Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 2: Przestrzenie wektorowe

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 2.1

Niech \displaystyle  V = (0,\infty ). Definiujemy odwzorowania:


\boxplus: V \times V\ni (a,b)\to a \boxplus b:= ab\in V,


\odot: \mathbb R \times V\ni (\lambda,a)\to \labmda \odot a:= a^{\lambda}\in V,


Wykazać, że czwórka \displaystyle  (V,\mathbb{R} ,\boxplus,\odot ) jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Trzeba sprawdzić wszystkie warunki definicji przestrzeni wektorowej.

Rozwiązanie

Wiemy już (zadanie 1.1), że \displaystyle (V,\boxplus ) jest grupą przemienną. Wystarczy zatem sprawdzić warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej. W tym celu ustalmy dowolne \displaystyle  u,v \in V oraz \displaystyle \alpha,\beta \in \mathbb{R}.

i) Warunek V2)

\displaystyle \aligned \alpha \odot(\beta \odot v) =& \alpha \odot \left(v^{\beta}\right)\\                             =&\left( v^{\beta}\right)^{\alpha}\\                             =& v^{ \alpha \beta }\\                             =& (\alpha\beta )\odot v. \endaligned

Uzyskana równość oznacza, że warunek V1) jest spełniony.

ii) Warunek V3)

\displaystyle \aligned (\alpha +\beta ) \odot v =& v^{(\alpha +\beta )}\\                          =& v^{\alpha } v^{\beta }\\                          =& v^{\alpha } \boxplus v^ {\beta }\\                          =& \alpha \odot v \boxplus \beta\odot v . \endaligned

iii) Warunek V4)

\displaystyle \aligned \alpha \odot ( u \boxplus v) =& \alpha \odot (uv) \\                              =& (uv)^{\alpha}\\                              =& u^{\alpha} v^{\alpha}\\                              =& (\alpha \odot u)(\alpha \odot v)\\                              =&(\alpha \odot u)\boxplus (\alpha \odot v). \endaligned

iv) Warunek V5)


\displaystyle 1 \odot v = v^1 =v.\qedhere


Zadanie 2.2

W zbiorze \displaystyle  \mathbb{R}^2 określamy następujące działania:


\displaystyle \aligned \boxplus\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\ni\left((x_1,x_2),(y_1,y_2)\right)             &\to (x_1+y_1,x_2 +y_2) \in \mathbb{R}^2,\\ \odot\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\ni(\lambda,(x_1,x_2))             &\to (\lambda x_1,\lambda x_2) \in \mathbb{R}^2. \endaligned


Sprawdzić, czy czwórka \displaystyle  (\mathbb{R}^2,\mathbb{R} ,\boxplus,\odot ) jest przestrzenią wektorową. Sprawdzić, czy jej podprzestrzenią jest

a) \displaystyle A =\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 </dt><dd> x_1 \geq 0,\ x_2 \geq 0 \},
b) \displaystyle B =\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 </dt><dd> x_1x_2 \geq 0 \},
c) \displaystyle C =\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 </dt><dd> x_1 +x_2 = 0 \}.

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.5 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Wiemy już (zadanie 1.5), że \displaystyle (\mathbb{R}^2,\boxplus ) jest grupą przemienną. Wystarczy sprawdzić warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej. Ustalmy dowolne \displaystyle  x,y \in \mathbb{R}^2 oraz \displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}. Niech \displaystyle x =(x_1,x_2), y = (y_1,y_2).

i) Warunek V2)

\displaystyle \aligned \alpha \odot(\beta\odot x) &= \alpha\odot(\beta x_1,\beta x_2)          \\                            &= (\alpha (\beta x_1),\alpha(\beta x_2))    \\                            &= ((\alpha \beta )x_1,( \alpha \beta ) x_2) \\                            &= (\alpha \beta  )\odot (x_1,x_2)           \\                            &= (\alpha \beta )\odot x. \endaligned

ii) Warunek V3)

