Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 7: Wyznacznik

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 7.1

Niech \displaystyle f\colon\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} będzie dane wzorem


\displaystyle f((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=3x_1y_2 - 3x_2y_1  - x_3y_1 + x_1y_3.


Zbadać, czy

i) \displaystyle f jest odwzorowaniem dwuliniowym,
ii) \displaystyle f jest odwzorowaniem symetrycznym,
iii) \displaystyle f jest odwzorowaniem antysymetrycznym.

Wskazówka

Badając, czy odwzorowanie jest dwuliniowe, odwołać się do definicji i skorzystać ze znanych własności odwzorowań liniowych. W drugiej części zadania pamiętajmy, że

i) forma dwuliniowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = f(\mathbf{y},\mathbf{x})


dla dowolnych wektorów \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3), \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3,

ii) forma dwuliniowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

\displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = -f(\mathbf{y},\mathbf{x})


dla dowolnych wektorów \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3), \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3.

Dlatego należy spróbować wyrazić \displaystyle f(\mathbf{y},\mathbf{x}) przy pomocy \displaystyle f(\mathbf{x},\mathbf{y}) dla dowolnych wektorów \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3), \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3.

Rozwiązanie

Jeżeli ustalimy wektor \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3, to odwzorowanie \displaystyle f_\mathbf{x}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dane wzorem


\displaystyle f_\mathbf{x}((y_1,y_2,y_3))= f(\mathbf{x},(y_1,y_2,y_3))


jest na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 liniowe. Analogicznie, jeżeli ustalimy wektor \displaystyle \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3, to odwzorowanie \displaystyle f_\mathbf{y}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dane wzorem


\displaystyle f_\mathbf{y}((x_1,x_2,x_3))= f((x_1,x_2,x_3),\mathbf{y})


jest na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 liniowe. Oznacza to, że rozważane odwzorowanie \displaystyle f jest odwzorowaniem dwuliniowym. Zauważmy także, że dla dowolnych wektorów \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3), \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3 zachodzi


\displaystyle \aligned f(\mathbf{y},\mathbf{x})&=3y_1x_2 - 3y_2x_1  - y_3x_1 + y_1x_3\\                         &=-(-3y_1x_2 + 3y_2x_1  + y_3x_1 - y_1x_3)\\                         &=-(3y_2x_1-3y_1x_2 - y_1x_3   + y_3x_1)\\                         &=-(3x_1y_2-3x_2y_1 - x_3y_1   + x_1y_3)\\                         &=-f(\mathbf{x},\mathbf{y}). \endaligned


Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna. Ponieważ jedyną formą dwuliniową, która jest równocześnie symetryczna i antysymetryczna, jest forma zerowa, nasza forma \displaystyle f nie jest formą symetryczną.

Zadanie 7.2

Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{R} i niech \displaystyle  f,g \in V^*, \displaystyle f\neq g. Definiujemy


\displaystyle h \colon V \times V \ni (v,w) \to f(v) g(w) - f(w) g(v) \in \mathbb{R} .


Zbadać, czy

i) \displaystyle h jest formą dwuliniową,
ii) \displaystyle h jest odwzorowaniem antysymetrycznym.

Wskazówka

Wystarczy skorzystać z definicji podanych na wykładzie i z tego, że \displaystyle V^* jest przestrzenią wektorową.

Rozwiązanie

Zbadamy, czy \displaystyle h jest formą dwuliniową. Zauważmy, że jeżeli ustalimy wektor \displaystyle v\in V, to odwzorowanie \displaystyle h_\mathbf{v}\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dane wzorem


\displaystyle h_\mathbf{v}(w)= h(v,w)=f(v) g(w) - g(v) f(w)


jest kombinacją liniową odwzorowań \displaystyle g i \displaystyle f o współczynnikach \displaystyle f(v) i \displaystyle -g(v), czyli jest także odwzorowaniem liniowym. W szczególności odwzorowanie \displaystyle h jest liniowe ze względu na pierwszą zmienną. Analogicznie dowodzimy liniowości odwzorowania \displaystyle h ze względu na drugą zmienną.

