Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 6: Macierze a odwzorowania liniowe

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 6.1

Znaleźć macierz odwzorowania \displaystyle  f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^2, danego wzorem


\displaystyle f((x_1,x_2,x_3,x_4)) = (x_1+3x_2 -2x_3 ,\ x_1 - x_2+x_3 - x_4),


w bazach \displaystyle u_1,u_2,u_3,u_4 oraz \displaystyle  v_1,v_2, gdy


\displaystyle \aligned u_1 &=( 2, 0, 1, 0), &     &         \\ u_2 &=(-1, 1, 0, 3), \qquad v_1 &=~( 1,1),\\ u_3 &=( 0, 1, 1, 0), \qquad v_2 &=~(-1,0),\\ u_4 &=( 1,-1, 2, 3). &     & \endaligned


Wskazówka

Dla \displaystyle j=1,2,3,4 obliczyć wartości odwzorowania \displaystyle f na wektorze \displaystyle u_j, a następnie przedstawić \displaystyle f(u_j) jako kombinację liniową wektorów \displaystyle v_1 i \displaystyle v_2. Współczynniki takiego przedstawienia wektora \displaystyle f(u_j) utworzą \displaystyle j-tą kolumnę szukanej macierzy.

Rozwiązanie

Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w podanych bazach musimy:

  1. Wyznaczyć wartość odwzorowania \displaystyle f na podanej bazie dziedziny, czyli wyznaczyć \displaystyle f(u_1), \displaystyle f(u_2), \displaystyle f(u_3), \displaystyle f(u_4).
  2. Znaleźć współrzędne wektorów \displaystyle f(u_1), \displaystyle f(u_2), \displaystyle f(u_3), \displaystyle f(u_4)\in \mathbb{R}^2 w podanej bazie \displaystyle \mathbb{R}^2, czyli bazie złożonej z wektorów \displaystyle v_1, i \displaystyle v_2.

Otrzymane współrzędne wpisujemy do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie \displaystyle \mathbb{R}^2 odpowiadające obrazowi pierwszego wektora z podanej bazy \displaystyle \mathbb{R}^4 przez odwzorowanie \displaystyle f utworzą pierwszą kolumnę, drugiego drugą itd.

W naszej sytuacji wykonując elementarne rachunki otrzymujemy:


\displaystyle \aligned f(u_1)=f(( 2, 0, 1, 0))&=(0,3), &f(u_2)=f((-1, 1,0, 3))&=(2,-5),\\ f(u_3)=f(( 0, 1, 1, 0))&=(1,0), &f(u_4)=f(( 1,-1, 2,3))&=(-6,1). \endaligned


Aby wyznaczyć współrzędne wektorów \displaystyle f(u_1), \displaystyle f(u_2), \displaystyle f(u_3), \displaystyle f(u_4) w bazie złożonej z wektorów \displaystyle v_1 i \displaystyle v_2 musimy rozwiązać cztery układy równań, których lewe strony są identyczne natomiast za prawe strony podstawiamy kolejno wyliczone wektory \displaystyle f(u_1), \displaystyle f(u_2), \displaystyle f(u_3), \displaystyle f(u_4), co schematycznie możemy zapisać tak:


\displaystyle  \left.\begin{array} {rcrccccc} &   &    &   & f(u_1)   & f(u_2)  & f(u_3)  &f(u_4)\\ &   &    &   & \parallel&\parallel&\parallel&\parallel\\ x_1 & - & x_2&= \tempe{0}&\tempe{2}&\tempe{1}&-6\\ x_1 &   &    &= \tempe{3}&\tempe{-5}&\tempe{0}&1 \end{array} \right.


rozwiązując te układy możemy stwierdzić, że w podanych bazach macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:


\displaystyle \left[\begin{array} {rrrr} 3 & -5  &  0 &  1 \\ 3 & -7  & -1 &  7 \end{array} \right].\qedhere


Zadanie 6.2

Niech \displaystyle \mathbb{K} oznacza dowolne ciało, niech \displaystyle n,m \in \mathbb{N}_1 i niech \displaystyle  a_{11},\ldots,a_{1n},\ldots,a_{m1},\ldots,a_{mn} \in \mathbb{K}. Znaleźć macierz odwzorowania


\displaystyle f\colon \mathbb{K}^n  \to \mathbb{K}^m,


danego wzorem


\displaystyle f(x_1, \ldots , x_n) = (a_{11}x_1 +\ldots+a_{1n}x_n, \ldots, a_{m1}x_1 +\ldots+a_{mn}x_n).


w bazach kanonicznych przestrzeni \displaystyle \mathbb{K}^n i odpowiednio \displaystyle \mathbb{K}^m.

