Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 15: Euklidesowe przestrzenie afiniczne

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 15.1

Dane są dwa punkty: \displaystyle a = (3,2) i \displaystyle  b = (0,2). Na odcinku \displaystyle ab zbudowano równoległobok, którego przekątne przecinają się w punkcie \displaystyle c = (3,4). Napisać równania boków i przekątnych równoległoboku.

Wskazówka

Trzeba skorzystać ze znanego z geometrii twierdzenia, że punkt przecięcia przekątnych równoległoboku dzieli je na połowy.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle d i \displaystyle e oznaczają nieznane wierzchołki równoległoboku. Zauważmy, że


\displaystyle \aligned d&=a+\overrightarrow{ad}=a+2\overrightarrow{ac}\\ &=(3,2)+2(0,2)=(3,6)\\ e&=b+\overrightarrow{be}=b+2\overrightarrow{bc}\\ &=(0,2)+2(3,2)=(6,6). \endaligned


Zatem wierzchołkami równoległoboku są punkty


\displaystyle \aligned a &= (3,2),& b& = (0,2),&d&=(3,6),&e=(6,6). \endaligned


Równania boków to:


\displaystyle \aligned \overline{ab}&=\{ a+t\overrightarrow{ab}:  t \in [0,1] \}=\{ (3,2)+t(-3,0) : t \in [0,1]\},\\ \overline{bd}&=\{ b+t\overrightarrow{bd}:  t \in [0,1] \}=\{ (0,2)+t(3,4)  : t \in [0,1]\},\\ \overline{de}&=\{ d+t\overrightarrow{de}:  t \in [0,1] \}=\{ (3,6)+t(3,0)  : t \in [0,1]\},\\ \overline{ea}&=\{ e+t\overrightarrow{ea}:  t \in [0,1] \}=\{ (6,6)+t(-3,-4): t \in [0,1]\}. \endaligned


Równania przekątnych to:


\displaystyle \aligned \overline{ad}&=\{ a+t\overrightarrow{ad}: t \in [0,1] \} =\{(3,2)+t(0,4): t\in[0,1]\},\\ \overline{be}&=\{ b+t\overrightarrow{bd}: t \in [0,1] \} =\{(0,2)+t(6,4): t\in[0,1]\}.\qedhere \endaligned


Zadanie 15.2

W przestrzeni \displaystyle {\mathbb{R}}^3 dana jest płaszczyzna \displaystyle \Pi. Wiadomo, że punkt \displaystyle a = (-1,2,1) należy do \displaystyle \Pi oraz że kierunkiem \displaystyle {\Pi } jest \displaystyle \lin \{ u, v \}, gdzie \displaystyle  u = (0,1,-1), \displaystyle v = (1,-2,2). Zapisać \displaystyle \Pi w postaci normalnej oraz obliczyć odległość punktu \displaystyle b = (3,-2,1) od tej płaszczyzny.

Wskazówka

Trzeba znaleźć równanie kierunkowe prostej prostopadłej do \displaystyle \textnormal lin \{ u, v \}, a następnie przesunąć ją o \displaystyle (3,-2,1)

Rozwiązanie

Korzystając z zadania 12.3 wiemy, że wektorem prostopadłym do \displaystyle \textnormal lin \{ u, v \} jest wektor \displaystyle u\times v. Jak łatwo sprawdzić dla \displaystyle  u = (0,1,-1) oraz \displaystyle v = (1,-2,2) otrzymujemy


\displaystyle u\times v=(0,-1,-1),


a po znormalizowaniu


\displaystyle w=\frac{u\times v}{||u\times v||}=(0,-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}).


Oznacza to, że równaniem normalnym kierunku płaszczyzny \displaystyle \Pi jest


\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}x_2-\frac{\sqrt{2}}{2}x_3=0,


a równaniem normalnym \displaystyle \Pi jest


\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}x_2-\frac{\sqrt{2}}{2}x_3+{\frac{3\sqrt{2}}{2}}=0.


Odległość punktu \displaystyle b=(y_1,y_2,y_3) od tej płaszczyzny dana jest wzorem


\displaystyle d(b,\Pi)=| -\frac{\sqrt{2}}{2}y_2-\frac{\sqrt{2}}{2}y_3+{\frac{3\sqrt{2}}{2}}|.