Zauważmy, że dla dowolnych wektorów \displaystyle v,w\in V zachodzi


\displaystyle \aligned h(w,v) &= f(w) g(v) - f(v) g(w)\\        &=-( f(v) g(w) - f(w) g(v))\\        &=-h(v,w). \endaligned


Oznacza to, że rozważana forma jest antysymetryczna.

Zadanie 7.3

Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle g \colon V \to V będzie endomorfizmem. Wykazać, że odwzorowanie


\displaystyle G\colon \mathbb{K}\times V \ni (\alpha, v) \to g(\alpha v) \in V


jest dwuliniowe.

Wskazówka

Badając, czy odwzorowanie jest dwuliniowe, odwołać się do definicji i skorzystać ze znanych własności odwzorowań liniowych.

Rozwiązanie

Ustalmy wektor \displaystyle v\in V. Wykażemy liniowość odwzorowania \displaystyle G ze względu na pierwszą zmienną. Niech \displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta będą dowolnymi elementami ciała \displaystyle \mathbb{K}. Wówczas


\displaystyle \aligned G((\alpha\beta+\gamma\delta),v) &=g((\alpha\beta+\gamma\delta)v)\\                                 &=(\alpha\beta+\gamma\delta)g(v)\\                                 &=(\alpha\beta)g(v)+(\gamma\delta)g(v)\\                                 &=\alpha(\beta g(v))+\gamma(\delta g(v))\\                                 &=\alpha g(\beta v)+\gamma g(\delta v)\\                                 &=\alpha G(\beta,v)+\gamma                                 G(\delta,v), \endaligned


co oznacza, że odwzorowanie \displaystyle G jest liniowe ze względu na pierwszą zmienną. Badając liniowość odwzorowania \displaystyle G ze względu na drugą zmienną, zauważmy, że przy ustalonym skalarze \displaystyle \alpha \in\mathbb{K} dla każdego wektora \displaystyle v\in V zachodzi równość


\displaystyle G(\alpha,v)=g(\alpha v)=\alpha g(v).


Oznacza to, że następujące odwzorowania są sobie równe


\displaystyle G_\alpha=\alpha g,


gdzie \displaystyle G_\alpha oznacza endomorfizm przestrzeni \displaystyle V dany wzorem:


\displaystyle G_\alpha(v)=G(\alpha,v).


Ponieważ odwzorowanie \displaystyle \alpha g jest oczywiście odwzorowaniem liniowym, dowód liniowości odwzorowania \displaystyle G ze względu na drugą zmienną jest zakończony. Oznacza to, że rozważane odwzorowanie \displaystyle G jest odwzorowaniem dwuliniowym, co było do okazania.

Zadanie 7.4

Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech


\displaystyle G\colon \mathbb{K} \times V \to V


będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Wykazać, że istnieje taki endomorfizm \displaystyle g \colon V \to V, że dla wszystkich \displaystyle \alpha \in \mathbb{K} i wszystkich \displaystyle v \in V zachodzi równość:


\displaystyle G(\alpha ,v) = g(\alpha v).


Wskazówka

Ustalić odpowiedni skalar \displaystyle \alpha\in\mathbb{K} i zdefiniować


\displaystyle g(v)=G(\alpha,v),


dla dowolnego \displaystyle v\in V.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle 1 oznacza jedynkę ciała \displaystyle \mathbb{K}. Niech \displaystyle g\colon V\to V będzie dane wzorem


\displaystyle g(v)=G(1,v),


dla dowolnego \displaystyle v\in V. Liniowość odwzorowania \displaystyle g wynika z dwuliniowości odwzorowania \displaystyle G. Ustalmy teraz dowolny skalar \displaystyle \alpha\in\mathbb{K} oraz wektor \displaystyle v\in V. Wówczas


\displaystyle \aligned g(\alpha v)&=G(1,\alpha v)\\            &=\alpha G(1, v)\\            &=G(\alpha\cdot 1, v)\\            &=G(\alpha, v), \endaligned


co było do okazania.

