Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 4: Odwzorowania liniowe

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 4.1

Dane jest odwzorowanie \displaystyle  f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}. Wykazać, że \displaystyle f jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby rzeczywiste \displaystyle a_1, a_2,\ldots, a_n, że dla dowolnego wektora \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n zachodzi równość


\displaystyle f(\mathbf{x}) = a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_nx_n.      (4.1)


Wskazówka

Dowód rozbić na dwie implikacje. Łatwo jest wykazać, że każde odwzorowanie zadane wzorem  (4.1) jest liniowe. W drugą stronę można skorzystać z zadania 3.4 i twierdzenia, które mówi, że każde odwzorowanie liniowe jest zdeterminowane przez swoje wartości na bazie.

Rozwiązanie

Ustalmy \displaystyle n\in \mathbb{N}.

Załóżmy, że istnieją liczby rzeczywiste \displaystyle a_1,\ldots,a_n takie, że


\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=a_1x_1+\ldots+a_nx_n


dla wszystkich wektorów \displaystyle (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n. Niech \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) oraz \displaystyle \mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n) będą dowolnymi wektorami w \displaystyle \mathbb{R}^n i niech \displaystyle \alpha oraz \displaystyle \beta będą dowolnymi skalarami (elementami ciała \displaystyle \mathbb{R}). Wówczas


\displaystyle \aligned f(\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y})&\stackrel{(1)}{=} f(\alpha x_1+\beta y_1,\ldots, \alpha x_n+\beta y_n)\\ &\stackrel{(2)}{=} a_1(\alpha x_1+\beta y_1) +\ldots+a_n( \alpha x_n+\beta y_n)&\\ &\stackrel{(3)}{=} \alpha (a_1x_1+\ldots+a_nx_n)+\beta (a_1y_1+\ldots+a_ny_n)\\ &\stackrel{(4)}{=} \alpha f(\mathbf{x}) + \beta f(\mathbf{y}) \endaligned


Równości \displaystyle (1) i \displaystyle (3) otrzymaliśmy na podstawie definicji działań w \displaystyle \mathbb{R}^n, natomiast równości \displaystyle (2) i \displaystyle (4) są konsekwencją postaci odwzorowania \displaystyle f. Wykazana powyżej równość oznacza, że \displaystyle f jest odwzorowaniem liniowym i dowód pierwszej implikacji jest zakończony.

Dla dowodu drugiej implikacji załóżmy, że \displaystyle f jest odwzorowaniem liniowym. Niech \displaystyle e_i oznacza \displaystyle i-ty wektor bazy kanonicznej

przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^n. Dla \displaystyle i=1,\ldots,n zdefiniujmy liczbę rzeczywistą


\displaystyle a_i=f(e_i).


Twierdzimy, że \displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=a_1x_1+\ldots+a_nx_n dla każdego wektora \displaystyle (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n. Zauważmy, że (patrz także zadanie 3.4)


\displaystyle (x_1,\ldots,x_n)=x_1e_1+\ldots+x_ne_n.


Z liniowości odwzorowania \displaystyle f wynika, że


\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=f(x_1e_1+\ldots+x_ne_n)=x_1f(e_1)+\ldots+x_nf(e_n).


Prawą stronę powyższej równości przy naszych oznaczeniach można zapisać w następujący sposób


\displaystyle x_1f(e_1)+\ldots+x_nf(e_n)=a_1x_1+\ldots+a_nx_n,


co kończy dowód naszej implikacji.

Zadanie 4.2

Niech \displaystyle V oraz \displaystyle W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K}. Wykazać, że odwzorowania


\displaystyle \aligned p_V\colon V\times W \ni (v,w) &\to v \in V,&  p_W\colon V\times W \ni (v,w) &\to w \in W \endaligned


są liniowe.

Wskazówka

Skorzystać z definicji odwzorowania liniowego i definicji działań w przestrzeni \displaystyle V\times W.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle \mathbf{x}_1=(v_1,w_1) oraz \displaystyle \mathbf{x}_2=(v_2,w_2) będą dowolnymi wektorami należącymi do przestrzeni \displaystyle V\times W oraz niech \displaystyle \alpha_1 oraz \displaystyle \alpha_2 będą dowolnymi skalarami (elementami ciała \displaystyle \mathbb{K}). Wykażemy, że rzutowanie \displaystyle p_V jest liniowe (dowód dla \displaystyle p_W przebiega analogicznie).


\displaystyle \aligned p_V(\alpha_1\mathbf{x}_1+\alpha_2\mathbf{x}_2)&=p_V(\alpha_1(v_1,w_1)+\alpha_2(v_2,w_2))\\ &=p_V((\alpha_1v_1+\alpha_2v_2,\alpha_1w_1+\alpha_2w_2))\\ &=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2\\ &=\alpha_1p_V((v_1,w_1))+\alpha_2p_V((v_2,w_2))\\ &=\alpha_1p_V(\mathbf{x}_1)+\alpha_2p_V(\mathbf{x}_2), \endaligned


co było do okazania.