\displaystyle \aligned (\alpha +\beta)\odot x&=((\alpha +\beta )x_1,(\alpha +\beta)x_2)            \\                       &=(\alpha x_1+\beta x_1,\alpha x_2 +\beta x_2 )       \\                       &=(\alpha x_1,\alpha x_2)\boxplus(\beta x_1,\beta x_2)\\                       &=\alpha\odot(x_1,x_2) \boxplus\beta\odot (x_1,x_2)   \\                       &=\alpha\odot x\boxplus\beta\odot x . \endaligned

iii) Warunek V4)

\displaystyle \aligned \alpha\odot(x\boxplus y) &= \alpha \odot ((x_1,x_2)\boxplus(y_1,y_2))               \\                          &= \alpha \odot (x_1+y_1,x_2 +y_2)                         \\                          &= (\alpha (x_1+y_1), \alpha(x_2+y_2))                     \\                          &= (\alpha x_1+ \alpha y_1, \alpha x_2 + \alpha y_2)       \\                          &= (\alpha x_1,\alpha x_2)\boxplus(\alpha y_1,\alpha y_2)  \\                          &= \alpha \odot(x_1,x_2)  +\alpha \odot (y_1,y_2)          \\                          &= \alpha \odot x\boxplus \alpha \odot y. \endaligned

iv) Warunek V3)

\displaystyle \aligned 1\odot x    &= 1\odot (x_1,x_2) \\             &= (1 x_1,1 x_2)    \\             &= (x_1,x_2)        \\             &= x . \endaligned


Czwórka \displaystyle  (\mathbb{R}^2,\mathbb{R} ,\boxplus,\odot ) jest przestrzenią wektorową. \displaystyle A nie jest podprzestrzenią wektorową, gdyż na przykład \displaystyle  (1,1) \in A, natomiast \displaystyle  (-1) \odot (1,1) \notin A. Zauważmy, że suma dwóch wektorów ze zbioru \displaystyle A należy do \displaystyle A. \displaystyle B nie jest podprzestrzenią wektorową, gdyż na przykład \displaystyle  (2,1), (-1,-2) \in B, ale \displaystyle (2,1) \boxplus (-1,-2) = (1,-1) \notin B. Zauważmy, że iloczyn dowolnego wektora ze zbioru \displaystyle B przez dowolną liczbę rzeczywistą znowu należy do \displaystyle B. W końcu dla dowolnych wektorów \displaystyle (x_1,x_2), (y_1, y_2) \in C mamy \displaystyle  x_1 +x_2 = 0 i \displaystyle  y_1 +y_2 = 0. Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych \displaystyle \alpha i \displaystyle \beta otrzymujemy \displaystyle  \alpha x_1 + \alpha x_2 = 0 oraz \displaystyle  \beta y_1 + \beta y_2 = 0 i po dodaniu stronami \displaystyle  (\alpha x_1 +\beta y_1 )+ (\alpha x_2 + \beta y_2)= 0, co oznacza, że \displaystyle  \alpha \odot (x_1,x_2) \boxplus \beta \odot (y_1,y_2) \in C, czyli \displaystyle C jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^2,\mathbb{R} ,\boxplus,\odot ).

Zadanie 2.3

W zbiorze \displaystyle  \mathbb{R}^2 określamy następujące działania:


\displaystyle \aligned \boxplus\colon\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\ni\left((x_1,x_2),(y_1,y_2)\right)                 &\to(x_1+y_1,x_2 +y_2) \in \mathbb{R}^2,\\ \odot\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}^2\ni(\lambda,(x_1,x_2))                 &\to (\lambda x_1,-\lambda x_2) \in \mathbb{R}^2. \endaligned


Sprawdzić, czy czwórka \displaystyle  (\mathbb{R}^2,\mathbb{R} ,\boxplus,\odot ) jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.5 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Zauważmy, że \displaystyle  1\odot (1,1) = (1, -1), czyli nie jest spełniony warunek V4) z definicji przestrzeni wektorowej. A to oznacza, że czwórka \displaystyle (\mathbb{R}^2,\mathbb{R} ,\boxplus,\odot ) nie jest przestrzenią wektorową.

Zadanie 2.4

Niech \displaystyle + oraz \displaystyle \cdot oznaczają zwykłe dodawanie i mnożenie w ciele liczb zespolonych. Definiujemy działanie:


\displaystyle \odot\colon\mathbb{C} \times \mathbb{C} \ni (\lambda,z ) \to (\re \lambda) \cdot z \in \mathbb{C}.


