Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 14: Przestrzenie afiniczne II

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 14.1

Wykazać, że zbiór


\displaystyle A:= \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : 2x - 3y + z  = 5,\ x-z = 2 \}


jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni \displaystyle \mathbb{R} ^3 i wyznaczyć jej kierunek.

Wskazówka

Kierunek \displaystyle A wyznaczymy ustalając dowolny punkt \displaystyle a \in A i biorąc


\displaystyle V_0 = \{ \overrightarrow{ab} ;\  b \in A \} = \{ b-a ;\ b \in A \}.\qedhere


Rozwiązanie

Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że niepusty zbiór rozwiązań układu równań liniowych o \displaystyle n niewiadomych jest podprzestrzenią afiniczną \displaystyle \mathbb{R}^n. Aby skorzystać z tego faktu zauważmy, że nasz zbiór \displaystyle A jest zbiorem rozwiązań następującego

układu równań liniowych:


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcccc} 2x &-& 3y&+& z &= 5,\\ x & &   &-& z &= 2 \end{array}  \right..


Zauważmy, że liczby \displaystyle x=0, \displaystyle y=-\frac{7}{3} oraz \displaystyle z=-2 stanowią rozwiązanie tego układu, co oznacza, że zbiór \displaystyle A jest niepusty i jest podprzestrzenią afiniczną \displaystyle \mathbb{R}^3. Rozwiązujemy teraz stowarzyszony z naszym układem układ jednorodny, czyli


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcccc} 2x &-& 3y&+& z &= 0,\\ x & &   &-& z &= 0 \end{array}  \right.


i otrzymujemy, że zbiorem rozwiązań tego układu jednorodnego jest podprzestrzeń


\displaystyle V_0=\textnormal lin\{(1,1,1)\}.


Oznacza to, że


\displaystyle A=(0,-\frac{7}{3}, -2)+\textnormal lin\{(1,1,1)\},


czyli kierunkiem naszej podprzestrzeni afinicznej \displaystyle A jest \displaystyle V_0=\textnormal lin\{(1,1,1)\}.

Zadanie 14.2

W przestrzeni \displaystyle {\mathbb{R}}^3 napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \displaystyle (1,0,2) i równoległej do płaszczyzny


\displaystyle \Pi = \{(3+a-b,2-a+b,1-b):a,b \in \mathbb{R} \}  .


Wskazówka

Trzeba wyznaczyć kierunek \displaystyle \Pi, a następnie dokonać translacji tej podprzestrzeni o wektor \displaystyle (1,0,2).

Rozwiązanie

Niech \displaystyle R będzie szukaną płaszczyzną.

Aby wyznaczyć kierunek płaszczyzny \displaystyle \Pi zauważmy, że punkt \displaystyle (x,y,z)\in\Pi wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle (x,y,z)=(3,2,1)+a(1,-1,0)+b(-1,1,-1)


dla pewnych liczb rzeczywistych \displaystyle a i \displaystyle b. Wynika stąd, że


\displaystyle \Pi=(3,2,1)+\textnormal lin\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\},


zatem \displaystyle \Pi jest przestrzenią afiniczną o kierunku \displaystyle V_0=\textnormal lin\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\}. Oznacza to, że


\displaystyle R=(1,0,2)+\textnormal lin\{(1,-1,0),(-1,1,-1)\}.


Poszukując układu równań liniowych opisującego płaszczynę \displaystyle R zauważmy, że \displaystyle V_0 jest zbiorem rozwiązań równania


\displaystyle x+y=0


o niewiadomych \displaystyle (x,y,z). Otrzymujemy stąd, że


\displaystyle x+y=1


jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez punkt \displaystyle (1,0,2) i równoległej do płaszczyzny \displaystyle \Pi.

Zadanie 14.3

W przestrzeni \displaystyle {\mathbb{R}}^3 napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami


\displaystyle \aligned 2x - y + 3z - 6 &= 0&  \text{i} && x + 2y - z + 3 &= 0 \endaligned


oraz przez punkt \displaystyle  A = ( 1, 2, 4 ).