Zadanie 4.3

Niech \displaystyle U, \displaystyle V oraz \displaystyle W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech dane bedą odwzorowania


\displaystyle \aligned \varphi &\colon U \to V,& \psi &\colon U \to W . \endaligned


Definiujemy odwzorowanie


\displaystyle \Phi = (\varphi , \psi )\colon U \ni u \to ( \varphi (u) , \psi (u)) \in V\times W.


Wykazać, że \displaystyle  \Phi=(\varphi , \psi ) jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle \varphi i \displaystyle  \psi są odwzorowaniami liniowymi.

Wskazówka

Dla dowodu jednej z implikacji zauważyć, że zachodzą równości: \displaystyle \varphi = p_V \circ \Phi, oraz \displaystyle  \psi = p_W \circ \Phi, gdzie \displaystyle p_V oraz \displaystyle p_W są rzutowaniami zdefiniowanymi w zadaniu 4.2. Dla dowodu drugiej z implikacji skorzystać z definicji działań w przestrzeni \displaystyle V\times W.

Rozwiązanie

Załóżmy, że \displaystyle \Phi= (\varphi , \psi ) jest odwzorowaniem liniowym, Zauważmy, że \displaystyle  \varphi =p_V \circ \Phi, \displaystyle \psi =p_W \circ \Phi, gdzie \displaystyle p_V oraz \displaystyle p_W oznaczają rzutowania


\displaystyle \aligned p_V\colon V\times W \ni (v,w) &\to v \in V,&  p_W\colon V\times W \ni (v,w) &\to w \in W. \endaligned


Zatem jeżeli \displaystyle \Phi= (\varphi , \psi ) jest odwzorowaniem liniowym, to \displaystyle \varphi oraz \displaystyle \psi są liniowe, jako że dają się przedstawić jako złożenia odwzorowań liniowych. Dowód pierwszej implikacji jest zakończony.

Jeżeli \displaystyle \varphi oraz \displaystyle \psi są odwzorowaniami liniowymi i dane są wektory \displaystyle u_1,u_2\in U oraz skalary \displaystyle \alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{K}, to


\displaystyle \aligned \Phi(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2)&=(\varphi(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2),\psi(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2))\\ &=(\alpha_1\varphi(u_1)+\alpha_2\varphi(u_2),\alpha_1\psi(u_1)+\alpha_2\psi(u_2))\\ &=\alpha_1(\varphi(u_1),\psi(u_1))+\alpha_2(\varphi(u_2),\psi(u_2))\\ &=\alpha_1\Phi(u_1)+\alpha_2\Phi(u_2), \endaligned


co było do okazania.

Zadanie 4.4

Niech


\displaystyle f \colon \mathbb{R} ^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1 + 3x_2 + x_3, 2 x_1 + 3x_2 - x_3 ) \in \mathbb{R} ^2 .


Wykazać, że odwzorowanie \displaystyle f jest liniowe. Znaleźć dowolną bazę podprzestrzeni \displaystyle \textnormal ker f. Wyznaczyć \displaystyle \textnormal rk f oraz \displaystyle  \dim \textnormal ker f.

Wskazówka

Podobnie jak w rozwiązaniu zadania 4.1 można przeprowadzić bezpośredni dowód liniowości odwzorowania \displaystyle f. Można także skorzystać z zadań 4.1 i 4.3.

Każdy wektor \displaystyle (x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3 należący do jądra odwzorowania \displaystyle f spełnia warunek


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(0,0).


Przestrzeń \displaystyle \textnormal ker f można zatem znaleźć rozwiązując układ równań wypisany na podstawie tej równości, czyli układ


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcc} x_1& + &3x_2& + &x_3&=0\\ 2 x_1& + &3x_2& - &x_3&=0 \end{array}  \right.


Bazę podprzestrzeni \displaystyle \textnormal ker f otrzymamy biorąc dowolny maksymalny układ liniowo niezależnych wektorów należących do \displaystyle \textnormal ker f. Znając bazę przestrzeni \displaystyle \textnormal ker f automatycznie znamy \displaystyle \dim \textnormal ker f, co pozwala wyznaczyć \displaystyle \textnormal rk f ze wzoru:


\displaystyle \dim \textnormal ker f + \textnormal rk f =\dim\mathbb{R}^3.\qedhere


Rozwiązanie

Na mocy zadania 4.3 odwzorowanie \displaystyle f jest liniowe, ponieważ jest zestawieniem dwóch odwzorowań liniowych \displaystyle f_1 i \displaystyle f_2, gdzie


\displaystyle \aligned f_1\colon\mathbb{R}^3\ni (x_1,x_2,x_3)& \to x_1 + 3x_2 + x_3\in \mathbb{R},\\ f_2\colon\mathbb{R}^3\ni (x_1,x_2,x_3)& \to 2 x_1 + 3x_2 - x_3 \in\mathbb{R}. \endaligned


Odwzorowania \displaystyle f_1 i \displaystyle f_2 są liniowe na mocy zadania 4.1.