Sprawdzić, czy czwórka \displaystyle (\mathbb{C},\mathbb{C} ,+,\odot ) jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Ponieważ \displaystyle (\mathbb{C},+) jest grupą przemienną pozostaje tylko zbadać warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Weźmy


\displaystyle \aligned \lambda =& 2 +\mathbf{i},\qquad \mu =& 1-\mathbf{i}. \endaligned


Wtedy


\displaystyle \lambda  \mu = 3-\mathbf{i}.


Dla \displaystyle  z= \mathbf{i} mamy


\displaystyle \lambda \odot (\mu \odot z) = (2+ \mathbf{i})\odot ((1-\mathbf{i}) \odot \mathbf{i})= 2(1 \mathbf{i}) = 2\mathbf{i},


natomiast \displaystyle (\lambda \mu ) \odot z = 3 \mathbf{i}. Tak więc warunek V2) z definicji przestrzeni wektorowej nie jest spełniony, zatem czwórka \displaystyle (\mathbb{C},\mathbb{C} ,+,\odot ) nie jest przestrzenią wektorową.

Zadanie 2.5

Niech \displaystyle ( V, \mathbb{K}, +, \cdot ) będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech \displaystyle \Theta \in V oznacza wektor zerowy. Wykazać, że dla dowolnego wektora \displaystyle v \in V i dla dowolnego skalara \displaystyle \lambda \in \mathbb{K} mamy

a) \displaystyle 0\cdot v = \Theta,
b) \displaystyle \lambda \cdot \Theta = \Theta,
c) \displaystyle (-1) \cdot v = -v.

Wskazówka

a) Skorzystajmy z faktu, że \displaystyle 0+0 = 0 i z rozdzielności mnożenia względem dodawania skalarów.
b) Skorzystajmy z faktu, że \displaystyle \Theta+ \Theta= \Theta i z rozdzielności mnożenia względem dodawania wektorów.
c) Skorzystajmy z rozdzielności mnożenia względem dodawania skalarów oraz z punktu a).

Rozwiązanie

a) \displaystyle (0+0)\cdot v = 0\cdot v, zatem (dzięki rozdzielności mnożenia względem dodawania skalarów) mamy


\displaystyle 0\cdot v + 0\cdot v= 0\cdot v,


skąd po dodaniu stronami wektora przeciwnego do \displaystyle 0\cdot v otrzymujemy \displaystyle 0\cdot v =\Theta.

b) Tu postępujemy podobnie jak w podpunkcie a), tylko tym razem korzystamy z rozdzielności mnożenia względem dodawania wektorów. Mamy wtedy


\displaystyle \lambda \cdot (\Theta +\Theta )= \lambda \cdot \Theta ,


czyli


\displaystyle \lambda \cdot \Theta + \lambda \cdot \Theta = \lambda \cdot \Theta,


a stąd


\displaystyle \lambda \cdot \Theta = \Theta .


c) Mamy


\displaystyle (-1) \cdot v + v = (-1) \cdot v + 1 \cdot v = ( -1+1 )\cdot v = 0 \cdot v = \Theta .


Stąd wnioskujemy, że \displaystyle (-1) \cdot v jest wektorem przeciwnym do \displaystyle v.

Zadanie 2.6

Niech \displaystyle V będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech \displaystyle U oraz \displaystyle W będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że


\displaystyle U+W=\{u+w:u\in U \text{ i }w\in W\}


też jest podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle V. Wykazać, że jest to najmniejsza (ze względu na zawieranie) podprzestrzeń przestrzeni \displaystyle V zawierająca \displaystyle U i \displaystyle W.

Wskazówka

Trzeba sprawdzić wszystkie warunki definicji podprzestrzeni. Aby dowieść, że jest to najmniejsza (ze względu na zawieranie) podprzestrzeń przestrzeni \displaystyle V zawierająca \displaystyle U i \displaystyle W trzeba pokazać, że każda podprzestrzeń zawierająca \displaystyle U i \displaystyle W zawiera również \displaystyle U+W.