Wskazówka

Zadanie można rozwiązać postępując podobnie jak przy zadaniu 6.1, tylko teraz należy rozważać wektory baz kanonicznych w \displaystyle \mathbb{R}^n i odpowiednio w \displaystyle \mathbb{R}^m. Jaki jest związek między współczynnikami występującymi we wzorze definiującym odwzorowanie \displaystyle f a wierszami otrzymanej macierzy?

Rozwiązanie

Niech \displaystyle e_1,\ldots,e_n będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni \displaystyle \mathbb{K}^n, a \displaystyle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m będą wektorami bazy kanonicznej przestrzeni \displaystyle \mathbb{K}^m. Aby znaleźć macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych przestrzeni \displaystyle \mathbb{K}^n oraz \displaystyle \mathbb{K}^m musimy wyznaczyć wartość odwzorowania \displaystyle f na podanej bazie kanonicznej dziedziny, czyli wyznaczyć \displaystyle f(e_i), dla \displaystyle i=1,\ldots,n. Łatwo widać, że \displaystyle f(e_i)= (a_{1i}, a_{2i}, \ldots, a_{mi}). Współrzędne wektora \displaystyle (a_{1i}, a_{2i}, \ldots, a_{mi})\in\mathbb{K}^m w bazie \displaystyle \varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m także łatwo wyznaczyć (patrz zadanie 3.4). Otrzymane współrzędne wpisujemy teraz do szukanej macierzy, przy czym współrzędne w zadanej bazie odpowiadające obrazowi \displaystyle i-tego wektora z bazy kanonicznej przez odwzorowanie \displaystyle f utworzą \displaystyle i-tą kolumnę, czyli


\displaystyle f(e_i)=\left[\begin{array} {c} a_{1i}  \\ a_{2i}  \\ \vdots  \\ a_{mi} \end{array} \right].


Oznacza to, że w bazach kanonicznych macierz naszego odwzorowania ma następującą postać:


\displaystyle \left[\begin{array} {cccc} a_{11} &  a_{12} &  \ldots &  a_{1n} \\ a_{21} &  a_{22} &  \ldots &  a_{2n} \\ \vdots &  \vdots &  \ddots &  \vdots \\ a_{m1} &  a_{m2} &  \ldots &  a_{mn} \end{array} \right].\qedhere


Zadanie 6.3

Dana jest macierz


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {rrr} 1 &  2 &  2 \\ 1 & -1 & -2 \\ -2 &  1 &  3 \end{array} \right ]


endomorfizmu \displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 w bazie \displaystyle u_1 = (1,0,1), \displaystyle u_2 = (0,1,1) i \displaystyle u_3 = (0,1,0). Znaleźć macierz \displaystyle f w bazie kanonicznej przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3.

Wskazówka

Zauważyć, że na mocy zadania 6.2 znalezienie macierzy \displaystyle f w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie \displaystyle f w postaci:


\displaystyle \aligned f((x_1, x_2 , x_3) = (&a_{11}x_1 +a_{12}x_2+a_{13}x_3,\\ &a_{21}x_1 +a_{22}x_2+a_{23}x_3,\\ &a_{31}x_1 +a_{32}x_2+a_{33}x_3). \endaligned


Wiedząc, że \displaystyle A jest macierzą odwzorowania \displaystyle f w bazie złożonej z wektorów \displaystyle u_1\displaystyle u_2 i \displaystyle u_3 możemy obliczyć wartości odwzorowania \displaystyle f na tych wektorach. Znając wartości odwzorowania liniowego na pewnej bazie przestrzeni możemy wyznaczyć jego wzór postępując np. tak jak w zadaniu 4.5, czyli rozwiązując trzy układy trzech równań o trzech niewiadomych.