Aby znaleźć \displaystyle \textnormal ker f należy rozwiązać jednorodny układ równań liniowych równoważny z równaniem \displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(0,0), czyli


\displaystyle \left\{ \begin{array} {l} x_1 + 3x_2 + x_3=0\\ 2 x_1 + 3x_2 - x_3=0 \end{array}  \right.


Jeżeli od równania drugiego odejmiemy równanie pierwsze przemnożone przez \displaystyle 2, następnie do równania pierwszego dodamy przekształcone równanie drugie, a na koniec przemnożymy drugie równanie stronami przez \displaystyle -\frac{1}{3}, to otrzymamy układ równoważny z wyjściowym (tzn. o tym samym zbiorze rozwiązań). Układ ten wygląda następująco:


\displaystyle \left\{\begin{array} {rrrl} x_1 &  - &  2x_3 & =0\\ x_2 &  + &  x_3 & =0. \end{array}  \right.


Rozwiązaniem tego układu jest każdy wektor \displaystyle (x_1,x_2,x_3) postaci


\displaystyle \left\{\begin{array} {rcl} x_1 &=  2s \\ x_2 &=  -s \\ x_3 &=  s, \end{array}  \right.


gdzie \displaystyle s\in\mathbb{R} jest parametrem, który może przyjąć dowolną wartość. Oznacza to, że zbiór


\displaystyle \{ \alpha(2,-1,1):\alpha\in\mathbb{R} \}


jest zbiorem rozwiązań naszego układu, a ponieważ zbiór rozwiązań pokrywa się z jądrem odwzorowania \displaystyle f widzimy, że


\displaystyle \textnormal ker f =\{ \alpha(2,-1,1):\alpha\in\mathbb{R} \},


czyli


\displaystyle \textnormal ker f =\textnormal lin\{(2,-1,1)\},


a zatem bazą dla \displaystyle \textnormal ker f jest np. układ, którego jedynym elementem jest wektor \displaystyle (2,-1,1). Oczywiście dowodzi to, że


\displaystyle \dim\textnormal ker f =1.


Oznacza to, że


\displaystyle \textnormal rk f = \dim \mathbb{R}^3 - \dim\textnormal ker f =3-1=2.\qedhere


Zadanie 4.5

Wyznaczyć odwzorowanie liniowe \displaystyle  f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 takie, żeby


\displaystyle \aligned f((1,0,1)) &= (0,4),& f((1,-1,1)) &= (-1,2),& f((0,1,1)) &= (0,5). \endaligned


Wskazówka

Możemy skorzystać z zadań 4.1 oraz 4.3 i zauważyć, że poszukiwane przez nas odwzorowanie musi być dane wzorem


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ a_{23}x_3),


gdzie \displaystyle a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R} są nieznanymi współczynnikami. Znając wartości odwzorowania \displaystyle f na konkretnych wektorach możemy wyznaczyć układ równań, który muszą spełniać nasze niewiadome.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektory \displaystyle (1,0,1),\ (1,-1,1),\ (0,1,1) stanowią bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3. Istnieje zatem dokładnie jedno odwzorowanie liniowe takie, że


\displaystyle \aligned f((1,0,1)) &= (0,4),\qquad f((1,-1,1)) &= (-1,2),\qquad f((0,1,1)) &= (0,5). \endaligned


Na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 każde odwzorowanie liniowe \displaystyle f\colon\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^2 musi być dane wzorem:


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ a_{23}x_3),


gdzie \displaystyle a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R}. Z warunków podanych w treści zadania wynika, że poszukiwane współczynniki spełniają następujące równości:


\displaystyle \aligned f((1,0,1)) &= (a_{11}+a_{13}, a_{21}+ a_{23})=(0,4)\\ f((1,-1,1))&= (a_{11}-a_{12}+a_{13}, a_{21}-a_{22}+a_{23})=(-1,2)\\ f((0,1,1)) &= (a_{12}+a_{13},a_{22}+a_{23})=(0,5). \endaligned


Aby wyznaczyć wzór na \displaystyle f należy zatem rozwiązać następujący układ równań o niewiadomych


\displaystyle a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R}:


\displaystyle \left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{11}&&&+&a_{13}&=0\\ a_{21}&&&+&a_{23}&=4\\ a_{11}&-&a_{12}&+&a_{13}&=-1\\ a_{21}&-&a_{22}&+&a_{23}&= 2\\ &&a_{12}&+&a_{13}&=0\\ &&a_{22}&+&a_{23}&=5 \end{array}  \right..