Rozwiązanie

Najpierw wykażemy, że \displaystyle U+W jest podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle V. Zauważmy, że \displaystyle U+W musi być zbiorem niepustym, ponieważ \displaystyle 0\in U oraz \displaystyle 0\in W, zatem \displaystyle 0=0+0\in U+W. Weźmy dowolne dwa elementy \displaystyle  x, y \in U+W oraz skalar \displaystyle \lambda. Z definicji zbioru \displaystyle U+W znajdziemy takie \displaystyle u_x, u_y \in U oraz \displaystyle w_x, w_y \in W, że \displaystyle  x = u_x + w_x oraz \displaystyle y =u_y + w_y. Stąd


\displaystyle x +y = (u_x + w_x) + (u_y + w_y) = (u_x +u_y) + (w_x +w_y).


Dzięki temu, że zarówno \displaystyle U jak i \displaystyle W jest podprzestrzenią, a zatem zbiorem zamkniętym ze względu na dodawanie wektorów otrzymujemy, że


\displaystyle u_x + u_y \in U \text{ oraz } w_x + w_y \in W,


co oznacza, że \displaystyle x+y \in U+W. Podobnie


\displaystyle \lambda x =\lambda (u_x + w_x) = \lambda u_x + \lambda w_x


i dzięki temu, że \displaystyle \lambda u_x \in U oraz \displaystyle \lambda w_x \in W mamy \displaystyle  \lambda x \in U + W.

Niech teraz \displaystyle Z będzie dowolną podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle  V zawierającą \displaystyle U i \displaystyle W. Wtedy dla dowolnych wektorów \displaystyle  u \in U,\ w \in W mamy \displaystyle  u,w \in Z, a więc także \displaystyle  u+w \in Z, a stąd \displaystyle  U+W \subset Z.

Zadanie 2.7

Niech \displaystyle V będzie dowolną przestrzenią wektorową i niech \displaystyle U oraz \displaystyle W będą jej podprzestrzeniami. Wykazać, że zbiór \displaystyle  U \cup W jest podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle V wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle U \subset W lub \displaystyle W \subset U.

Wskazówka

W dowodzie implikacji


\displaystyle  U \cup W \ jest podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle   \ V \ \Longrightarrow  \ U \subset W \ lub \displaystyle  \ W \subset U


spróbujmy rozumowania nie wprost.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że \displaystyle  U \cup W jest podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle V i że \displaystyle U\not \subset W oraz \displaystyle W\not \subset U. Weźmy \displaystyle  u \in U \setminus W oraz \displaystyle  w \in W \setminus U. Wtedy, na mocy założenia, \displaystyle u+w \in U \cup W. Oznacza to, że \displaystyle  u+w \in U lub \displaystyle u+w \in W. Przypuśćmy, że zachodzi pierwsza z tych możliwości. Wtedy


\displaystyle w= (u+w ) - u \in U ,


co pozostaje w sprzeczności z wyborem \displaystyle w. Jeśli natomiast \displaystyle  u+w \in W, to otrzymujemy


\displaystyle u = (u+w ) - w \in W


i znów mamy sprzeczność z wyborem wektora \displaystyle u. Dowód implikacji w jedną stronę jest zakończony.

Załóżmy, że \displaystyle U\subset W. Wtedy \displaystyle  U \cup W = W jest podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle  V. Jeżeli \displaystyle W\subset U, to \displaystyle  U \cup W = U jest także podprzestrzenią przestrzeni \displaystyle V.

Zadanie 2.8

Niech \displaystyle ( V, \mathbb{K}, +, \cdot ) będzie dowolną przestrzenią wektorową oraz niech \displaystyle X będzie zbiorem niepustym. W zbiorze


\displaystyle V^X := \{ f\  |\  f:X \to V \}


wprowadzamy działanie wewnętrzne \displaystyle \boxplus oraz mnożenie przez skalary \displaystyle \odot w następujący sposób:


\displaystyle \aligned f \boxplus g \colon X \ni x &\to f(x) + g(x) \in V, \ \ f,g \in V^X.\\ ( \lambda \odot f) \colon X \ni x &\to \lambda \cdot f(x) \in V, \ \lambda \in \mathbb{K},\ f \in V^X . \endaligned


Wykazać, że \displaystyle (V^X, \mathbb{K},\boxplus, \odot  ) jest przestrzenią wektorową.