Zadanie 7.5

Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle  \varphi \in \mathcal{L} ^n_a (V). Ustalmy wektory \displaystyle v_1, \ldots, v_n \in V. Wykazać, że dla dowolnych \displaystyle j,k \in \{ 1,\ldots,n \}, \displaystyle j\neq k i dla dowolnego skalara \displaystyle  \alpha \in \mathbb{K} zachodzi równość:


\displaystyle \varphi ( v_1,\ldots,v_j+\alpha v_k,\ldots,v_n) = \varphi (v_1, \ldots, v_n).


Wskazówka

Skorzystać z liniowości odwzorowania \displaystyle \varphi ze względu na \displaystyle j-tą zmienną oraz z faktu, że odwzorowania \displaystyle n-liniowe jest antysymetryczne wtedy i tylko wtedy, gdy znika na każdym układzie wektorów liniowo zależnych.

Rozwiązanie

Ustalmy: wektory \displaystyle v_1, \ldots, v_n \in V, skalar \displaystyle  \alpha \in \mathbb{K} oraz liczby \displaystyle j,k \in \{ 1,\ldots,n \}, \displaystyle j\neq k. Z liniowości odwzorowania \displaystyle \varphi ze względu na \displaystyle j-tą zmienną wynika, że


\displaystyle \varphi ( v_1,\ldots,v_j+\alpha v_k,\ldots,v_n) = \varphi ( v_1,\ldots,v_j,\ldots,v_n)+\varphi ( v_1,\ldots,\alpha v_k,\ldots,v_n).


Zauważmy, że ciąg wektorów


\displaystyle v_1,\ldots,v_{j-1},\underbrace{\alpha v_k}_{j},v_{j+1}\ldots,v_n,


w którym na \displaystyle j-tej pozycji stoi wektor \displaystyle \alpha v_k, a na \displaystyle k-tej pozycji stoi wektor \displaystyle v_k, przy czym \displaystyle j\neq k musi stanowić liniowo zależny układ wektorów. Ponieważ \displaystyle \varphi jest odwzorowaniem \displaystyle n-liniowym antysymetrycznym, zatem znika ono na każdym układzie wektorów liniowo zależnych, w szczególności


\displaystyle \varphi ( v_1,\ldots,\alpha v_k,\ldots,v_n)=0.


Wynika stąd, że


\displaystyle \varphi ( v_1,\ldots,v_j+\alpha v_k,\ldots,v_n) = \varphi (v_1, \ldots, v_n),


co było do okazania.

Zadanie 7.6

Niech


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {cc} a&  b \\ c & d\end{array}  \right].


Wykazać, że \displaystyle  \det A = ad -bc.

Wskazówka

Zadanie można rozwiązać na co najmniej dwa sposoby:

1. Zauważyć, że odwzorowanie \displaystyle \omega\colon M(n,n;\mathbb{R})\to\mathbb{R} dane wzorem


\displaystyle \omega\left( \left [ \begin{array} {cc} a&  b \\ c & d\end{array}  \right] \right)=ad-bc


jest dwuliniowe i antysymetryczne względem kolumn macierzy oraz spełniona jest równość


\displaystyle \omega \left( \left[ \begin{array} {cc} 1& 0 \\ 0& 1 \end{array}  \right]\right)=1,


a następnie skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu.

2. Skorzystać z faktu, że wyznacznik macierzy \displaystyle A=[a_{ij}]_{2\times 2} jest równy


\displaystyle \sum_{\sigma\in S_2}\textnormal sgn \sigma a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}.\qedhere


Rozwiązanie

Niech


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {cc} a&  b \\ c & d\end{array}  \right]= \left [ \begin{array} {cc} a_{11}&  a_{12} \\ a_{21}& a_{22} \end{array}  \right].


Zauważmy, że zbiorem wszystkich permutacji dwuelementowych jest


\displaystyle S_2=\{\sigma_0,\sigma_1\},


gdzie \displaystyle \sigma_0,\sigma_1 są odwzorowaniami danymi wzorami:


\displaystyle \aligned \sigma_0(1)=&1,\qquad \sigma_0(2)&=2\\ \sigma_1(1)=&2,\qquad \sigma_1(2)&=1. \endaligned


Oczywiście mamy też


\displaystyle \aligned \textnormal sgn \sigma_0=&1,\qquad \textnormal sgn \sigma_1&=-1. \endaligned


Wiemy, że wyznacznik macierzy \displaystyle A=[a_{ij}]_{2\times 2} jest równy:


\displaystyle \sum_{\sigma\in S_2}\textnormal sgn \sigma a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}.


