że \displaystyle \det A=-1 otrzymujemy:


\displaystyle A^{-1}= \left[ \begin{array} {rrr} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -3 & -2 \\ -7 & 10 &  8 \end{array}  \right].\qedhere


Zadanie 8.2

Stosując twierdzenie Cramera rozwiązać układ równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcccccc} 3x&+&2y&+& z&=1 \\ x& -& y&+&3z&=-2 \\ 4x&+&3y&-&2z&=-1  . \end{array}  \right.


Wskazówka

Obliczanie wyznaczników można sobie ułatwić generując zera poprzez dodawanie do wierszy (kolumn) innych wierszy (kolumn) pomnożonych przez stosownie dobraną liczbę.

Rozwiązanie

Wypiszmy macierze \displaystyle A_1, \displaystyle A_2, \displaystyle A_3, gdzie macierz \displaystyle A_i powstaje przez zastąpienie w macierzy \displaystyle A kolumny odpowiadającej \displaystyle i-tej niewiadomej przez wektor wyrazów wolnych, tzn.


\displaystyle \aligned A_1=&\left[ \begin{array} {rrr} 1 &  2 &  1  \\ -2 & -1 &  3  \\ -1 &  3 & -2 \end{array}  \right],\qquad A_2=&\left[ \begin{array} {rrr} 3 &  1  &  1  \\ 1 & -2  &  3  \\ 4 & -1  & -2 \end{array}  \right],\qquad A_3=&\left[ \begin{array} {rrr} 3 &  2 &  1  \\ 1 & -1 & -2  \\ 4 &  3 & -1 \end{array}  \right]. \endaligned


Zgodnie ze wzorami Cramera, jeżeli tylko zachodzi warunek \displaystyle \det A\neq 0, gdzie \displaystyle A jest macierzą współczynników układu, w naszym przypadku daną równością


\displaystyle A= \left[ \begin{array} {rrr} 3 &  2 &  1 \\ 1 & -1 &  3 \\ 4 &  3 & -2 \end{array}  \right],


to rozwiązania układu dane są przez wzory


\displaystyle \aligned x=&\frac{\det A_1}{\det A},& y=&\frac{\det  A_2}{\det A},& z=&\frac{\det A_3}{\det A}. \endaligned


Aby obliczyć \displaystyle \det A odejmijmy najpierw trzy razy drugi wiersz macierzy \displaystyle A od pierwszego a następnie cztery razy drugi wiersz od trzeciego. Po wykonaniu tych operacji powstaje macierz


\displaystyle \left[ \begin{array} {rrr} 0 &  5 &  -8 \\ 1 & -1 &   3 \\ 0 &  7 & -14 \end{array}  \right],


której wyznacznik obliczmy rozwijając względem pierwszej kolumny


\displaystyle \det\left[ \begin{array} {rrr} 0 &  5 &  -8 \\ 1 & -1 &   3 \\ 0 &  7 & -14 \end{array}  \right]=(-1)\cdot\det \left[ \begin{array} {rr} 5 &  -8 \\ 7 & -14 \end{array}  \right]=(-1)(-14)=14.


Ponieważ wyznacznik ten jest różny od zera, nasz układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Postępując podobnie jak wyżej, lub korzystając po prostu ze wzorów podanych w zadaniu 7.7 wyliczymy, że


\displaystyle \aligned \det A_1&=-28,& \det A_2&=42,& \det A_3&=14. \endaligned


Po skorzystaniu ze wzorów Cramera otrzymujemy natychmiast, że rozwiązaniem naszego układu jest:


\displaystyle \aligned x&=-2,& y&=3,& z&=1.\qedhere \endaligned


Zadanie 8.3

W zależności od parametru \displaystyle a\in\mathbb{R} wyznaczyć rząd odwzorowania


\displaystyle f_a \colon \mathbb{R} ^3  \to   \mathbb{R}^3


danego wzorem


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(x_1  -3x_2 + x_3, a x_1 + x_2 +2 x_3, x_1+2ax_2+x_3 ).


Wskazówka

Pamiętajmy, że rząd odwzorowania liniowego jest równy rzędowi jego macierzy w dowolnie ustalonych bazach. Najłatwiej jest znaleźć macierz \displaystyle f w bazie kanonicznej.

Rozwiązanie

Macierzą odwzorowania \displaystyle f w bazie kanonicznej jest macierz


\displaystyle M_a= \left[ \begin{array} {rrr} 1 & -3 & 1 \\ a &  1 & 2 \\ 1 & 2a & 1 \end{array}  \right].


Należy wyznaczyć jej rząd w zależności od parametru \displaystyle a\in\mathbb{R}.