Dowód Komentarz

W szczególności, jeśli \displaystyle V= \mathbb{K}, to okaże się, że przestrzenią wektorową jest czwórka \displaystyle ( \mathbb{K}^X, \mathbb{K},\boxplus, \odot  ), a jeśli dodatkowo jako \displaystyle X weźmiemy zbiór \displaystyle  I_n = \{1, 2, \ldots, n \}, gdzie \displaystyle n jest liczbą naturalną dodatnią, to natychmiast otrzymamy, że przestrzenią wektorową jest \displaystyle ( \mathbb{K}^n, \mathbb{K},+, \cdot  ) z działaniami określonymi następująco:


\displaystyle \aligned (x_1, x_2,\ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) & =  (x_1+y_1, x_2+y_2,\ldots, x_n+y_n),\\ \lambda \cdot (x_1, x_2, \ldots, x_n) & =  ( \lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n).\qedhere \endaligned


image:End_of_proof.gif

Wskazówka

Możemy skorzystać z zadania 1.6 i badać tylko warunki dotyczące mnożenia wektorów przez skalary.

Rozwiązanie

Na podstawie rozwiązania zadania 1.6 stwierdzamy, że jest spełniony warunek V1) z definicji przestrzeni wektorowej. Pozostaje nam wykazać, że są spełnione warunki V2) - V5). Oto dowody poszczególnych warunków:

i) Warunek V2)
Weźmy dowolne \displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{K} oraz dowolne odwzorowanie \displaystyle  f \in V^X. Wystarczy pokazać, że dla każdego \displaystyle  x \in X zachodzi równość


\displaystyle ((\alpha \odot (\beta \odot f))(x)  = ((\alpha \beta) \odot f)(x) .


Weźmy zatem dowolny element \displaystyle x \in X. Wychodząc od lewej strony mamy


\displaystyle \aligned \alpha \odot (\beta \odot f))(x) &= \alpha \cdot(\beta\odot f)(x)\\                                  &= \alpha \cdot(\beta\cdot f(x))\\                                  &= (\alpha \beta) \cdot f(x)    \\                                  &= ((\alpha \beta) \odot f)(x), \endaligned


co, wobec dowolności wyboru elementu \displaystyle x, kończy dowód.

ii) Warunek V3)
Weźmy dowolne \displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{K} oraz dowolne odwzorowanie \displaystyle  f \in V^X. Wystarczy pokazać, że dla każdego \displaystyle x \in X zachodzi równość


\displaystyle ((\alpha +\beta )\odot f)(x)  = ((\alpha \odot f) \boxplus (\beta \odot f))(x) .


Weźmy zatem dowolny element \displaystyle x \in X. Wychodząc od lewej strony mamy


\displaystyle \aligned ((\alpha +\beta)\odot f)(x) &= (\alpha +\beta)\cdot  f(x)                   \\                             &= (\alpha \cdot f(x)) + (\beta \cdot f(x) )    \\                             &= (\alpha  \odot f)(x) + (\beta \odot f)(x)    \\                             &= ((\alpha  \odot f )\boxplus (\beta \odot f))(x), \endaligned


co kończy dowód.

iii) Warunek V4)
Weźmy dowolne \displaystyle \alpha \in \mathbb{K} oraz dowolne odwzorowania \displaystyle  f,g \in V^X. Trzeba pokazać, że dla dowolnego \displaystyle x \in X


\displaystyle (\alpha \odot (f \boxplus g))(x) = ((\alpha \odot f) \boxplus (\alpha \odot g))(x).


Po ustaleniu dowolnego elementu \displaystyle x \in X postępujemy podobnie jak dotychczas i otrzymujemy


\displaystyle \aligned (\alpha \odot (f \boxplus g))(x) &=\alpha \cdot ((f \boxplus g))(x)\\                                  &=\alpha \cdot (f(x) + g(x))\\                                  &=(\alpha \cdot f(x)) + (\alpha \cdot g(x))\\                                  &= (\alpha \odot f)(x) +(\alpha \odot g)(x)\\                                  &= ((\alpha \odot f) \boxplus (\alpha \odot g))(x). \endaligned


iv) Warunek V5)
Weźmy dowolne odwzorowanie \displaystyle f \in V^X i dowolny element \displaystyle x\in X. Wtedy


\displaystyle (1 \odot f)(x) = 1 \cdot f(x)= f(x),


co należało wykazać.