Uwzględniając powyższe, informacje widzimy, że


\displaystyle \aligned \det A&=\textnormal sgn \sigma_0 a_{\sigma_0(1)1}a_{\sigma_0(2)2}+\sgn \sigma_1 a_{\sigma_1(1)1}a_{\sigma_1(2)2}\\ &=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}\\ &=ad-cb, \endaligned


co było do okazania.

Zadanie 7.7

Niech


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33 }\end{array}  \right ].


Wykazać, że


\displaystyle \det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}).

Komentarz

Oto sposób obliczania tego wyznacznika: do macierzy \displaystyle A dopisujemy pierwszą i drugą kolumnę


\displaystyle \left[ \begin{array} {ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33 } \end{array} \right ] \left.\begin{array} {cc} a_{11} & a_{12}  \\ a_{21} & a_{22}  \\ a_{31} & a_{32} \end{array}  \right.,


a następnie sumujemy iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej głównej (łączącej \displaystyle a_{11} i \displaystyle a_{33}) macierzy \displaystyle A oraz iloczyny wyrazów stojących wzdłuż linii do niej równoległych i odejmujemy iloczyny wyrazów stojących wzdłuż przekątnej łączącej \displaystyle a_{13} i \displaystyle a_{31} oraz wzdłuż linii równoległych do niej.



Wskazówka

Patrz wskazówki do zadania 7.6. Dowód można także przeprowadzić korzystając ze wzoru na wyznacznik macierzy \displaystyle 2\times 2 podanego w zadaniu 7.6 i wzoru na rozwinięcie wyznacznika macierzy względem ustalonego wiersza (kolumny) podanego w twierdzeniu z modułu 7.

Rozwiązanie

Wiemy, że wyznacznik macierzy \displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3} jest równy:


\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\textnormal sgn \sigma a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)}.      (*)


Z drugiej strony wszystkie permutacje należące do \displaystyle S_3, ich znaki oraz odpowiadające tym permutacjom składniki sumy * podane są w zamieszczonej niżej tabelce:


\displaystyle \begin{array} {c|c|c} \hline \sigma & \textnormal sgn \sigma & a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}a_{3\sigma(3)} \\\hline (1,2,3)&     +1      & a_{11}a_{22}a_{33}\\ (1,3,2)&     -1      & a_{11}a_{23}a_{32}\\ (2,1,3)&     -1      & a_{12}a_{21}a_{33}\\ (2,3,1)&     +1      & a_{12}a_{23}a_{31}\\ (3,1,2)&     +1      & a_{13}a_{21}a_{32}\\ (3,2,1)&     -1      & a_{13}a_{22}a_{31}\\\hline \end{array}


Wynika stąd, że


\displaystyle \det A = a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31},


co po uporządkowaniu daje


\displaystyle \det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - (a_{13} a_{22} a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}).\qedhere


Zadanie 7.8

Obliczyć wyznaczniki macierzy \displaystyle A\displaystyle B\displaystyle AB oraz \displaystyle A^{-1}, gdy


\displaystyle \aligned A &= \left[ \begin{array} {rrr}     -1 & 3 & 2 \\      3 & 0 & 1 \\      2 & 3 & 0 \end{array}  \right],& B &= \left[ \begin{array} {rrr}     1 & 0 & 2 \\     2 & 3 & 1 \\     3 &3 &-3 \end{array}  \right]. \endaligned


Wskazówka

Skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 7.7. Obliczając wyznaczniki macierzy \displaystyle AB oraz \displaystyle A^{-1} skorzystać

z odpowiednich własności funkcji \displaystyle \det.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru podanego w zadaniu 7.7, otrzymujemy:


\displaystyle \aligned \det A &= \det\left[ \begin{array} {rrr}     -1 & 3 & 2 \\      3 & 0 & 1 \\      2 & 3 & 0 \end{array}  \right]=27,\qquad \det B &=\det \left[ \begin{array} {rrr}     1 & 0 & 2 \\     2 & 3 & 1 \\     3 &3 &-3 \end{array}  \right]=-18. \endaligned


Aby obliczyć \displaystyle \det AB, wystarczy skorzystać z odpowiedniego wzoru, by otrzymać, że


\displaystyle \det AB =\det A\det B = 27\cdot(-18)=-486.