Aby ułatwić sobie obliczenia można zauważyć, że w równaniach w których występują niewiadome \displaystyle a_{11}\displaystyle a_{12} lub \displaystyle a_{13}, nie występują niewiadome \displaystyle a_{21}\displaystyle a_{22} oraz \displaystyle a_{23} i na odwrót w równaniach, w których występują niewiadome \displaystyle a_{21}\displaystyle a_{22} lub \displaystyle a_{23}, nie występują niewiadome \displaystyle a_{11}\displaystyle a_{12} i \displaystyle a_{13}. Mamy zatem do czynienia z dwoma układami trzech równań liniowych o trzech niewiadomych. Te układy to:


\displaystyle \aligned &\left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{11}&&&+&a_{13}           &=0\\ a_{11}&-&a_{12}&+&a_{13}    &=-1\\ &&a_{12}&+&a_{13}           &=0\\ \end{array}  \right.,&& \left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{11}&&&+&a_{13}           &=4\\ a_{11}&-&a_{12}&+&a_{13}    &= 2\\ &&a_{12}&+&a_{13}           &=5 \end{array}  \right.. \endaligned


Zauważmy, że oba te układy mają te same współczynniki i różnią się jedynie prawymi stronami (oraz nazwami niewiadomych). Po wykonaniu odpowiednich obliczeń (tzn. po rozwiązaniu obu układów) otrzymujemy:


\displaystyle \aligned a_{11}&=1 ,\qquad a_{12}&=1, \qquad a_{13}&=-1,\\ a_{21}&=1,\qquad a_{22}&=2,\qquad a_{23}&=3, \endaligned


czyli


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2-x_3,x_1+2x_2+3x_3).\qedhere


Zadanie 4.6

Sprawdzić, czy istnieje odwzorowanie liniowe

a) \displaystyle  f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 takie, że
\displaystyle \aligned f((1,0,1)) &= (4,-1),& f((0,1,1)) &= (-1,0),& f((1,1,-1)) &= (0,2). \endaligned
b) \displaystyle  f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 takie, że
\displaystyle \aligned f((1,1,1)) &= (1,0)&, f((0,1,2)) &= (0,-1),& f((1,2,3)) &= (2,2). \endaligned
c) \displaystyle  f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 takie, że
\displaystyle \aligned f((1,2,0)) &= (2,-1),& f((2,0,-1)) &= (5,1),& f((-1,2,1)) &= (-3,-2). \endaligned


Odpowiedź uzasadnić. W przypadku odpowiedzi pozytywnej wyznaczyć chociaż jedno takie odwzorowanie.

Wskazówka

Należy zbadać liniową (nie)zależność wektorów, na których \displaystyle f ma przyjąć zadane wartości. Jeżeli wektory, na których jest już zdefiniowane nasze odwzorowanie są liniowo niezależne, to istnieje odwzorowanie liniowe przyjmujące na podanych wektorach zadane wartości. Takie odwzorowanie jest jedyne, jeżeli wektory, na których zadano wartości naszego odwzorowania, stanowią bazę przestrzeni. Jeżeli podane wektory są liniowo zależne, to odpowiednie odwzorowanie liniowe istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie zadano zachowując związki zachodzące między wektorami, tzn. jeżeli jakiś wektor jest kombinacją liniową pozostałych to wartość jaką ma przyjmować odwzorowanie na tym wektorze musi być kombinacją liniową wartości pozostałych wektorów z tymi samymi współczynnikami. Jeżeli takie odwzorowanie istnieje, to możemy je wyznaczyć podobnie jak w rozwiązaniu zadania 4.5.

Rozwiązanie

Na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 każde odwzorowanie liniowe \displaystyle f\colon\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^2 musi być dane wzorem:


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ a_{23}x_3),      (4.2)


gdzie \displaystyle a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R}.

Jeżeli wektory, na których jest już zdefiniowane nasze odwzorowanie są liniowo niezależne, to istnieje odwzorowanie liniowe przyjmujące na podanych wektorach zadane wartości. Takie odwzorowanie jest jedyne, jeżeli wektory, na których jest już zdefiniowane nasze odwzorowanie stanowią bazę przestrzeni. Jeżeli podane wektory są liniowo zależne, to odpowiednie odwzorowanie liniowe istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie zadano zachowując związki zachodzące między wektorami, tzn. jeżeli jakiś wektor jest kombinacją liniową pozostałych to wartość jaką ma przyjmować odwzorowanie na tym wektorze musi być kombinacją liniową wartości pozostałych wektorów z tymi samymi współczynnikami. Dlatego będziemy badać liniową niezależność podanych wektorów.

a) Zauważmy, że wektory \displaystyle (1,0,1), \displaystyle (0,1,1), \displaystyle (1,1,-1) stanowią bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3. Istnieje zatem dokładnie jedno odwzorowanie liniowe takie, że

\displaystyle \aligned f((1,0,1)) &= (4,-1),\qquad f((0,1,1)) &= (-1,0),\qquad f((1,1,-1)) &=(0,2). \endaligned

Analogicznie jak w zadaniu 4.5, aby wyznaczyć wzór na \displaystyle f należy rozwiązać układ równań o niewiadomych \displaystyle a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}. Układ ten znajdujemy jak w rozwiązaniu zadania 4.5, czyli podstawiając do wzoru (4.2) odpowiednie wektory i przyrównując do odpowiednich wartości.