Zadanie 2.9

Niech \displaystyle  V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych i niech \displaystyle + oznacza standardowe dodawanie w grupie addytywnej \displaystyle V\times V. Dla liczby zespolonej \displaystyle  \zeta = \alpha + \mathbf{i} \beta oraz elementu \displaystyle (u,v) \in V\times V definiujemy iloczyn


\displaystyle \zeta \odot (u,v) := (\alpha u - \beta v, \alpha v + \beta u ).


Wykazać, że \displaystyle (V\times V, \mathbb{C},+,\odot) jest przestrzenią wektorową.

Wskazówka

Można skorzystać z zadania 1.5 i wówczas wystarczy sprawdzić warunki V2)-V5) z definicji przestrzeni wektorowej.

Rozwiązanie

Na mocy zadania 1.5 wiemy, że jeżeli \displaystyle (V,+) jest grupą przemienną, to \displaystyle V\times V ze standardowo wprowadzonym dodawaniem w iloczynie kartezjańskim jest także grupą przemienną.

Aby wykazać, że \displaystyle (V\times V, \mathbb{C},+,\odot) jest przestrzenią wektorową pozostaje zatem sprawdzić, że spełnione są warunki V2) - V5) z definicji przestrzeni wektorowej.

Ustalmy dowolne dwie liczby zespolone


\displaystyle \aligned \zeta &= \alpha + \mathbf{i} \beta, \qquad \vartheta &=\gamma + \mathbf{i} \delta \endaligned


oraz dwa wektory \displaystyle (u,v), \displaystyle (w,z) należące do przestrzeni \displaystyle V\times V.

i) Warunek V2)
Zauważmy, że z definicji mnożenia liczb zespolonych wynika, że


\displaystyle \aligned (\zeta \vartheta) &= (\alpha \gamma - \beta \delta) +  (\alpha \delta +\beta \gamma )\mathbf{i}, \endaligned


zatem


\displaystyle \aligned (\zeta \vartheta) \odot (u,v)     &= ((\alpha \gamma - \beta \delta )u-(\alpha \delta +\beta \gamma )v,         (\alpha \gamma - \beta \delta )v+(\alpha \delta +\beta \gamma )u). \endaligned


Z drugiej strony


\displaystyle \aligned \zeta\odot(\vartheta\odot(u,v))         &= \zeta \odot (\gamma u -\delta v,\gamma v + \delta u ) \\         &= (\alpha(\gamma u-\delta v)-\beta(\gamma v+\delta u),             \alpha(\gamma v+\delta u)+\beta(\gamma u-\delta v)) \\         &= ((\alpha \gamma - \beta \delta )u-(\alpha \delta +\beta \gamma )v,             (\alpha \gamma - \beta \delta )v+(\alpha \delta +\beta \gamma )u). \endaligned

ii) Warunek V3)


\displaystyle \aligned (\zeta+\vartheta)\odot(u,v)&=((\alpha+\gamma)+\mathbf{i}(\beta+\delta))\odot(u,v) \\ &=((\alpha+\gamma)u-(\beta+\delta )v,(\alpha+\gamma)v +(\beta+\delta)u)    \\ &=(\alpha u-\beta v,\alpha v+\beta u)+(\gamma u-\delta v,\gamma v+\delta u)\\ &=(\zeta \odot (u,v)) + (\vartheta \odot(u,v)) . \endaligned


iii) Warunek V4)


\displaystyle \aligned \zeta\odot((u,v)+(w,z))&=\zeta \odot (u+w, v+z) \\                        &=(\alpha(u+w)-\beta(v+z),\alpha(v+z)+\beta(u+w))\\                        &=(\alpha u-\beta v,\alpha v+\beta u)+(\alpha w-\beta z,\alpha z+\beta w)\\                        &=(\zeta\odot(u,v))+(\zeta \odot (w,z)). \endaligned


iv) Warunek V5)
Korzystając z tego, że \displaystyle 1\cdot w = w oraz \displaystyle 0\cdot w =0 dla każdego wektora w przestrzeni wektorowej \displaystyle V widzimy, że