Podobnie


\displaystyle \det A^{-1}=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{27}.\qedhere


Zadanie 7.9

Obliczyć wyznacznik macierzy


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrrr} 2 & 3 &  2 &  7 \\ -2 & 3 &  0 &  1 \\ 0 & 0 & -3 &  5 \\ 0 & 0 &  4 & -5 \end{array}  \right].


Wskazówka

Aby uprościć obliczenia należy skorzystać z twierdzenia o wyznaczniku macierzy blokowej z wykładu 7.

Rozwiązanie

Podzielmy macierz na bloki zgodnie z poniższą ilustracją:


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rr|rr} 2 & 3 &  2 &  7 \\ -2 & 3 &  0 &  1 \\ \cline{1-4} 0 & 0 & -3 &  5 \\ 0 & 0 &  4 & -5 \end{array}  \right] = \left [ \begin{array} {c|c} \mathbf{A_{11}} &   \mathbf{A_{12}}  \\ \cline{1-2} \mathbf{0} &  \mathbf{A_{22}} \end{array}  \right].


Na mocy twierdzenia o wyznaczniku macierzy blokowej widzimy, że


\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}.


Jak łatwo obliczyć (korzystając np. z zadania 7.6) zachodzi


\displaystyle \aligned \det A_{11}&=12,\qquad \det A_{22}&=-5, \endaligned


co oznacza, że


\displaystyle \det A =\det A_{11} \cdot \det A_{22}=-60.\qedhere


Zadanie 7.10

Wykazać, że


\displaystyle  \det  \left [ \begin{array} {rrr} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 &c &c^2\end{array}  \right] = (b-a) (c-a)(c-b).


Wskazówka

Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 7.7. Można także zauważyć, że jeżeli \displaystyle a=b lub \displaystyle b=c lub \displaystyle a=c, to nasz wyznacznik jest równy \displaystyle 0, a następnie skorzystać z faktu, że wyznacznik macierzy \displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3} jest równy:


\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\textnormal sgn \sigma a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.\qedhere


Rozwiązanie

Wykorzystując metodę podaną w zadaniu 7.7, po wykonaniu odpowiednich rachunków, uzyskamy dowód. Podamy jednak alternatywny dowód, który dzięki pewnym obserwacjom będzie przeprowadzony bez wykonania jakichkolwiek rachunków. Wiemy, że wyznacznik macierzy \displaystyle A=[a_{ij}]_{3\times 3} jest równy:


\displaystyle \sum_{\sigma\in S_3}\textnormal sgn \sigma a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}.      (*)


Zauważmy, że czynniki w każdym z iloczynów postaci \displaystyle a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3} pochodzą zawsze z różnych wierszy i różnych kolumn macierzy \displaystyle A. Wynika stąd, że powyższe wyrażenie (*) dla naszej macierzy jest wielomianem stopnia trzeciego trzech zmiennych \displaystyle a\displaystyle b i \displaystyle c, przy czym każda ze zmiennych występuje w co najwyżej drugiej potędze. Można także zauważyć, że jeżeli \displaystyle a=b lub \displaystyle b=c lub \displaystyle a=c, to nasz wyznacznik jest równy \displaystyle 0, a zatem nasz wielomian musi być podzielny przez \displaystyle (a-b), \displaystyle (b-c) oraz \displaystyle (a-c). Wynika stąd, że


\displaystyle \det A = \sum_{\sigma\in S_3}\textnormal sgn \sigma a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}a_{\sigma(3)3}=k (a-b)(b-c)(a-c),      (**)


gdzie \displaystyle k jest nieustaloną jeszcze liczbą rzeczywistą. Aby wyznaczyć \displaystyle k zauważmy, że we wzorze (*) składnik \displaystyle bc^2 pojawia się dokładnie raz i odpowiada identyczności, która jest permutacją o znaku równym \displaystyle 1. Z drugiej strony w wyrażeniu (**) pojawia się składnik \displaystyle -kbc^2. Wynika stąd, że \displaystyle k=-1 oraz


\displaystyle \det A = -(a-b)(b-c)(a-c)=(b-a)(c-a)(c-b),


co było do okazania.