\displaystyle \left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{11}&&&+&a_{13}&=4\\ a_{21}&&&+&a_{23}&=-1\\ &&a_{12}&+&a_{13}&=-1\\ &&a_{22}&+&a_{23}&=0\\ a_{11}&+&a_{12}&-&a_{13}&= 0\\ a_{21}&+&a_{22}&-&a_{23}&= 2 \end{array}  \right..


Ponownie zauważmy, że nasz układ to w rzeczywistości dwa układy o tych samych współczynnikach, różniące się jedynie prawymi stronami oraz oznaczeniem niewiadomych:


\displaystyle \aligned &\left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{11}&&&+&a_{13}&=4\\ &&a_{12}&+&a_{13}&=-1\\ a_{11}&+&a_{12}&-&a_{13}&= 0 \end{array}  \right.,&& \left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{21}&&&+&a_{23}&=-1\\ &&a_{22}&+&a_{23}&=0\\ a_{21}&+&a_{22}&-&a_{23}&= 2 \end{array}  \right.. \endaligned


Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy:


\displaystyle \aligned a_{11}&=3 ,\qquad a_{12}&=-2, \qquad a_{13}&=1,\\ a_{21}&=0,\qquad a_{22}&=1,\qquad a_{23}&=-1, \endaligned


czyli


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(3x_1-2x_2+x_3,x_2-x_3).


b) Zauważmy, że


\displaystyle (0,1,2)+(1,1,1)=(1,2,3),


ale


\displaystyle f((0,1,2)) + f((1,1,1)) = (0,-1)+(1,0) =(1,-1)\neq (2,2) =f((1,2,3)).


Oznacza to, że takie odwzorowanie liniowe nie może istnieć.

c) Zauważmy, że


\displaystyle (1,2,0)-(2,0,-1)=(-1,2,1),


oraz


\displaystyle f((1,2,0)) -  f((2,0,-1)) = (2,-1)-(5,1) =(-3,-2)=f((-1,2,1)).


Oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele odwzorowań liniowych spełniających warunki podane w podpunkcie c) - wystarczy uzupełnić układ złożony z liniowo niezależnych wektorów \displaystyle (1,2,0) oraz \displaystyle (2,0,-1) do bazy przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 i zadać na tym trzecim wektorze dowolną wartość z \displaystyle \mathbb{R}^2. Możemy np. jako trzeci wektor bazy wziąć wektor \displaystyle (0,0,1) i przyjąć, że \displaystyle f((0,0,1))=(0,0). Musimy wówczas rozwiązać układ równań (układ ten otrzymaliśmy rozumując jak w rozwiązaniu zadania 4.5:


\displaystyle \left\{ \begin{array} {ccccccc} a_{{11}}&+&2a_{{12}}&&&=2\\ 2a_{{11}}&&&-&a_{{13}}&=5\\ &&&&a_{{13}}&=0\\ a_{{21}}&+&2a_{{22}}&&&=-1\\ 2a_{{21}}&&&-&a_{{23}}&=1\\ &&&&a_{{23}}&=0 \end{array}  \right.


Rozwiązując ten układ otrzymujemy:


\displaystyle \aligned a_{11}&=\frac{5}{2}, \qquad a_{12}&=-\frac{1}{4}, \qquad a_{13}&=0,\\ a_{21}&=\frac{1}{2}, \qquad a_{22}&=-\frac{3}{4}, \qquad a_{23}&=0, \endaligned


czyli


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(\frac{5}{2}x_1-\frac{1}{4}x_2,\frac{1}{2}x_1-\frac{3}{4}x_2).\qedhere


Zadanie 4.7

Znaleźć endomorfizm \displaystyle  f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 taki, żeby


\displaystyle \textnormal ker f= \textnormal Im f = \{ (2t,3t); t \in \mathbb{R}\}.


Wskazówka

Znajomość \displaystyle \textnormal ker f pozwala wyznaczyć wartość odwzorowania \displaystyle f na pewnej podprzestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2. Jeżeli uda nam się uzupełnić bazę tej podprzestrzeni do bazy całego \displaystyle \mathbb{R}^2, to będziemy mogli zadać \displaystyle f na pewnej bazie całej przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2 w ten sposób, że będą spełnione warunki zadania.

Rozwiązanie

Zauważmy, że


\displaystyle \aligned \textnormal ker f  &= \{ (2t,3t) : t \in \mathbb{R}\}\\         &= \{ t(2,3) : t \in \mathbb{R}\}\\         &= \textnormal lin\{(2,3)\}. \endaligned


Oznacza to, że wektor \displaystyle (2,3) jest wektorem bazowym dla \displaystyle \textnormal ker f. Wiemy, że poszukiwane przez nas odwzorowanie musi być dane wzorem


\displaystyle f(x_1,x_2)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2,a_{21}x_1+a_{22}x_2).