\displaystyle \aligned 1 \odot (u,v) & = (1\cdot u - 0\cdot v, 1\cdot v + 0\cdot u)\\               & = (u,v).\qedhere \endaligned


Zadanie 2.10

Niech \displaystyle n \in \mathbb{N}_0 i niech


  P &=& \{ f\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}} : f  jest wielomianem \},
  U_n = \{ f\in\mathbb{R}^\mathbb{R}: f  jest wielomianem stopnia  n\},
  W_n = \{ f\in\mathbb{R}^\mathbb{R} : f  jest wielomianem stopnia nie większego niż  n\}.

Wykazać, że \displaystyle P jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle  \mathbb{R}^{\mathbb{R}} z działaniami określonymi w zadaniu 2.8. Sprawdzić czy dla dowolnego \displaystyle n\in\mathbb{N}_0

a) \displaystyle U_n jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle P,
b) \displaystyle W_n jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle P.


Wskazówka

Wystarczy sprawdzić, czy dla dowolnych \displaystyle f,g \in P\ (U_n,\ W_n) i \displaystyle \alpha \in \mathbb{R} suma \displaystyle f+g oraz iloczyn \displaystyle  \alpha f należą do \displaystyle P\ (U_n,\ W_n). Zastanówmy się też jaki może być stopień wielomianu będącego sumą dwóch wielomianów tego samego stopnia.

Rozwiązanie

Zauważmy, że suma dwóch wielomianów jest wielomianem, podobnie iloczyn wielomianu przez liczbę. Elementami \displaystyle U_0 są wszystkie funkcje stałe i tylko takie, a więc \displaystyle U_0 jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle P. Natomiast dla ustalonego \displaystyle  n \geq 1 weźmy wielomiany \displaystyle f i \displaystyle g dane wzorami:


\displaystyle \aligned f(x) &= x^n +1,\qquad g(x) &= -x^n . \endaligned


Wtedy \displaystyle (f+g)(x) =1 dla wszystkich \displaystyle x\in \mathbb{R}, a zatem \displaystyle f+g nie jest wielomianem stopnia \displaystyle n, czyli dla żadnego \displaystyle n \geq 1 zbiór \displaystyle U_n nie jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \displaystyle P. Łatwo widać, że \displaystyle W_n jest zamknięta ze względu na dodawanie i mnożenie przez skalary. Jest tak, ponieważ przy ustalonym \displaystyle n\ge 0 każdy wielomian stopnia co najwyżej \displaystyle n można jednoznacznie zapisać (dopisując w razie potrzeby jednomiany z zerowymi współczynnikami) w postaci:


\displaystyle w(x) = \alpha_n x^n + \alpha_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +\alpha_1x + \alpha_0,


gdzie \displaystyle \alpha_0,\ldots,\alpha_n są liczbami rzeczywistymi, przy czym \displaystyle \alpha_0=\ldots=\alpha_n=0 dla wielomianu zerowego a jeżeli stopień \displaystyle w wynosi \displaystyle m i \displaystyle m<n, to


\displaystyle \alpha_{m+1}=\ldots=\alpha_n=0.


Z drugiej strony każdy wielomian, który daje się przedstawić w powyższej postaci jest stopnia co najwyżej \displaystyle n. Teraz jeżeli \displaystyle f i \displaystyle g są wielomianami należącymi do zbioru \displaystyle W_n, to


\displaystyle \aligned f(x) &= a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +a_1x + a_0,\\ g(x) &= b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+ \ldots +b_1x + b_0 \endaligned


i wówczas


\displaystyle \aligned (f+g)(x)&=f(x)+g(x) \\ &= (a_n+b_n) x^n +(a_{n-1}+b_{n-1})x^{n-1}+ \ldots +(a_1+b_1)x + a_0+b_0 \endaligned


jest wielomianem stopnia nie większego niż \displaystyle n. Weźmy teraz \displaystyle \alpha \in \mathbb{R}. Mamy


\displaystyle (\alpha f) (x) = \alpha a_n x^n + \ldots +\alpha a_0


i znów otrzymujemy wielomian stopnia nie większego niż \displaystyle n.