Wykonamy na macierzy proste operacje nie zmieniające jej rzędu, które doprowadzą naszą macierz do postaci ułatwiającej tegoż rzędu obliczenie.

i) Od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez \displaystyle a.
ii) Od wiersza trzeciego odejmujemy wiersz pierwszy.
iii) Ponieważ zamiana kolumn miejscami także nie zmienia rzędu macierzy, zamieniamy na końcu kolumnę drugą i trzecią.

Po tych przekształceniach nasza macierz ma następującą postać:


\displaystyle \left[ \begin{array} {ccc} 1 &    1 &   -3 \\ 0 &  2-a & 1+3a \\ 0 &    0 & 2a+3 \end{array}  \right]


Widać stąd, że jeżeli \displaystyle 2-a\neq 0 i \displaystyle 2a+3\neq 0, to rząd naszej macierzy wynosi \displaystyle 3. W przeciwnym przypadku, tzn. gdy \displaystyle a=2 lub \displaystyle a=-3/2, rząd naszej macierzy (a zatem i rząd odwzorowania) wynosi \displaystyle 2.

Zadanie 8.4

W zależności od wartości parametru \displaystyle a rozwiązać układ równań


\displaystyle \left\{\begin{array} {rcccccc} x &+& y&-&az&=-1 \\ ax&+&y&+&az&=4 \\ 4x&+&y&+&4z&=a. \end{array}  \right.


Wskazówka

Trzeba skorzystać z twierdzenia Kroneckera - Capellego. Zauważmy, że jeśli wyznacznik macierzy współczynników jest różny od zera, to rząd tej macierzy wynosi 3 i rząd macierzy uzupełnionej już nie może być większy.

Rozwiązanie

Macierzą uzupełnioną naszego układu jest macierz


\displaystyle B=\left[\begin{array} {rrr|r} 1 & 1 & -a & -1 \\ a & 1 &  a &  4 \\ 4 & 1 &  4 &  a \end{array}  \right].


Wypisujemy macierz współczynników naszego układu, którą oznaczamy literą \displaystyle A oraz macierze pomocnicze \displaystyle A_x\displaystyle A_y oraz \displaystyle A_z, zastępując w macierzy \displaystyle A odpowiednio pierwszą, drugą i trzecią kolumnę kolumną wyrazów wolnych. Otrzymujemy:


\displaystyle \aligned A   &= \left[\begin{array} {rrr} 1&1&-a\\ a&1&a\\ 4&1&4 \end{array} \right],& A_x &= \left[ \begin{array} {rrr} -1&1&-a\\ 4&1&a \\ a&1&4\end{array}  \right],\\ A_y&= \left[ \begin{array} {rrr} 1&-1&-a\\ a&4&a \\ 4&a&4\end{array}  \right],& A_z&= \left[ \begin{array} {rrr} 1&1&-1\\ a&1&4 \\ 4&1&a\end{array}  \right]. \endaligned


a następnie obliczamy


\displaystyle \aligned \det A   &= -{a}^{2}+3a+4=-\left(a+1\right)\left( a-4 \right),\\ \det A_x &= 2{a}^{2}-3a-20= \left( 2a+5 \right) \left( a-4 \right),\\ \det A_y &=-{a}^{3}-{a}^{2}+16a+16=-\left(a-4\right)\left(a+4\right)\left(a+1\right),\\ \det A_z &= -{a}^{2}+16=- \left( a-4 \right)  \left( a+4 \right). \endaligned


Dla tych wartości parametru \displaystyle a, dla których zachodzi warunek \displaystyle \det A\neq 0, rozwiązania układu na mocy twierdzenia Cramera dane są przez wzory


\displaystyle \aligned x=&\frac{\det A_x}{\det A},& y=&\frac{\det A_y}{\det A},& z=&\frac{\det A_z}{\det A}. \endaligned


Oznacza to, że jeżeli \displaystyle a\in\mathbb{R}\setminus\{-1,4\}, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem:


\displaystyle \aligned x=&-\frac{2a+5}{a+1},\\ y=&a+4,\\ z=&\frac{a+4}{a+1}. \endaligned


Jeżeli \displaystyle a=-1, to


\displaystyle \aligned \det A &=0& \text{i}&&\det A_z\neq 0 \endaligned


co oznacza, że


\displaystyle \aligned \textnormal rk A &<3& \text{i}&&\textnormal rk B=3, \endaligned


czyli układ jest sprzeczny. Jeżeli \displaystyle a=4, to


\displaystyle \textnormal rk A  = \textnormal rk B = 2


i podstawiając \displaystyle a=4 do naszego układu a następnie rozwiązując go otrzymujemy, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań postaci:


\displaystyle x=\frac{5}{3}-\frac{8}{3}z,\quad y=-\frac{8}{3}+\frac{20}{3}z,\quad z\in\mathbb{R}.\qedhere


Zadanie 8.5

Dla jakich parametrów \displaystyle a i \displaystyle b z ciała \displaystyle  \mathbb{R} układ równań


\aligned\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcccccc} 2x& -& 2y&+&z&=a \\ -3x&+&y&-&az&=3 \\ 7x&-&5y&+&bz&=-1. \end{array}  \right.\endaligned
i) ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 jedno rozwiązanie,
ii) ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 nieskończenie wiele rozwiązań,
iii) nie ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 rozwiązań.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z twierdzenia Kroneckera - Capellego.