Wybierzmy dowolną bazę \displaystyle \mathbb{R}^2 zawierającą wektor \displaystyle (2,3), np. dokładając wektor \displaystyle (-1,-2). Z warunków zadania wynika, że wektor \displaystyle (2,3) musi należeć do jądra odwzorowania \displaystyle f, czyli


\displaystyle f(2,3)=(2a_{11}+3a_{12},2a_{21}+3a_{22})=(0,0).


Zadajmy teraz \displaystyle f na drugim wektorze bazowym tak, aby wektor \displaystyle (2,3) należał do \displaystyle \textnormal Im f kładąc:


\displaystyle f(-1,-2)=(-a_{11}-2a_{12},-a_{21}-2a_{22})=(2,3).


Zatem współczynniki występujące we wzorze na \displaystyle f muszą spełniać układ równań liniowych, który podobnie jak w rozwiązaniach zadań 4.54.6 można rozbić na dwa układy, które wypisujemy poniżej:


\displaystyle \aligned &\left\{\begin{array} {ccccc}    2a_{11} &+&  3a_{12} &=0\\    -a_{11} &-&  2a_{12} &=2 \end{array} \right.,&& \left\{\begin{array} {ccccc}    2a_{21} &+&  3a_{22} &=0\\    -a_{21} &-&  2a_{22} &=3 \end{array} \right.. \endaligned


Jedynym rozwiązaniem tego układu są liczby


\displaystyle \aligned a_{11} &= 6,      & a_{12} &= -4, \\     a_{21} &= 9,      & a_{22} &= -6. \endaligned


Czyli


\displaystyle f(x_1,x_2)=(6x_1-4x_2,9x_1 -6x_2).\qedhere


Zadanie 4.8

Znaleźć odwzorowanie liniowe \displaystyle f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 takie, żeby


\displaystyle \aligned f( (1,2,1))&=(1,1),\qquad  f( (0,1,-1)) &= (-2,2) \endaligned


oraz


\displaystyle \textnormal ker f = \{ (t,t,t) : t \in \mathbb{R} \}.


Wskazówka

Zauważmy, że wektory \displaystyle (1,2,1), \displaystyle (0,1,-1)\displaystyle (1,1,1) tworzą bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3. Dodatkowo znamy wartość odwzorowania \displaystyle f na każdym z tych wektorów. Pamiętajmy, że znając wartości odwzorowania liniowego na bazie możemy jednoznacznie wyznaczyć to odwzorowanie.

Rozwiązanie

Na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 każde odwzorowanie liniowe \displaystyle f\colon\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^2 musi być dane wzorem:


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ a_{23}x_3),


gdzie \displaystyle a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R}.

Aby wyznaczyć ten wzór wystarczy, że znajdziemy pewną bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3, na której na podstawie warunków podanych w zadaniu będziemy w stanie określić wartości odwzorowania \displaystyle f.

Zauważmy, że


\displaystyle \aligned \textnormal ker f  &= \{ (t,t,t): t \in \mathbb{R}\}\\         &= \{ t(1,1,1): t \in \mathbb{R}\}\\         &= \textnormal lin\{(1,1,1)\}. \endaligned


Z warunków podanych w treści zadania wynika, że znamy wartości \displaystyle f na wektorach \displaystyle (1,2,1), \displaystyle (0,1,-1) oraz każdym wektorze postaci \displaystyle t(1,1,1), gdzie \displaystyle t\in\mathbb{R} jest dowolnym parametrem.

Zauważmy, że wektory \displaystyle (1,2,1), \displaystyle (0,1,-1), \displaystyle (1,1,1) tworzą bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 (bo rozwiązując odpowiedni układ równań możemy sprawdzić, że są one liniowo niezależne, a wymiar \displaystyle \mathbb{R}^3 jest równy \displaystyle 3). Zatem istnieje tylko jedno odwzorowanie liniowe spełniające warunki:


\displaystyle \aligned f( (1,2,1))&=(1,1),\qquad  f( (0,1,-1)) &= (-2,2),\qquad f( (1,1,1) )&= (0,0). \endaligned


Wzór tego odwzorowania znajdujemy rozwiązując odpowiedni układ równań, który wypisujemy na podstawie powyższych obserwacji. Ponownie ten układ możemy rozbić na dwa niezależne układy równań o trzech niewiadomych. Układy te podajemy poniżej:


\displaystyle \aligned &\left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{11}&+&2a_{12}&+&a_{13}&=1\\ &&a_{12}&-&a_{13}&=-2\\ a_{11}&+&a_{12}&+&a_{13}&= 0 \end{array}  \right.,&& \left\{ \begin{array} {ccccccr} a_{21}&+&2a_{22}&+&a_{23}&=1\\ &&a_{22}&-&a_{23}&= 2\\ a_{21}&+&a_{22}&+&a_{23}&= 0 \end{array}  \right.. \endaligned


Po rozwiązaniu ich otrzymujemy wtedy następujący wzór na odwzorowanie \displaystyle f:


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(x_2+3x_3-4x_1,x_2-x_3).\qedhere


Zadanie 4.9

Niech


\displaystyle \aligned u_1 &= (0,-1,1),& u_2 &= (1,0,1) \endaligned


będą dwoma wektorami przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 i niech \displaystyle U oznacza podprzestrzeń generowaną przez wektory \displaystyle u_1 oraz \displaystyle u_2. Niech ponadto \displaystyle g\colon \mathbb{R}^2 \ni (s,t) \to 3s-t \in \mathbb{R}. Znaleźć odwzorowanie liniowe \displaystyle f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 takie, żeby \displaystyle \textnormal ker f = U oraz \displaystyle  g \circ f = 0.