Zadanie 7.11

Podać wzór na wyznacznik następujących macierzy:


\displaystyle \aligned A&=\left[ \begin{array} {rrrrr}  1 &  2 & 3 & \ldots & n\\ -1 &  0 & 3 & \ldots & n\\ -1 & -2 & 0 & \ldots & n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -1 & -2 & -3 & \ldots & 0 \end{array}  \right], & B&=\left[ \begin{array} {cccccc}  0 & a & 0 & 0 & 0 & 0\\  f & 0 & b & 0 & 0 & 0\\  0 & g & 0 & c & 0 & 0\\  0 & 0 & h & 0 & d & 0\\  0 & 0 & 0 & i & 0 & e\\  0 & 0 & 0 & 0 & j & 0 \end{array}  \right] \endaligned


oraz


\displaystyle C&=[c_{ij}]_{n\times n},\qquad \text{ gdzie }c_{ij}&= \left \{\aligned 1,&\text{gdy }i+j=n+1\\ 0,&\text{gdy }i+j\neq n+1 \endaligned \right,


D&=[d_{ij}]_{n\times n},\qquad \text{ gdzie } d_{ij}&=\left \{\aligned i ,&\text{gdy }i=j,\\ n,&\text{gdy }i\neq j.\endaligned \right


Wskazówka

a) Dodając wybrany wiersz do pozostałych wierszy macierzy sprowadzić ją do postaci trójkątnej tzn. wyzerować wszystkie wyrazy macierzy leżące pod główną przekątną, a następnie skorzystać z faktu, że dla takiej macierzy trójkątnej wyznacznik jest równy iloczynowi wyrazów stojących na głównej przekątnej.
b) Użyć twierdzenia Laplace'a.
c) Odpowiednio zamieniać wiersze miejscami, aby przekształcić macierz \displaystyle C do macierzy jednostkowej. Każda taka operacja zmienia znak macierzy na przeciwny.
d) Patrz wskazówka do podpunktu \displaystyle (a).

Rozwiązanie

a) Dodając pierwszy wiersz macierzy \displaystyle A do wierszy o numerach \displaystyle 2,3,\ldots,n otrzymujemy macierz


\displaystyle \left[ \begin{array} {cccccc} 1 &  2 & 3        & 4        &\ldots & n\\ 0 &  2 & 2\cdot 3 & 2\cdot 4 &\ldots & 2n\\ 0 &  0 & 3        & 2\cdot 4 &\ldots & 2n\\ 0 &  0 & 0        &        4 &\ldots & 2n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 &  0 & 0 & 0 &\ldots & n \end{array}  \right].


Ponieważ operacja dodawania jednego wiersza do innego wiersza nie zmienia wyznacznika macierzy widzimy, że


\displaystyle \det \left[ \begin{array} {rrrrrr} 1 &  2 & 3  & 4 &\ldots & n\\ -1 &  0 & 3  & 4 &\ldots & n\\ -1 & -2 & 0  & 4 &\ldots & n\\ -1 & -2 & -3 & 0 &\ldots & n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -1 & -2 & -3 & -4 &\ldots & 0 \end{array}  \right]=\det \left[ \begin{array} {cccccc} 1 &  2 & 3        & 4        &\ldots & n\\ 0 &  2 & 2\cdot 3 & 2\cdot 4 &\ldots & 2n\\ 0 &  0 & 3        & 2\cdot 4 &\ldots & 2n\\ 0 &  0 & 0        &        4 &\ldots & 2n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 &  0 & 0 & 0 & \ldots & n \end{array}  \right].


Z drugiej strony jest jasne, że


\displaystyle \det \left[ \begin{array} {cccccc} 1 &  2 & 3        & 4        &\ldots & n\\ 0 &  2 & 2\cdot 3 & 2\cdot 4 &\ldots & 2n\\ 0 &  0 & 3        & 2\cdot 4 &\ldots & 2n\\ 0 &  0 & 0        &        4 &\ldots & 2n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0 &  0 & 0 & 0 & \ldots & n \end{array}  \right]=n!.