Rozwiązanie

Na podstawie zadania 6.2 stwierdzamy, że znalezienie macierzy \displaystyle f w bazie kanonicznej jest równoważne znalezieniu wzoru na odwzorowanie \displaystyle f w postaci:


\displaystyle \aligned f((x_1, x_2 , x_3) = (&a_{11}x_1 +a_{12}x_2+a_{13}x_3,\\ &a_{21}x_1 +a_{22}x_2+a_{23}x_3,\\ &a_{31}x_1 +a_{32}x_2+a_{33}x_3). \endaligned


Zauważmy także, że z postaci macierzy \displaystyle A możemy odczytać informacje na temat wartości odwzorowania \displaystyle f na wektorach


\displaystyle \aligned u_1& = (1,0,1),\qquad u_2 &= (0,1,1),\qquad u_3 &= (0,1,0). \endaligned


Wiemy, że


\displaystyle \aligned f(u_1) &= u_1+u_2-2u_3=(1,-1,2),\\ f(u_2) &= 2u_1-u_2+u_3=(2,0,1),\\ f(u_3) &= 2u_1-2u_2+3u_3=(2,1,0). \endaligned


Dzięki tym obserwacjom znaleźliśmy się w takiej samej sytuacji jak przy rozwiązaniu zadania 4.5, tzn. znamy wartości \displaystyle f na pewnej bazie przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 i poszukujemy wzoru na \displaystyle f. Dlatego wiersze macierzy \displaystyle f w bazie kanonicznej stanowią kolejne rozwiązania następujących trzech układów równań liniowych, których lewe strony są niezmienne a prawe się zmieniają (układy te wyznaczamy analogicznie jak w zadaniu 4.5):


\displaystyle  \left\{\begin{array} {rcccc} x+z&= \tempe{1} &\tempe{2} &2    \\ y+z&=\tempe{-1} &\tempe{0} &1    \\ y  &= \tempe{2} &\tempe{1} &0 \end{array} \right.


Rozwiązując te układy otrzymujemy kolejne wiersze szukanej macierzy, tzn. \displaystyle (1,2,0), \displaystyle (0,1,-1), \displaystyle (1,0,1). W rezultacie dostajemy macierz naszego odwzorowania w bazach kanonicznych:


\displaystyle \left[\begin{array} {rrr}1 &2 & 0\\ 0 &1 &-1\\ 1 &0 & 1 \end{array} \right].\qedhere


Zadanie 6.4

Niech


\displaystyle f\colon M(2,2;\mathbb{R}) \ni \left [ \begin{array} {cc} a & b \\ c & d   \end{array} \right ]  \to \left [ \begin{array} {cc} c & d \\ a & b \end{array}  \right ] \in M(2,2;\mathbb{R}).


Wykazać, że \displaystyle f jest odwzorowaniem liniowym i znaleźć jego macierz w bazie


\displaystyle \aligned A_{11} &= \left[\begin{array} {cc} 1&0 \\ 0&0 \end{array} \right],& A_{12} &= \left[\begin{array} {cc} 0&1 \\ 0&0 \end{array} \right],& A_{21} &= \left[\begin{array} {cc} 0&0 \\ 1&0 \end{array} \right],& A_{22} &= \left[\begin{array} {cc} 0&0 \\ 0&1 \end{array} \right] \endaligned


uporządkowanej leksykograficznie. Jaki jest rząd tego odwzorowania?

Wskazówka

Rozwiązując to zadanie można postępować podobnie jak przy zadaniu 6.1, pamiętając jedynie, że w przestrzeni \displaystyle M(2,2;\mathbb{R}) wektorami są macierze kwadratowe. Przy obliczaniu rzędu odwzorowania można skorzystać z faktu, że rząd odwzorowania liniowego jest równy rzędowi jego macierzy w dowolnych bazach.

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od sprawdzenia, czy dane odwzorowanie \displaystyle f jest liniowe. Dla dowolnych skalarów \displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R} oraz macierzy


\displaystyle A=\left [ \begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}  \right ],\quad B=\left [ \begin{array} {cc}  b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}  \right ] \in M(2,2;\mathbb{R})


zachodzi:


\displaystyle \aligned f(\alpha A+\beta B)&=f\left(\left[\begin{array} {cc}\alpha a_{11}+\beta b_{11}&\alpha a_{12}+\beta b_{12} \\ \alpha a_{21}+\beta b_{21}&\alpha a_{22}+\beta b_{22} \end{array} \right]\right)\\ &=\left[\begin{array} {cc}\alpha a_{21}+\beta b_{21}&\alpha a_{22}+\beta b_{22}\\ \alpha a_{11}+\beta b_{11}&\alpha a_{12}+\beta b_{12} \end{array} \right]\\ &=\alpha\left[\begin{array} {cc}a_{21}& a_{22}\\  a_{11}& a_{12} \end{array} \right]+\beta \left [ \begin{array} {cc}  b_{21} & b_{22} \\ b_{11} & b_{12} \end{array}  \right ] \\ &=\alpha f( A)+\beta f(B), \endaligned


co kończy dowód liniowości odwzorowania \displaystyle f.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia macierzy naszego odwzorowania. Obliczamy wartość odwzorowania \displaystyle f na wektorach podanej bazy i otrzymane wyniki rozpisujemy od razu w postaci kombinacji liniowej wektorów tejże bazy:


\displaystyle \aligned f(A_{11})&=\left[\begin{array} {cc}0&0 \\ 1&0 \end{array} \right]=A_{21}, \qquad f(A_{12})&=\left[\begin{array} {cc}0&0 \\ 0&1 \end{array} \right]=A_{22},\\ f(A_{21})&=\left[\begin{array} {cc}1&0 \\ 0&0 \end{array} \right]=A_{11}, \qquad f(A_{22})&=\left[\begin{array} {cc}0&1 \\ 0&0 \end{array} \right]=A_{12}. \endaligned


Ponieważ zachodzi:


\displaystyle \aligned A_{21}&=0\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+1\cdot A_{21}+0\cdot A_{22}, \\ A_{22}&=0\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+1\cdot A_{22}, \\ A_{11}&=1\cdot A_{11}+0\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+0\cdot A_{22}, \\ A_{12}&=0\cdot A_{11}+1\cdot A_{12}+0\cdot A_{21}+0\cdot A_{22}, \endaligned


stwierdzamy, że (w podanej bazie) wektorem współrzędnych wektora \displaystyle f(A_{11}) jest \displaystyle (0,0,1,0), wektorem współrzędnych wektora \displaystyle f(A_{12}) jest \displaystyle (0,0,0,1), wektorem współrzędnych wektora \displaystyle f(A_{21}) jest \displaystyle (1,0,0,0) natomiast wektorem współrzędnych wektora \displaystyle f(A_{22}) jest \displaystyle (0,1,0,0). Wpisując otrzymane wektory współrzędnych jako kolumny macierzy otrzymujemy szukaną macierz


\displaystyle A=\left[\begin{array} {cccc}0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \\ 1&0&0&0\\0&1&0&0 \end{array} \right].


Zauważmy, że kolumnami tej macierzy są wektory z bazy kanonicznej przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^4, zatem kolumny są liniowo niezależne i macierz ta ma oczywiście rząd równy \displaystyle 4. Ponieważ \displaystyle \textnormal rk A=\textnormal rk f widzimy, że rząd odwzorowania \displaystyle f jest równy \displaystyle 4.

Zadanie 6.5

Dane jest odwzorowanie


\displaystyle f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to  \left( \left[ \begin{array} {rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha  \end{array}  \right ] \left [ \begin{array} {c} x \\ y\end{array}  \right ] \right)^* \in \mathbb{R}^2.


Wykazać, że \displaystyle f jest liniowe i znaleźć jego wartość na wektorze \displaystyle ( \cos \varphi,  \sin \varphi).

Wskazówka

Skorzystać ze wzorów na \displaystyle \cos(\alpha+\beta) oraz \displaystyle \sin(\alpha+\beta).

Rozwiązanie

Korzystając z definicji mnożenia macierzy i operacji transponowania otrzymujemy prostszy wzór na wartość \displaystyle f na wektorze \displaystyle (x,y)\in\mathbb{R}^2:


\displaystyle f((x,y))=((\cos \alpha) x -(\sin \alpha )y , (\sin \alpha )x + (\cos \alpha) y)\in\mathbb{R}^2.


Liniowość odwzorowania \displaystyle f wynika teraz z zadań 4.1 oraz 4.3.

Korzystając ponownie z powyższego wzoru oraz ze znanych tożsamości trygonometrycznych obliczamy też wartość \displaystyle f na wektorze \displaystyle ( \cos \varphi, \sin \varphi):


\displaystyle \aligned f(( \cos \varphi, \sin \varphi))=(&(\cos \alpha)  \cos \varphi -(\sin \alpha ) \sin \varphi ,\\ &(\sin \alpha ) \cos \varphi + (\cos \alpha) \sin \varphi)&=( \cos (\varphi+\alpha), \sin (\varphi+\alpha)). \endaligned


Zauważmy, że nasze odwzorowanie działa na wektorze \displaystyle ( \cos \varphi, \sin \varphi) jak obrót o kąt \displaystyle \alpha.