Podstawiając \displaystyle b = (3,-2,1) otrzymujemy


\displaystyle d(b,\Pi)=2 \sqrt{2}.\qedhere


Zadanie 15.3

W przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym dane są płaszczyzny


\displaystyle \aligned H&:=\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+2y +3z = 5 \}\\ K&:= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ;\  x+y -z = 1 \} \endaligned


Niech \displaystyle l oznacza prostą powstałą w wyniku przecięcia się płaszczyzn \displaystyle H oraz \displaystyle K. Wyznaczyć płaszczyznę prostopadłą do prostej \displaystyle l i przecinającą ją w punkcie \displaystyle (2,0,1).

Wskazówka

Wystarczy znaleźć płaszczyznę wektorową prostopadłą do kierunku prostej \displaystyle l i zaczepić ją w punkcie \displaystyle (2,0,1).

Rozwiązanie

Równanie kierunkowe prostej \displaystyle l wyznaczymy rozwiązując opisujący ją układ równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcl} x &+&2y&+&3z&= 5\\ x &+& y&-& z&= 1 \end{array}  \right.


Otrzymujemy, że


\displaystyle l=\{(-3,4,0)+t(5-4,1):t\in\mathbb{R}\}


Każda płaszczyzna prostopadła do prostej \displaystyle l dana jest równaniem


\displaystyle 5x-4y +z +c =0,


co oznacza, że płaszczyzna prostopadła do prostej \displaystyle l i przecinającą ją w punkcie \displaystyle (2,0,1) dana jest równaniem


\displaystyle 5x-4y+z -11=0.\qedhere


Zadanie 15.4

W przestrzeni afinicznej \displaystyle {\mathbb{R}}^3 dana jest płaszczyzna


\displaystyle P = \{ (2-s+t,\, -3+4s,\, 1+s+t)\ ; \ s,t \in \mathbb{R} \}


oraz punkt \displaystyle a=(1,2,-1). Obliczyć odległość punktu \displaystyle a od płaszczyzny \displaystyle P. Wyznaczyć płaszczyznę równoległą do \displaystyle P i zawierającą punkt \displaystyle a. Wyznaczyć prostą prostopadłą do \displaystyle P, zawierającą punkt \displaystyle a.

Wskazówka

W przypadku równania normalnego odległość punktu od hiperpłaszczyzny obliczamy wstawiając współrzędne punktu do równania i biorąc moduł otrzymanej wartości.

Rozwiązanie

Zauważmy, że


\displaystyle \aligned P &= \{ (2-s+t,-3+4s,1+s+t): s,t \in \mathbb{R} \}\\ &=  \{ (2,-3,1)+s(-1,4,1)+t(1,0,1): s,t \in \mathbb{R} \}. \endaligned


Oznacza to, że prosta wektorowa prostopadła do kierunku \displaystyle P jest generowana przez wektor \displaystyle (-1,4,1)\times (1,0,1). Ponieważ


\displaystyle (-1,4,1)\times (1,0,1)=(4,2,-4)


otrzymujemy, że


\displaystyle P=(2,-3,1)+(\textnormal lin\{(4,2,-4)\})^\bot,


czyli równaniem krawędziowym \displaystyle P jest


\displaystyle 4x+2y-4z+2=0.


Co więcej


\displaystyle \aligned d(a,P)&=\frac{|4\cdot 1+2\cdot 2-4\cdot (-1)+2|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}}\\ &=\frac{14}{\sqrt{36}}=\frac{14}{6} = \frac{7}{3}. \endaligned


Płaszczyzna równoległa do \displaystyle P i zawierająca punkt \displaystyle a ma równanie


\displaystyle 4x+2y-4z-10=0,


a prosta prostopadła do \displaystyle P, zawierającą punkt \displaystyle a dana jest równaniem


\displaystyle (1,2,-1)+t(4,2,-4),\quad t\in\mathbb{R}. \qedhere


Zadanie 15.5

Dany jest czworościan o wierzchołkach


\displaystyle \aligned a &= (1,0,1),&b &= (1,1,-1),& c &= (2,2,4),&   d &= (3,-1,1). \endaligned


Obliczyć jego objętość oraz wysokość opuszczoną na ścianę \displaystyle abc. Obliczyć pole trójkąta \displaystyle bcd.