Wykazaliśmy zatem, że


\displaystyle \det A = n!.


b) Rozwijając wyznacznik macierzy \displaystyle B względem pierwszego wiersza widzimy, że


\displaystyle \det B = (-1)a\det \left[ \begin{array} {ccccc} f & b & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & c & 0 & 0\\ 0 & h & 0 & d & 0\\ 0 & 0 & i & 0 & e\\ 0 & 0 & 0 & j & 0 \end{array}  \right].


Rozwijając następnie wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem ostatniej kolumny otrzymujemy:


\displaystyle \det B = (-1)a\cdot (-1)e\det \left[ \begin{array} {ccccc} f & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & h & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & j \end{array}  \right].


Ponownie rozwijając wyznacznik otrzymanej wyżej macierzy względem drugiego wiersza otrzymujemy:


\displaystyle \det B = ae\cdot(-1)c\det \left[ \begin{array} {ccccc} f & b  & 0 \\ 0 & h  & d \\ 0 & 0  & j \end{array}  \right].


Ponieważ ta ostatnia macierz jest macierzą trójkątną, widzimy, że


\displaystyle \det B = -acefhj.


c) Zauważmy, że macierz \displaystyle C wygląda tak


\displaystyle C=\left[ \begin{array} {cccccc} 0 &  1 & 0      &  0      &\ldots & 0\\ 0 &  0 & 1      &  0      &\ldots & 0\\ 0 &  0 & 0      &  1      &\ldots & 0\\ \vdots  & \vdots &  \vdots &\vdots & \ddots & \vdots\\ 0 &  0 & 0      &  0      &\ldots & 1\\ 1 &  0 & 0      &  0      &\ldots & 0 \end{array}  \right].

Niech \displaystyle w_n oznacza wiersz o numerze \displaystyle n. Zamieniając miejscami wiersz \displaystyle w_n z wierszem \displaystyle w_{n-1}, następnie \displaystyle w_{n-1}\displaystyle w_{n-2} i tak dalej, by na końcu zamienić miejscami wiersz pierwszy z drugim otrzymujemy macierz jednostkową. Potrzebowaliśmy \displaystyle n-1 operacji zamiany wiersza miejscami zatem wyznacznik naszej macierzy wynosi:


\displaystyle \det C =(-1)^{n-1}\det I = (-1)^{n-1}.


d) Zauważmy, że macierz \displaystyle D wygląda schematycznie tak


\displaystyle D= \left[ \begin{array} {cccccc} 1 &  n & n  & n &\ldots & n\\ n &  2 & n  & n &\ldots & n\\ n &  n & 3  & n &\ldots & n\\ n &  n & n  & 4 &\ldots & n\\ \vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ n &  n & n &  n &\ldots & n \end{array}  \right].


Odejmując wiersz o numerze \displaystyle n od wierszy o numerach \displaystyle 1,2,\ldots,n-1, otrzymujemy poniższą macierz \displaystyle D' o wyznaczniku równym wyznacznikowi macierzy \displaystyle D.


\displaystyle D'= \left[ \begin{array} {cccccrc} 1-n &  0 &  0  & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0  & 2-n & 0  & 0 &\ldots & 0& 0\\ 0 &  n & 3-n  & 0 &\ldots & 0& 0\\ \vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots\\ 0 &  0 & 0  & 0 &\ldots &-1 & 0 \\ n &  n & n &  n &\ldots & n & n \end{array}  \right].


Oczywiście mamy


\displaystyle \det D=\det D'=n\cdot(-1)\cdot (-2)\cdot \ldots (2-n)\cdot (1-n)=(-1)^{n-1}n!.\qedhere


Zadanie 7.12

Niech \displaystyle A będzie rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru \displaystyle n.

a) Udowodnić, że jeżeli \displaystyle A jest macierzą skośnie symetryczną, czyli \displaystyle A^*=-A oraz \displaystyle n jest liczbą nieparzystą, to \displaystyle \det A=0.
b) Podać przykład rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej \displaystyle A takiej, że \displaystyle \det A\neq 0.
c) Wykazać, że jeżeli \displaystyle A^2+I=0, to \displaystyle n jest liczbą parzystą.
d) Czy powyższa implikacja pozostaje prawdziwa, jeżeli założmy, że \displaystyle A jest macierzą zespoloną?