Rozwiązanie

Wypiszmy macierz rozszerzoną układu, to jest macierz \displaystyle [A|B], gdzie \displaystyle A jest macierzą współczynników, a \displaystyle B jest kolumną wyrazów wolnych (aby sobie ułatwić dalsze obliczenia odkreślamy kolumnę wyrazów wolnych pionową kreską):


\displaystyle \left[ \begin{array} {rrr|r} 2 &  -2 &  1 &  a \\ -3 &   1 & -a &  3 \\ 7 &  -5 &  b & -1. \end{array}  \right].


Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego nasz układ

i) ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \textnormal rk A =\textnormal rk [A|B] = 3.


ii) ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \textnormal rk A=\textnormal rk [A|B]  < 3.


iii) nie ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \textnormal rk A< \textnormal rk [A|B].


Aby zbadać rząd \displaystyle [A|B] w zależności od parametrów \displaystyle a i \displaystyle b użyjemy operacji elementarnych (nie zmieniających rzędu macierzy) do sprowadzenia jej do postaci schodkowej:

Dodając do wiersza drugiego wiersz pierwszy przemnożony przez \displaystyle 3/2 oraz odejmując od wiersza trzeciego wiersz pierwszy przemnożony przez \displaystyle 7/2 otrzymujemy


\displaystyle \left[ \begin{array} {rrcc} 2 &  -2 &             1   &  a \\ 0 &  -2 & \frac{3}{2}-a   &  3+\frac{3}{2}a \\ 0 &   2 & b -\frac{7}{2}  & -1-\frac{7}{2}a. \end{array}  \right].


Dodając wiersz drugi do trzeciego otrzymujemy


\displaystyle \left[ \begin{array} {cccc} 2 &  -2 &             1   &  a \\ 0 &  -2 & \frac{3}{2}-a   &  3+\frac{3}{2}a \\ 0 &   0 & b- a -2         &  2-2a. \end{array}  \right].


Widzimy, że


\displaystyle \textnormal rk [A|B] =\textnormal rk A


wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle b- a -2 =  2-2a=0,\quad\text{lub}\quad b- a -2 \neq 0.


Pierwszy warunek zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle a=1\displaystyle b=3, wówczas rząd macierzy \displaystyle A jest równy rzędowi macierzy \displaystyle [A|B] i wynosi \displaystyle 2 i układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, natomiast drugi warunek jest spełniony, gdy \displaystyle b-a\neq 2 i wówczas układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, ponieważ wtedy \displaystyle \textnormal rk [A|B] =\textnormal rk  A=3. Oznacza to, że jeżeli \displaystyle b-a=2 i \displaystyle b\neq 3, to układ jest sprzeczny i nie ma rozwiązań.

Podsumowywując, układ równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcccccc} 2x& -& 2y&+&z&=a \\ -3x&+&y&-&az&=3 \\ 7x&-&5y&+&bz&=-1. \end{array}  \right.

i) ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle b-a\neq 2;
ii) ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle a=1\displaystyle b=3;
iii) nie ma w \displaystyle \mathbb{R}^3 rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle b-a=2 i \displaystyle b\neq 3.

Zadanie 8.6

Dany jest układ równań


\displaystyle (U) \left\{ \begin{array} {rcccccccc} 2x& -& 3y&+&z& -& 5w &=-7 \\ -x&+&2y&+&3z&+&4w&=1 \\ x&+&3y&-&10z&-&7w&=4\\ 5x&-&3y&-&8z&-&17w&=-10. \end{array}  \right.


Wykazać, że układ \displaystyle (U) ma rozwiązanie. Niech \displaystyle V_0 oznacza podprzestrzeń rozwiązań układu jednorodnego skojarzonego z \displaystyle (U). Wyznaczyć wymiar podprzestrzeni \displaystyle V_0 i zapisać zbiór wszystkich rozwiązań układu \displaystyle (U) w postaci \displaystyle  x_0 + V_0.