Wskazówka

Szukamy płaszczyzny zawierającej prostą i punkt nie leżący na tej prostej, a więc taka płaszczyzna będzie tylko jedna. Można ją opisać równaniem \displaystyle ax + by + cz  = d, przy stosownie dobranych \displaystyle a,b,c,d \in \mathbb{R}.

Rozwiązanie

Poszukujemy rówania płaszczyzny postaci


\displaystyle ax + by + cz  = d .


Prosta przechodząca przez krawędź przecięcia się płaszczyzn opisanych równaniami \displaystyle  2x - y + 3z - 6 = 0 i \displaystyle  x + 2y - z + 3 = 0 musi być opisana przez układ równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcr} 2x &-& y&+& 3z &=  6,\\ x &+&2y&-&  z &= -3 \end{array}  \right.


Rozwiązując go otrzymujemy równanie kierunkowe tej prostej w postaci


\displaystyle L=(\frac{9}{5},-\frac{12}{5},0)+\textnormal lin\{(-1,1,1)\}


W szczególności poszukiwana przez nas płaszczyzna musi poza punktem \displaystyle A=(1,2,4) zawierać także punkty \displaystyle B=(\frac{9}{5},-\frac{12}{5},0) oraz \displaystyle C=(\frac{4}{5},-\frac{7}{5},1). Oznacza to, że poszukiwane współczynniki równania naszej płaszczyzny muszą spełniać układ równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcr} a &+&2b&+&4c &=  d,\\ \frac{9}{5}a &-&\frac{12}{5}b&& &= d\\ \frac{4}{5}a&-&\frac{7}{5}b&+&c&= d \end{array}  \right..


Jak można łatwo obliczyć rozwiązania tego układu są postaci


\displaystyle \aligned a&=\frac{1}{21}d,&b&=-\frac{8}{21}d,&c&=\frac{3}{7}d,&d&\in\mathbb{R}. \endaligned


Przyjmując np. \displaystyle d=21 otrzymujemy jedno z wielu możliwych równań naszej płaszczyzny, czyli


\displaystyle x-8y+9z=21.\qedhere


Zadanie 14.4

W przestrzeni afinicznej \displaystyle {\mathbb{R}}^3 dana jest płaszczyzna


\displaystyle P = \{ (1-2s+3t,\, 2+5s,\, 1-s+3t)\ ; \ s,t \in \mathbb{R} \}


oraz punkt \displaystyle A = (3,-2,1). Wyznaczyć rodzinę prostych równoległych do \displaystyle P i zawierających punkt \displaystyle A.

Wskazówka

Pamiętajmy, że kierunki szukanych prostych muszą się zawierać w kierunku płaszczyzny \displaystyle P.

Rozwiązanie

Zauważmy, że


\displaystyle \aligned P &= \{ (1-2s+3t,\, 2+5s,\, 1-s+3t) :  s,t \in \mathbb{R} \}\\ &= \{ (1,2,1)+s(-2,5,-1)+t(3,0,3) :  s,t \in \mathbb{R} \}\\ &= (1,2,1)+\textnormal lin\{ (-2,5,-1),(3,0,3) \}, \endaligned


czyli kierunkiem podprzestrzeni \displaystyle P jest \displaystyle V=\textnormal lin\{ (-2,5,-1),(3,0,3) \} i wektor kierunkowy każdej prostej równoległej do \displaystyle P musi należeć do \displaystyle V. Oznacza to, że rodzina prostych równoległych do \displaystyle P i zawierających punkt \displaystyle A=(3,-2,1) składa się ze wszystkich prostych o równaniu kierunkowym


\displaystyle (3,-2,1)+t(v_1,v_2,v_3),\ t \in \mathbb{R},


gdzie \displaystyle (v_1,v_2,v_3)\in V.