Zadanie 6.6

Wiedząc, że


\displaystyle A =  \left [ \begin{array} {rr} 1 &  2 \\ 1 & -1 \\ 3 &  1 \end{array}    \right ]


jest macierzą odwzorowania liniowego \displaystyle f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 w bazach kanonicznych, wyznaczyć odwzorowanie dualne \displaystyle f^* oraz jego macierz w bazach dualnych do kanonicznych.

Wskazówka

Skorzystać z faktu, że macierz dualna do \displaystyle A będzie macierzą odwzorowania \displaystyle f^* w bazach dualnych do baz kanonicznych.

Znając macierz \displaystyle A^* łatwo można wyznaczyć wzór na odwzorowanie \displaystyle f^* w oparciu o zadanie 6.2.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez \displaystyle e^*_1, \displaystyle e^*_2, \displaystyle e^*_3 bazę dualną do bazy kanonicznej w \displaystyle \mathbb{R}^3, a przez \displaystyle E^*_1\displaystyle E^*_2 bazę dualną do bazy kanonicznej w \displaystyle \mathbb{R}^2. Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że macierzą odwzorowania \displaystyle f^* w bazach dualnych do baz kanonicznych jest macierz \displaystyle A^*, czyli


\displaystyle A^* = \left [ \begin{array} {rrr} 1 &1&3\\ 2 & -1  &1\end{array}  \right].


Odczytujemy stąd, że wartością odwzorowania \displaystyle f^* na formie


\displaystyle \varphi=\alpha_1e^*_1+\alpha_2e^*_2+\alpha_3e^*_3,


czyli formie przyjmującej na wektorze \displaystyle (y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3 wartość


\displaystyle \varphi(y_1,y_2,y_3)=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\alpha_3x_3,


jest forma \displaystyle \psi=f^*(\varphi) przyjmująca na wektorze \displaystyle (x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 wartość


\displaystyle \aligned \psi(x_1,x_2)=&(\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3)x_1+(2\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3)x_2, \endaligned


innymi słowy:


\displaystyle {\psi=(\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3)E^*_1+(2\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3)E^*_2.} \qedhere


Zadanie 6.7

Niech \displaystyle  f\colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \to (2x+3y, x+y) \in \mathbb{R}^2. Wyznaczyć macierz endomorfizmu \displaystyle f^* w bazie złożonej z form


\displaystyle \aligned \varphi \colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) &\to x+2y \in \mathbb{R} \\ \psi \colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) &\to x+3y \in \mathbb{R} . \endaligned


Znaleźć taką bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2, żeby baza złożona z form \displaystyle \varphi, \displaystyle \psi była do niej dualna.

Wskazówka

Gdyby nasze zadanie polegało tylko na znalezieniu macierzy odwzorowania \displaystyle f^* w podanej bazie moglibyśmy po prostu obliczyć \displaystyle f^*(\varphi ) oraz \displaystyle f^*(\psi ) i przedstawić każdą z otrzymanych form jako kombinację liniową form \displaystyle \varphi i \displaystyle \psi. Ponieważ mamy jeszcze znaleźć bazę, do której podana baza przestrzeni form liniowych jest dualna możemy najpierw wyznaczyć tę bazę, a potem macierz \displaystyle f w tej bazie. Aby znaleźć macierz \displaystyle f^* wystarczy postępować jak w zadaniu 6.6.

Rozwiązanie

Załóżmy, że znamy bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2 złożoną z wektorów \displaystyle v_1 oraz \displaystyle v_2 i taką, że baza do niej dualna składa się z form \displaystyle \varphi oraz \displaystyle \psi. Wówczas zgodnie z twierdzeniem znanym z wykładu szukana przez nas macierz odwzorowania \displaystyle f^* jest równa \displaystyle A^*, gdzie \displaystyle A jest macierzą \displaystyle f w bazie złożonej z wektorów \displaystyle v_1 oraz \displaystyle v_2.

Poszukiwane przez nas wektory \displaystyle v_1 i \displaystyle v_2 spełniają zależności


\displaystyle \aligned \varphi(v_1)&=1 \qquad \varphi(v_2)&=0\\ \psi(v_1)&=0 \qquad \psi(v_2)&=1. \endaligned


Oznacza to, że \displaystyle v_1 oraz \displaystyle v_2 są rozwiązaniami dwóch układów równań, których lewe strony są identyczne i składają się z równań wyznaczonych przez wzory na \displaystyle \varphi i \displaystyle \psi, natomiast za prawe strony podstawiamy odpowiednio wektory \displaystyle (1,0) oraz \displaystyle (0,1).