Wskazówka

Należy wyznaczyć rząd macierzy współczynników, a następnie stwierdzić, że jest on równy rzędowi macierzy uzupełnionej. Podprzestrzeń \displaystyle V_0 będzie jądrem pewnego endomorfizmu przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^4. Jakiego?

Rozwiązanie

Niech \displaystyle A będzie macierzą współczynników naszego układu, \displaystyle b będzie wektorem wyrazów wolnych. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego, aby udowodnić, że układ ma jakieś rozwiązania wystarczy zbadać rząd macierzy współczynników i macierzy rozszerzonej układu oraz wykazać, że \displaystyle \textnormal rk A = \textnormal rk [A|b]. Wyznaczenie rzędu macierzy można wykonać na parę sposobów. Poza szczególnymi przypadkami najszybciej zrobimy to stosując algorytm eliminacji Gaussa do macierzy rozszerzonej (sprowadzając macierz rozszerzoną do postaci schodkowej). Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy (jedną z wielu możliwych) postać schodkową macierzy rozszerzonej:


\displaystyle \left[ \begin{array} {ccccc} 2&  -3&   1&  -5&   -7\\ 0& 1/2& 7/2& 3/2& -5/2\\ 0&   0& -42& -18&   30\\ 0&   0&   0&   0&    0 \end{array}  \right]


Odczytujemy stąd natychmiast, że \displaystyle \textnormal rk A=\textnormal rk [A|b]=3, czyli nasz układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wymiar podprzestrzeni \displaystyle V_0 składającej się ze wszystkich wektorów spełniających jednorodny układ równań liniowych \displaystyle A\mathbf{x}=0 jest równy \displaystyle 4-\textnormal rk  A=4-3=1. Aby zapisać zbiór wszystkich rozwiązań układu \displaystyle (U) w postaci \displaystyle  x_0 + V_0, rozwiązujemy dowolną metodą nasze równanie o otrzymujemy, że zbiór


\displaystyle Z=\{(-{\frac{22}{7}},0,-{\frac{5}{7}})+ s(\frac {19}{7},0,-\frac {3}{7},1) : s\in\mathbb{R} \}


stanowi zbiór rozwiązań naszego układu. Wobec tego możemy oczywiście przyjąć:


\displaystyle \aligned x_0=&(-{\frac{22}{7}},0,-{\frac{5}{7}},0),\\ V_0=&\textnormal{lin}\{(\frac {19}{7},0,-\frac {3}{7},1)\}.\qedhere \endaligned


Zadanie 8.7

Dana jest macierz


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 &5\end{array}  \right]


Znaleźć macierz \displaystyle A^{-1} i rozwiązać układ równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcccccc} x_1& +& 2x_2&+&x_3&=5 \\ x_1&+&x_2&+&2x_3&=3 \\ 2x_1&-&x_2&+&5x_3&=-4. \end{array}  \right.


Wskazówka

Nasz układ równań możemy zapisać w postaci \displaystyle A X=B, a dokładniej


\displaystyle \left [ \begin{array} {rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 &5\end{array}  \right]  \left [ \begin{array} {r} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}  \right] = \left [ \begin{array} {r} 5 \\ 3 \\ -4\end{array}  \right] .


Wystarczy teraz obie strony pomnożyć przez \displaystyle A^{-1}.

Rozwiązanie

Zapiszmy nasz układ w postaci \displaystyle A X=B, gdzie


\displaystyle \aligned A&=  \left [ \begin{array} {rrr} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 &-1 &5\end{array}  \right],&X&=  \left [ \begin{array} {r} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}  \right]& B&= \left [ \begin{array} {r} 5 \\ 3 \\ -4\end{array}  \right] . \endaligned


Macierz \displaystyle A^{-1} możemy wyznaczyć posługując się metodą zaprezentowaną w rozwiązaniu zadania 8.1 lub rozumując jak w rozwiązaniu zadania 5.5. Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy


\displaystyle A^{-1}=    \left[ \begin{array} {rrr} \frac{7}{2}&-\frac{11}{2} & \frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}  &-\frac{1}{2}\\ -\frac{3}{2}& \frac{5}{2}  &-\frac{1}{2} \end{array}  \right].


Mnożąc teraz równanie


\displaystyle AX=B


lewostronnie stronami przez \displaystyle A^{-1} otrzymujemy


\displaystyle X=A^{-1}B,


czyli


\displaystyle \left [ \begin{array} {r} x \\ y \\ z \end{array}  \right] = \left [ \begin{array} {r} -5 \\ 4 \\ 2\end{array}  \right] .


Rozwiązaniem naszego równania są liczby


\displaystyle \aligned x&=-5,&y&=4,&z&=2.\qedhere \endaligned