Zadanie 14.5

Niech \displaystyle V,W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle (X,V) oraz \displaystyle (Y,W) będą przestrzeniami afinicznymi. Niech \displaystyle  f \colon X \to Y będzie odwzorowaniem afinicznym i niech \displaystyle \varphi\colon V\to W oznacza odwzorowanie liniowe indukowane przez \displaystyle f. Wykazać, że

a) \displaystyle f jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle  \varphi jest monomorfizmem,
b) \displaystyle f jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle \varphi jest epimorfizmem,
c) \displaystyle f jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy \displaystyle  \varphi jest izomorfizmem.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że \displaystyle f jest iniekcją. Wykażemy, że \displaystyle \varphi jest monomorfizmem. W tym celu weźmy dowolny wektor \displaystyle  v \in V i przypuśćmy że \displaystyle \varphi (v) = 0. Ustalmy dowolny punkt \displaystyle x \in X. Wtedy


\displaystyle \overrightarrow{f(x)f(x+v)}= \varphi (v) =0\in W,


skąd wynika, że


\displaystyle f(x)=f(x+v),


a wobec iniektywności \displaystyle f mamy \displaystyle  x = x+v, czyli \displaystyle v =0.

Przypuśćmy teraz, że \displaystyle \varphi jest monomorfizmem. Aby wykazać, że \displaystyle f jest iniekcją weźmy dowolne dwa punkty \displaystyle x,x'\in X i załóżmy, że \displaystyle  f(x) = f(x'). Wtedy


\displaystyle \varphi(\overrightarrow{xx'}) = \overrightarrow{f(x)f(x')} =0 \in W,


skąd, dzięki założeniu, że \displaystyle \varphi jest monomorfizmem, otrzymujemy


\displaystyle \overrightarrow{xx'}=0 \in V,


a zatem \displaystyle x =x'. Wobec dowolności wyboru punktów \displaystyle x i \displaystyle x' wnioskujemy, że \displaystyle f jest iniekcją.

b) Załóżmy, że \displaystyle f jest suriekcją i niech \displaystyle w\in W będzie dowolnym wektorem. Wybierzmy dowolny punkt \displaystyle y\in Y i zdefiniujmy punkt \displaystyle y'=y+w\in Y. Założyliśmy, że \displaystyle f jest suriekcją, zatem istnieją punkty \displaystyle x,x'\in X takie, że


\displaystyle f(x)=y\quad\text{i}\quad f(x')=y'.


Wówczas z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że


\displaystyle \varphi(\overrightarrow{xx'})=\overrightarrow{f(x)f(x')}=\overrightarrow{yy'}=w,


co dowodzi, że \displaystyle \varphi jest epimorfizmem.

Załóżmy, że \displaystyle \varphi jest epimorfizmem i niech \displaystyle y'\in Y będzie dowolnym punktem. Istnieje punkt \displaystyle y taki, że \displaystyle y=f(x) dla pewnego \displaystyle x\in X (obraz zbioru \displaystyle X przez odwzorowanie \displaystyle f musi zawierać co najmniej jeden punkt). Zdefiniujmy wektor \displaystyle w=\overrightarrow{yy'}\in W. Założyliśmy, że \displaystyle \varphi jest epimorfizmem, zatem istnieje taki wektor \displaystyle v\in V, że \displaystyle \varphi(v)=w. Niech \displaystyle x'=x+v\in X. Wówczas

z definicji odwzorowania afinicznego wynika, że


\displaystyle f(x')=f(x+v)=f(x)+\varphi(v)=y+w=y+\overrightarrow{yy'}=y',


co dowodzi, że dla każdego punktu \displaystyle y'\in Y istnieje punkt \displaystyle x'\in X taki, że \displaystyle f(x')=y', zatem odwzorowanie \displaystyle f jest iniekcją.

c) Ten punkt wynika natychmiast z dwóch poprzednich.

Zadanie 14.6

Niech \displaystyle V i \displaystyle W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle  f\colon V \to W. Wykazać, że \displaystyle f jest afiniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: odwzorowanie liniowe \displaystyle \varphi \colon V \to W oraz wektor \displaystyle a \in W takie, że \displaystyle f(v) = a + \varphi (v),\ v \in V.

Wskazówka

Jako \displaystyle a trzeba wziąć \displaystyle f(0) i skorzystać z definicji odwzorowania afinicznego.