Wskazówka

Jeżeli znajdziemy wektor \displaystyle v\in\mathbb{R}^3 taki, że wektory \displaystyle u_1\displaystyle u_2 oraz \displaystyle v będą tworzyły bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3, to w celu wyznaczenia \displaystyle f możemy zadać wartości szukanego odwzorowania na tej bazie tak, żeby zerowało się na wektorach \displaystyle u_1 i \displaystyle u_2, a równocześnie żeby \displaystyle  \textnormal Im f \subset \textnormal ker g.

Rozwiązanie

Na mocy zadań 4.1 oraz 4.3 każde odwzorowanie liniowe \displaystyle f\colon\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^2 musi być dane wzorem:


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3, a_{21}x_1+a_{22}x_2+ a_{23}x_3),


gdzie \displaystyle a_{11},\ a_{12},\ a_{13},\ a_{21},\ a_{22},\ a_{23}\in\mathbb{R}.

Zauważmy, że wektory \displaystyle u_1 oraz \displaystyle u_2 są liniowo niezależne w przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 oraz uzupełniając układ złożony z wektorów \displaystyle u_1 i \displaystyle u_2 o wektor \displaystyle u_3=(0,0,1) otrzymujemy bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3. Szukane odwzorowanie \displaystyle f zdefiniujemy podając jakie wartości ma ono przyjmować na bazie złożonej z wektorów \displaystyle u_1\displaystyle u_2 oraz \displaystyle u_3. Z warunku \displaystyle \textnormal ker f = U wynika natychmiast, że muszą zachodzi równości:


\displaystyle \aligned f(u_1)=f(u_2)&=(0,0),\qquad f(u_3) &\neq (0,0). \endaligned


Aby dodatkowo był spełniony warunek \displaystyle  g \circ f = 0 musi zachodzić


\displaystyle f(u_3)\in\textnormal ker g.


Ponieważ \displaystyle \textnormal ker g= \textnormal lin\{(1,3)\} wystarczy wziąć \displaystyle f(u_3)=(1,3). Teraz układając odpowiedni układ równań i rozwiązując go otrzymamy wzór na odwzorowanie \displaystyle f spełniające powyższe warunki. Ponownie układ ten możemy rozbić na dwa niezależne układy równań o trzech niewiadomych. Otrzymamy wówczas następujace układy:


\displaystyle \aligned &\left\{ \begin{array} {ccccccr} &-&a_{12}&+&a_{13}&=0\\ a_{11}&&&+&a_{13}&=0\\ &&&&a_{13}&= 1 \end{array}  \right.,&& \left\{ \begin{array} {ccccccr} &-&a_{22}&+&a_{23}&=0\\ a_{21}&&&+&a_{23}&=0\\ &&&&a_{23}&= 3 \end{array}  \right.. \endaligned


Rozwiązując je otrzymujemy wzór naszego odwzorowania:


\displaystyle f(x_1,x_2,x_3)=(-x_1+x_2+x_3,-3x_1+3x_2+3x_3).\qedhere


Zadanie 4.10

Niech \displaystyle V i \displaystyle W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle h \colon V \to W będzie odwzorowaniem liniowym. Wykazać, że


\displaystyle T := \{ (v,w) \in V \times W ;\  w=h(v) \}


jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle V \times W.

Wskazówka

Należy skorzystać z definicji odwzorawania liniowego oraz sposobu określenia działań w przestrzeni \displaystyle V\times W.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor \displaystyle (0,h(0))\in T, zatem \displaystyle T jest zbiorem niepustym. Niech \displaystyle \mathbf{x}_1=(v_1,w_1) oraz \displaystyle \mathbf{x}_2=(v_2,w_2) będą dowolnymi wektorami należącymi do zbioru \displaystyle T\subset V\times W oraz niech \displaystyle \alpha_1 oraz \displaystyle \alpha_2 będą dowolnymi skalarami (elementami ciała \displaystyle \mathbb{K}). Z definicji

zbioru \displaystyle T wynika, że \displaystyle h(v_1)=w_1 oraz \displaystyle h(v_2)=w_2. Rozpatrzmy kombinację liniową:


\displaystyle \aligned \alpha_1\mathbf{x}_1+\alpha_2\mathbf{x}_2&=\alpha_1(v_1,w_1)+\alpha_2(v_2,w_2)\\ &=(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2,\alpha_1w_1+\alpha_2w_2)\\ &=(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2,\alpha_1h(v_1)+\alpha_2h(v_2))\\ &\stackrel{(*)}{=}(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2,h(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)), \endaligned


co oznacza, że \displaystyle \alpha_1\mathbf{x}_1+\alpha_2\mathbf{x}_2\in T, czyli \displaystyle T musi być podprzestrzenią (z liniowości odwzorowania \displaystyle h skorzystaliśmy przy podpunkcie \displaystyle (*)).