Wskazówka

Wystarczy skorzystać z wzorów podanych na wykładzie.

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorami podanymi na wykładzie


\displaystyle \textnormal vol\{a,b,c,d\}=\frac{1}{3!}\sqrt{G(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac},\overrightarrow{ad})},


czyli


\displaystyle \textnormal vol\{a,b,c,d\}=\frac{1}{6}\sqrt{G((0,1,-2),(1,2,3),(2,-1,0))}.


Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy


\displaystyle \textnormal vol\{a,b,c,d\}=\frac{1}{6}16=\frac{8}{3}.


Pole ściany \displaystyle bcd


\displaystyle \textnormal vol\{b,c,d\}=\frac{1}{2!}\sqrt{G(\overrightarrow{bc},\overrightarrow{bd})},


czyli


\displaystyle \textnormal vol\{b,c,d\}=\frac{1}{2}\sqrt{G((1,1,5),(2,-2,2))}.


Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy


\displaystyle \textnormal vol\{b,c,d\}=\frac{1}{2}4\sqrt{14}=2\sqrt{14}.


Aby obliczyć wysokość opuszczoną na ścianę \displaystyle abc wystarczy skorzystać ze wzoru:


\displaystyle \textnormal vol\{a,b,c,d\}=\frac{1}{3}\vol\{a,b,c\}h.


Ponieważ


\displaystyle \textnormal vol\{a,b,c\}=\frac{1}{2}\sqrt{G((0,1,-2),(1,2,3))}=\frac{3}{2}\sqrt{6},


zatem


\displaystyle h=3\frac{\textnormal vol\{a,b,c,d\}}{\textnormal vol\{a,b,c\}}= 3\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=4\sqrt{\frac{7}{3}}.\qedhere


Zadanie 15.6

Wykazać, że punkty


\displaystyle \aligned a &= (1, -1, -2),& b&=(1,0,1),& c &= (2, 3, 4), & d &= (2, 2, 1) \endaligned


leżą w jednej płaszczyźnie. Napisać równanie normalne tej płaszczyzny.

Wskazówka

Można ustalić jeden punkt, np. \displaystyle a i badać liniową zależność wektorów \displaystyle \overrightarrow{ab},\ \overrightarrow{ac} i \displaystyle \overrightarrow{ad}. Podstawiając do równania \displaystyle  \alpha x + \beta y + \gamma z - \delta =0 współrzędne zadanych punktów otrzymamy układ równań liniowych o niewiadomych \displaystyle \alpha,\beta,\gamma,\delta. Teraz wystarczy znaleźć jego rozwiązanie spełniające warunek \displaystyle \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1.

Rozwiązanie

Aby wykazać, że podane wektory leżą w jednej płaszczyźnie zbadamy rząd macierzy \displaystyle A, której kolumny są wyznaczone przez wektory \displaystyle \overrightarrow{ab}, \displaystyle \overrightarrow{ac}\displaystyle \overrightarrow{ad}, czyli


\displaystyle A= \left[ \begin{array} {ccc} 0 &1&1\\ 1 &4&3\\ 3 &6&3 \end{array}  \right].


Jak łatwo obliczyć rząd tej macierzy jest równy \displaystyle 2, co oznacza, że punkty \displaystyle a = (1, -1, -2), \displaystyle b=(1,0,1), \displaystyle c = (2, 3, 4)\displaystyle d = (2, 2, 1) leżą w jednej płaszczyźnie. Równanie tej płaszczyzny postaci


\displaystyle \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0


znajdziemy rozwiązując układ równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcrcc} \alpha &-& \beta&-&2\gamma&+&\delta=& 0\\ \alpha & &      &+& \gamma&+&\delta=& 0\\ 2\alpha &+&3\beta&+&4\gamma&+&\delta=& 0\\ 2\alpha &+&2\beta&+& \gamma&+&\delta=& 0 \end{array}  \right.


Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że rozwiązania tego układu muszą być postaci


\displaystyle \aligned \alpha&=6t,&\beta&=-3t,&\gamma&=t,&\delta&=-7t, \endaligned


gdzie \displaystyle t\in\mathbb{R}. W szczególności rozwiązaniem takim, że \displaystyle \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 1 jest


\displaystyle \aligned \alpha&=3\frac{\sqrt{46}}{23},&\beta&=-3\frac{\sqrt{46}}{46}, &\gamma&=\frac{\sqrt{46}}{46},&\delta&=-7\frac{\sqrt{46}}{46}.\qedhere \endaligned


Zadanie 15.7

Znaleźć wartość parametru \displaystyle a \in \mathbb{R}, przy której prosta o przedstawieniu parametrycznym


\displaystyle (2,1,3) + t(-3,1,-3)


jest prostopadła do płaszczyzny o równaniu


\displaystyle (a-2)x_1 + (2+a)x_2 +3ax_3 = 5.


Wskazówka

Zauważmy, że wektor \displaystyle ((a-2),(2+a),3a) jest prostopadły do kierunku naszej płaszczyzny, zatem wystarczy tak dobrać \displaystyle a, żeby wektory \displaystyle (-3,1,-3) i \displaystyle ((a-2),(2+a),3a) były proporcjonalne.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wektor \displaystyle ((a-2),(2+a),3a) jest prostopadły do kierunku naszej płaszczyzny, zatem wystarczy tak dobrać \displaystyle a, żeby wektory \displaystyle (-3,1,-3) i \displaystyle ((a-2),(2+a),3a) były proporcjonalne, tzn. żeby istniała liczba \displaystyle c\in \mathbb{R} taka, że \displaystyle c(-3,1,-3)=((a-2),(2+a),3a). Eliminując z układu równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcrcc} -3c&= a-2\\ c&= 2+a\\ -3c&= 3a \end{array}  \right.


parametr \displaystyle c widzimy, że takie \displaystyle c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle c=1 oraz \displaystyle a=-1. Wówczas \displaystyle ((a-2),(2+a),3a)=(-3,1,-3) i spełniony jest warunek podany w treści zadania.

Zadanie 15.8

W przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 znaleźć analityczny wzór opisujący rzut prostopadły na płaszczyznę \displaystyle x + y + z = 1 oraz wyznaczyć rzut prostopadły punktu \displaystyle (0, 0, 0) na tę płaszczyznę.

Wskazówka

Trzeba wyznaczyć kierunek \displaystyle U naszej płaszczyzny i znaleźć jego dopełnienie prostopadłe \displaystyle U^\bot. Teraz do \displaystyle (x,y,z) trzeba dobrać taki wektor \displaystyle w(x,y,z) \in U^\bot, żeby punkt \displaystyle a =(x,y,z) -w(x,y,z) należał do naszej płaszczyzny. Punkt \displaystyle a będzie rzutem prostopadłym punktu \displaystyle (x,y,z) na tę płaszczyznę.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle U oznacza kierunek płaszczyzny


\displaystyle X= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+y + z = 1 \}.


Wtedy


\displaystyle U= \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x+y + z = 0 \},


a wektor \displaystyle (1,1,1) generuje \displaystyle U^\bot. Oznaczmy nasze rzutowanie przez \displaystyle p i zauważmy, że \displaystyle p(x,y,z) musi być postaci \displaystyle p(x,y,z) = (x,y,z)-\alpha (1,1,1), gdzie \displaystyle \alpha jest pewną liczbą rzeczywistą zależną od \displaystyle (x,y,z). Równocześnie ma być \displaystyle p(x,y,z) \in X, a więc musi być spełnione równanie


\displaystyle (x-\alpha) + (y-\alpha)+(z-\alpha)=1,


czyli


\displaystyle \alpha = \frac{1}{3}(x + y + z -1),


skąd otrzymujemy


\displaystyle p(x,y,z) = \left(\frac {2x-y-z+1}{3},\frac {2y-x-z+1}{3},\frac {2z-x-y+1}{3}\right).


Rzutem punktu \displaystyle (0, 0, 0) na płaszczyznę \displaystyle X jest punkt \displaystyle  ( \frac {1}{3}, \frac {1}{3}, \frac {1}{3}).