Rozwiązanie

Przypuśćmy najpierw, że \displaystyle f jest odwzorowaniem afinicznym. Wtedy istnieje odwzorowanie liniowe \displaystyle \varphi \colon V \to W takie, że dla dowolnych \displaystyle x \in V, \  v \in V mamy \displaystyle f(x+v) = f(x) + \varphi(v). Stąd w szczególności dla \displaystyle x = \Theta, gdzie \displaystyle \Theta\in V jest wektorem zerowym i dla dowolnego wektora \displaystyle v \in V mamy


\displaystyle f(v) = f(\Theta + v) = f(\Theta) + \varphi (v).


Wystarczy teraz położyć \displaystyle a\colon=f(\Theta).

Niech \displaystyle \varphi \colon V \to W będzie odwzorowaniem liniowym, niech \displaystyle  a\in W i niech \displaystyle f(v) = a + \varphi (v), dla \displaystyle v \in V. Wtedy

dla dowolnych \displaystyle x, \  v \in V mamy


\displaystyle f(x+v) = a + \varphi(x+v) = a + \varphi(x)+\varphi (v) = f(x) + \varphi (v) .


A więc, zgodnie z definicją, \displaystyle  f jest afiniczne.

Zadanie 14.7

Niech \displaystyle n \in \mathbb{N}_1. Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^n ze standardowym iloczynem skalarnym. Ustalmy wektor \displaystyle \mathbf{a }\in \mathbb{R}^n oraz liczbę rzeczywistą \displaystyle \alpha. Wykazać wypukłość następującyh zbiorów:

a) \displaystyle A=\{\mathbf{x }\in \mathbb{R}^n </dt><dd> \mathbf{x} \cdot \mathbf{a} \le \alpha \},
b) \displaystyle B=\{\mathbf{x }\in \mathbb{R}^n </dt><dd> \mathbf{x }\cdot \mathbf{a }< \alpha \},
c) \displaystyle C=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n </dt><dd> \mathbf{x} \cdot \mathbf{a} = \alpha \}.

Wskazówka

Potraktujmy \displaystyle \mathbb{R}^n jako przestrzeń afiniczną o kierunku \displaystyle \mathbb{R}^n.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle \mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n. Ustalmy

wektory \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)\displaystyle \mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n) oraz liczby nieujemne \displaystyle \mu,\nu takie, że \displaystyle \mu+\nu=1.

a) Załóżmy, że \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y}\in A, gdzie


\displaystyle A=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \cdot \mathbf{a} \le \alpha \}.


Policzymy


\displaystyle \aligned (\mu\mathbf{x}+\nu\mathbf{y}) \cdot \mathbf{a}&= (\mu\mathbf{x})\cdot \mathbf{a}+(\nu\mathbf{y})\cdot \mathbf{a} \\ &= \mu(\mathbf{x}\cdot \mathbf{a})+\nu(\mathbf{y}\cdot \mathbf{a}) \\ &\le \mu \alpha +\nu \alpha \\ &=(\mu+\nu)\alpha\\&=\alpha, \endaligned


co oznacza, że \displaystyle \mu\mathbf{x}+\nu\mathbf{y}\in A i zbiór \displaystyle A jest wypukły.

b) Załóżmy, że \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y}\in B, gdzie


\displaystyle B=\{\mathbf{x }\in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \cdot\mathbf{ a} < \alpha \}.


Policzymy


\displaystyle \aligned (\mu\mathbf{x}+\nu\mathbf{y}) \cdot \mathbf{a}&= (\mu\mathbf{x})\cdot \mathbf{a}+(\nu\mathbf{y})\cdot \mathbf{a} \\ &= \mu(\mathbf{x}\cdot \mathbf{a})+\nu(\mathbf{y}\cdot \mathbf{a}) \\ &< \mu \alpha+\nu \alpha \\ &=(\mu+\nu)\alpha\\&=\alpha, \endaligned


co oznacza, że \displaystyle \mu\mathbf{x}+\nu\mathbf{y}\in B i zbiór \displaystyle B jest wypukły. Nierówność silna zachowała się dzięki temu, że \displaystyle \mu >0 lub \displaystyle \nu >0.

b) Załóżmy, że \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y}\in C, gdzie


\displaystyle C=\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{x} \cdot \mathbf{a} = \alpha \}.