Zadanie 4.11

Niech \displaystyle V oraz \displaystyle W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K}. Niech \displaystyle \varphi \colon V \to W będzie monomorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe \displaystyle \psi \colon W \to V, że \displaystyle \psi \circ \varphi = \textnormal Id_V.

Wskazówka

Najłatwiej będzie pracować na bazach przestrzeni \displaystyle V i \displaystyle W. Poszukując odpowiedniego odwzorowania \displaystyle \psi będziemy się starali odpowiednio podać jego wartości na wybranej przez nas bazie przestrzeni \displaystyle W. Zauważmy, że jeżeli \displaystyle \varphi jest monomorfizmem, to odwzorowanie \displaystyle \varphi \colon V \to \textnormal Im \varphi jest izomorfizmem, czyli odwzorowaniem odwracalnym i odwzorowywuje bazę przestrzeni \displaystyle V na bazę podprzestrzeni \displaystyle \textnormal Im \varphi. Ponieważ baza podprzestrzeni \displaystyle \textnormal Im \varphi jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni \displaystyle W, zatem korzystając z tego, że \displaystyle \dim V\le \dim W, możemy ją uzupełnić do bazy przestrzeni \displaystyle W. Zadanie odpowiednich wartości na wybranej bazie zakończy rozwiązanie zadania.

Rozwiązanie

Odwzorowanie \displaystyle \varphi jest monomorfizmem, zatem zachodzi zależność


\displaystyle \dim V\le \dim W.


Jeżeli \displaystyle \dim V= \dim W, to odwzorowanie \displaystyle \varphi musi być izomorfizmem i teza jest oczywista. Zakładamy zatem, że \displaystyle \dim V< \dim W. Niech wektory \displaystyle v_1,\ldots,v_n będą bazą przestrzeni \displaystyle V. Oczywiście wektory \displaystyle \varphi(v_1),\ldots,\varphi(v_n) generują podprzestrzeń \displaystyle \Img\varphi\subset W. Co więcej, ponieważ \displaystyle \varphi jest monomorfizmem wektory \displaystyle \varphi(v_1),\ldots,\varphi(v_n) są liniowo niezależne w przestrzeni \displaystyle W. Możemy wybrać wektory \displaystyle w_{n+1},\ldots, w_{n+k}, gdzie \displaystyle k=\dim W - \dim V, w ten sposób, że wektory \displaystyle \varphi(v_1),\ldots,\varphi(v_n),w_{n+1},\ldots, w_{n+k} będą stanowiły bazę przestrzeni \displaystyle W. Potrzebne nam odwzorowanie \displaystyle \psi zdefiniujemy poprzez określenie jego wartości na bazie


\displaystyle \varphi(v_1),\ldots,\varphi(v_n),w_{n+1},\ldots, w_{n+k}.


Zdefiniujmy zatem:


\displaystyle \aligned \psi(\varphi(v_i))&=v_i,\  \text{ dla }i=1,\ldots,n,\\ \psi(w_{n+j})&=0,\  \text{ dla }j=1,\ldots,k. \endaligned


Korzystając z liniowości odwzorowań \displaystyle  \psi oraz \displaystyle \varphi łatwo sprawdzić, że


\displaystyle \psi \circ \varphi = \textnormal Id_V ,


co było do okazania.

Zadanie 4.12

Niech \displaystyle V oraz \displaystyle W będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K}. Niech \displaystyle \varphi \colon V \to W będzie epimorfizmem. Wykazać, że istnieje takie odwzorowanie liniowe \displaystyle \psi \colon W \to V, że \displaystyle  \varphi \circ \psi  = \textnormal Id_W.

Wskazówka

Przedstawić \displaystyle V w postaci \displaystyle (\textnormal ker \varphi) \oplus U, gdzie \displaystyle U jest pewną podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle V i zauważyć, że odwozorwanie:


\displaystyle \varphi \vert_U \colon U \ni u \to \varphi(u) \in W


jest izomorfizmem.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle U będzie dopełnieniem algebraicznym podprzestrzeni \displaystyle  \ker \varphi, tzn. niech \displaystyle V = (\ker \varphi) \oplus U.

Wtedy


\displaystyle \varphi \vert_U \colon U \ni u \to \varphi(u) \in W


jest izomorfizmem, a zatem istnieje odwzorowanie odwrotne


\displaystyle (\varphi \vert_U)^{-1} \colon W \to U.


Wystarczy teraz położyć \displaystyle \psi := \iota \circ (\varphi \vert_U)^{-1}, gdzie \displaystyle \iota \colon U \ni u \to u \in V.