\displaystyle  \left\{\begin{array} {cccc|cc} x & + & 2y &= \tempe{1}&{0}\\ x & + & 3y &= \tempe{0}&{1} \end{array} \right.


Rozwiązaniami tych układów są wektory \displaystyle v_1=(3,-1) oraz \displaystyle v_2=(-2,1). Baza złożona z form \displaystyle \varphi, \displaystyle \psi jest dualna do bazy złożonej z wektorów \displaystyle v_1, \displaystyle v_2.

W celu znalezienia macierzy \displaystyle f w podanej bazie znajdujemy \displaystyle f(v_1)=(3,2) oraz \displaystyle f(v_2)=(-1,-1). Następnie wyznaczamy współczynniki wektorów \displaystyle f(v_1)=(3,2) oraz \displaystyle f(v_2)=(-1,-1) w bazie \displaystyle v_1 oraz \displaystyle v_2.

W tym celu rozwiązujemy układy


\displaystyle  \left\{\begin{array} {rcrc|cc} 3x & - & 2y &= \tempe{3}&{-1}\\ -x & + & y &= \tempe{2}&{-1} \end{array} \right.


Znajdujemy, że \displaystyle f(v_1)=(3,2)=7v_1+9v_2 oraz \displaystyle f(v_2)=(-1,-1)=-3v_1-4v_2. Oznacza to, że macierzą \displaystyle f w bazie złożonej z wektorów \displaystyle v_1 oraz \displaystyle v_2 jest


\displaystyle A = \left [ \begin{array} {cc} 7 &-3\\ 9 & -4  \end{array}    \right ].


Wobec powyższych obliczeń szukaną macierzą jest macierz:


\displaystyle A^* = \left [ \begin{array} {rr} 7 &9\\ -3 & -4\end{array}    \right ]. \qedhere


Zadanie 6.8

Niech \displaystyle A będzie ustaloną rzeczywistą macierzą kwadratową wymiaru \displaystyle n. Definiujemy odwzorowanie


\displaystyle T_A\colon M(n,n;\mathbb{R})\mapsto M(n,n;\mathbb{R})


kładąc dla macierzy \displaystyle X\in\mathbb{R}^{n\times n}


\displaystyle T_A(X)=AX-XA.


Udowodnić, że \displaystyle T jest odwzorowaniem liniowym. Czy istnieje taka macierz \displaystyle A, aby zdefiniowane przy jej pomocy odwzorowanie \displaystyle T_A było epimorfizmem?

Wskazówka

Badając liniowość odwzorowania \displaystyle T_A wystarczy skorzystać z podstawowych własności działań na macierzach. W drugiej części zadania skorzystajmy z faktu, że \displaystyle T_A jest endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, a zatem \displaystyle T_A jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem.

Rozwiązanie

Ustalmy macierz \displaystyle A\in M(n,n;\mathbb{R}). Dla dowolnych macierzy \displaystyle X,Y\in M(n,n;\mathbb{R}) oraz skalarów \displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R} mamy:


\displaystyle \aligned T_A(\alpha X+\beta Y) &=A(\alpha X+\beta Y)-(\alpha X+\beta Y)A\\                       &=A(\alpha X)+A(\beta Y)-(\alpha X)A-(\beta Y)A\\                       &=A(\alpha X)-(\alpha X)A+A(\beta Y)-(\beta Y)A\\                       &=\alpha(A X)-\alpha (X A)+\beta(AY)-\beta (YA)\\                       &=\alpha(A X-X A)+\beta(AY-YA)\\                       &=\alpha T_A(X)+\beta T_A(Y), \endaligned


co oznacza, że nasze odwzorowanie jest liniowe. Wiemy, że \displaystyle T_A jako endomorfizmem przestrzeni wymiaru skończonego, jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest monomorfizmem. Zatem, gdyby istniała taka macierz \displaystyle A, że zadane przez nią odwzorowanie \displaystyle T_A byłoby epimorfizmem, to takie \displaystyle T_A byłoby też monomorfizmem. Ale nie istnieje taka macierz \displaystyle A dla której odwzorowanie \displaystyle T_A jest monomorfizmem, bo zawsze


\displaystyle T_A(I)=AI-IA=A-A=0,


zatem macierz jednostkowa \displaystyle I jest niezerowym elementem jądra odwzorowania \displaystyle T_A i \displaystyle T_A nie jest monomorfizmem. Oznacza to, że \displaystyle T_A nie jest też epimorfizmem.