Policzymy


\displaystyle \aligned (\mu\mathbf{x}+\nu\mathbf{y}) \cdot \mathbf{a}&= (\mu\mathbf{x})\cdot \mathbf{a}+(\nu\mathbf{y})\cdot \mathbf{a} \\ &= \mu(\mathbf{x}\cdot \mathbf{a})+\nu(\mathbf{y}\cdot \mathbf{a}) \\ &= \mu \alpha +\nu \alpha  \\ &=(\mu+\nu)\alpha\\&=\alpha, \endaligned

co oznacza, że \displaystyle \mu\mathbf{x}+\nu\mathbf{y}\in C i zbiór \displaystyle C jest wypukły.

Zadanie 14.8

Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{R} i niech \displaystyle C\subset V. Wykazać, że zbiór \displaystyle C jest wypukły wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego \displaystyle m \in \mathbb{N}_2, dla dowolnego ciągu \displaystyle c_1,\ldots,c_m elementów zbioru \displaystyle C i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych \displaystyle \lambda_1,\ldots,\lambda_m spełniających warunek


\displaystyle \lambda_1+\ldots+\lambda_m =1


kombinacja liniowa


\displaystyle \lambda_1c_1+\ldots+\lambda_mc_m


należy do \displaystyle C.

Wskazówka

Można zastosować indukcję ze względu na \displaystyle m.

Rozwiązanie

Jeżeli dla dowolnego \displaystyle m \in \mathbb{N}_2, dla dowolnego ciągu \displaystyle c_1,\ldots,c_m elementów zbioru \displaystyle C i dla dowolnego ciągu liczb rzeczywistych nieujemnych \displaystyle \lambda_1,\ldots,\lambda_m spełniających warunek


\displaystyle \lambda_1+\ldots+\lambda_m =1


kombinacja liniowa


\displaystyle \lambda_1c_1+\ldots+\lambda_mc_m


należy do \displaystyle C, to zbiór ten jest oczywiście wypukły, bo wypukłość jest równoważna powyższemu warunkowi dla \displaystyle m=2.

Przeprowadzimy dowód indukcyjny drugiej implikacji. Jak już wspomnieliśmy, dla \displaystyle m=2 teza wynika z definicji

odcinka łączącego dwa punkty oraz definicji zbioru wypukłego. Załóżmy zatem, że twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich \displaystyle k\le m, gdzie \displaystyle m \ge 2. Ustalmy:

i) ciąg \displaystyle c_1,\ldots,c_m,c_{m+1} elementów zbioru \displaystyle C;
ii) ciąg liczb rzeczywistych nieujemnych \displaystyle \lambda_1,\ldots,\lambda_m,\lambda_{m+1} spełniających warunek


\displaystyle \lambda_1+\ldots+\lambda_m + \lambda_{m+1} =1.


Chcemy wykazać, że


\displaystyle \lambda_1c_1+\ldots+\lambda_mc_m + \lambda_{m+1} c_{m+1} \in C.


Jeśli \displaystyle \lambda_1 = \ldots = \lambda_m =0, to \displaystyle \lambda_{m+1} =1 i


\displaystyle \lambda_1c_1+\ldots+\lambda_mc_m + \lambda_{m+1} c_{m+1} = c_{m+1} \in C.


W przeciwnym razie przyjmijmy \displaystyle \lambda: =\lambda_1+\ldots+\lambda_m i zauważmy, że \displaystyle \lambda >0. Z założenia indukcyjnego wynika, że


\displaystyle c = \frac {\lambda_1}{\lambda}c_1+\ldots+\frac {\lambda_m}{\lambda}c_m  \in C,


gdyż suma współczynników tej kombinacji wynosi \displaystyle 1. Teraz dzięki wypukłości zbioru \displaystyle C i dzięki temu, że \displaystyle \lambda+ \lambda_{m+1} =1 mamy


\displaystyle \aligned \lambda_1c_1+\ldots+\lambda_mc_m + \lambda_{m+1} c_{m+1}&= \lambda(\frac {\lambda_1}{\lambda}c_1+\ldots+\frac {\lambda_m}{\lambda}c_m ) +\lambda_{m+1} c_{m+1} \\ &= \lambda c + \lambda_{m+1} c_{m+1} \in C.\qedhere \endaligned