Wskazówka

Skorzystać z podstawowych własności wyznacznika.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że \displaystyle A\in M(n,n;\mathbb{R}) jest macierzą skośnie symetryczną, czyli \displaystyle A^*=-A oraz \displaystyle n jest liczbą nieparzystą. Z równości \displaystyle A^*=-A wynika, że


\displaystyle \det( A^*)=\det (-A).


Ponieważ \displaystyle n jest liczbą nieparzystą widzimy, że


\displaystyle \det (-A)=(-1)^n\det A =-\det A.


Z drugiej strony


\displaystyle \det (A^*)=\det A.


Otrzymaliśmy, że


\displaystyle \det A= -\det A,


co jest możliwe tylko, gdy \displaystyle \det A=0, co było do okazania.

b) Przykładem rzeczywistej skośnie symetrycznej macierzy kwadratowej \displaystyle A takiej, że \displaystyle \det A\neq 0 jest, jak łatwo sprawdzić, macierz


\displaystyle \left[ \begin{array} {cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}  \right].


c) Jeżeli \displaystyle A^2+I=0, to


\displaystyle A^2=-I.


Wówczas


\displaystyle \det A^2 = \det (-I),


czyli


\displaystyle (\det A)^2=(-1)^n.


Ponieważ \displaystyle (\det A)^2 jest dla dowolnej rzeczywistej macierzy kwadratowej liczbą rzeczywistą nieujemną, widzimy, że \displaystyle (-1)^n musi być równe \displaystyle 1, co jest możliwe tylko, gdy \displaystyle n jest liczbą parzystą.

d) Twierdzenie z porzedniego podpunktu przestaje być prawdziwe, jeżeli będziemy rozpatrywali macierze o wyrazach zespolonych. Niech


\displaystyle A=\left[ \begin{array} {ccc} \mathbf{i} &   0 &   0\\ 0 & \mathbf{i} &   0\\ 0 &   0 & \mathbf{i} \end{array}  \right].


Wówczas \displaystyle A jest macierzą wymiaru nieparzystego oraz


\displaystyle A^2=\left[ \begin{array} {ccc} \mathbf{i}^2 &   0   &   0  \\ 0   & \mathbf{i}^2 &   0  \\ 0   &   0   & \mathbf{i}^2 \end{array}  \right]=\left[ \begin{array} {ccc} -1 &   0 &  0  \\ 0 &  -1 &  0  \\ 0 &   0 & -1 \end{array}  \right]=-I.


Podana wyżej macierz \displaystyle A stanowi kontrprzykład dla twierdzenia zawartego w poprzednim podpunkcie w przypadku zespolonym.

Zadanie 7.13

Uzasadnić, że wyznacznik następującej macierzy


\displaystyle A=\left[ \begin{array} {ccccc} x_0   &  x_2   & x_4 & x_6 & x_8  \\ x_1   &  x_3   & x_5 & x_7 & x_9  \\ x_{10}&  x_{11}&  0  &  0  &  0   \\ x_{12}&  x_{13}&  0  &  0  &  0   \\ x_{14}&  x_{15}&  0  &  0  &  0   \\ \end{array}  \right], \text{ gdzie }x_1\ldots x_{15}\in\mathbb{R},


jest równy \displaystyle 0.

Wskazówka

Wykazać, że kolumny tej macierzy nie mogą być liniowo niezależne.

Rozwiązanie

Zauważmy, że trzy ostatnie kolumny rozważanej macierzy traktowane jako wektory należą do dwuwymiarowej podprzestrzeni przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^5, a zatem nie mogą być liniowo niezależne i rząd macierzy \displaystyle A musi być mniejszy od \displaystyle 5. Oznacza to, że


\displaystyle \det A=0,


co było do okazania.