Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 13: Przestrzenie afiniczne I

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 13.1

Niech


\displaystyle X = \{ (x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 3x_2 = 3,\, x_3 + x_2 = 5 \}.


Niech


\displaystyle \omega : X \times X \ni ((x_1 , x_2 , x_3 ), (y_1 , y_2 , y_3 )) \to y_2 - x_2 \in \mathbb{R};


\displaystyle \delta \colon X \times \mathbb{R}  \ni ((x_1 , x_2 , x_3 ),\alpha ) \to  (x_1 + 3\alpha , x_2 + \alpha , x_3 - \alpha) \in \mathbb{R}^3 .


Wykazać, że \displaystyle \delta jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór \displaystyle X\times \mathbb{R} w zbiór \displaystyle X. Wykazać, że \displaystyle ( X, \mathbb{R},\omega,\delta ) jest przestrzenią afiniczną.

Wskazówka

\displaystyle \mathbb{R} traktujemy jako przestrzeń wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{R}. Oznaczenie \displaystyle \omega (x,y) stosujemy zamiast oznaczenia \displaystyle \overrightarrow{xy}, a \displaystyle \delta(x,v) zamiast oznaczenia \displaystyle x+v z wykładu XIII.

Rozwiązanie

Sprawdzimy najpierw, czy \displaystyle \delta jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór \displaystyle X\times\mathbb{R} w zbiór \displaystyle X. W tym celu ustalmy dowolną liczbę rzeczywistą \displaystyle \alpha oraz dowolny punkt \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X. Musimy wykazać, że współrzędne punktu


\displaystyle \delta(\mathbf{x},\alpha)=(x_1 + 3\alpha , x_2 + \alpha , x_3 - \alpha)


spełniają układ równań opisujący zbiór \displaystyle X, czyli


\displaystyle \left\{ \begin{array} {ccrcc} x_1 &-& 3x_2 &= 3\\ x_3 &+& x_2 &= 5. \end{array}  \right.


Zauważmy, że rozwiązania tego równania są postaci


\displaystyle (3,0,5)+s(3,1,-1).


Wstawiając współrzędne punktu \displaystyle \delta(\mathbf{x},\alpha) do pierwszego równania powyższego układu otrzymujemy:


\displaystyle x_1 + 3\alpha  - 3(x_2 + \alpha) = x_1 -3x_2 =3


Wstawiając współrzędne punktu \displaystyle \delta(\mathbf{x},\alpha) do drugiego równania powyższego układu otrzymujemy:


\displaystyle x_3 - \alpha + x_2 + \alpha =    x_3 +  x_2 = 5.


Wykazaliśmy zatem, że \displaystyle \delta(\mathbf{x},\alpha)\in X dla wszystkich \displaystyle \alpha\in\mathbb{R} oraz \displaystyle \mathbf{x}\in X. Aby udowodnić, że \displaystyle X jest przestrzenią afiniczną o kierunku \displaystyle \mathbb{R} musimy uzasadnić, że spełnione są następujące warunki:

i) dla dowolnego \displaystyle \mathbf{x}\in X oraz \displaystyle \alpha\in\mathbb{R} równość

\displaystyle \delta(\mathbf{x},\alpha)=\mathbf{y}


zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})=\alpha.


ii) dla dowolnych \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X

\displaystyle \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z})


W celu sprawdzenia pierwszego z tych warunków ustalmy dowolny \displaystyle \mathbf{x}\in X oraz \displaystyle \alpha\in\mathbb{R}. Mamy wówczas


\displaystyle \delta(\mathbf{x},\alpha)=(x_1 + 3\alpha , x_2 + \alpha , x_3 - \alpha)=\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3)


wtedy i tylko wtedy


\displaystyle \aligned x_1 + 3\alpha &=y_1,& x_2 + \alpha&=y_2,&  x_3 - \alpha&=y_3. \endaligned      (*)


Z definicji przestrzeni \displaystyle X wynika, że współrzędne punktu \displaystyle \mathbf{y} są jednoznacznie wyznaczone przez jedną z nich, np. drugą i wówczas


\displaystyle \mathbf{y}=(3+3y_2,y_2,5-y_2)


Wynika stąd, że trzy równości oznaczone (*) są równoważne jednej


\displaystyle x_2+\alpha=y_2,


czyli


\displaystyle y_2-x_2=\alpha.


Ta ostatnia równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})=\alpha,


co kończy dowód pierwszego z warunków występujących w definicji przestrzeni afinicznej. Dla dowodu drugiego warunku ustalmy \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X, gdzie


\displaystyle \aligned \mathbf{x}&=(x_1,x_2,x_3),&\mathbf{y}&=(y_1,y_2,y_3),&\mathbf{z}&=(z_1,z_2,z_3). \endaligned


Wówczas


\displaystyle \aligned \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})&=(y_2-x_2)+(z_2-y_2)=z_2-x_2\\ &=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z}), \endaligned


co było do okazania. Udowodniliśmy, że \displaystyle ( X, \mathbb{R},\omega,\delta ) jest przestrzenią afiniczną.

Zadanie 13.2

Niech


\displaystyle X = \{ (x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 2x_2 + x_3 = 1 \}.


Niech


\displaystyle \omega : X \times X \ni ((x_1 , x_2 , x_3 ), (y_1 , y_2 , y_3 )) \to (x_3 - y_3, y_2 - x_2) \in \mathbb{R}^2;


\displaystyle \delta\colon  X \times \mathbb{R}^2  \ni ((\alpha,\beta), (x_1 , x_2 , x_3 )) \to (x_1 + \alpha + 2 \beta, x_2 + \beta , x_3 - \alpha) \in \mathbb{R}^3 .


Wykazać, że \displaystyle \delta\colon X \times \mathbb{R}^2 \to X. Wykazać, że \displaystyle ( X, \mathbb{R}^2, \omega ,\delta) jest przestrzenią afiniczną.

Wskazówka

Oznaczenie \displaystyle \omega (x,y) stosujemy zamiast \displaystyle  \overrightarrow{xy}, a \displaystyle \delta(x,v) zamiast oznaczenia \displaystyle x+v z wykładu XIII.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że


\displaystyle \aligned X &= \{ (x_1 , x_2 , x_3 ) \in \mathbb{R}^3 : x_1 - 2x_2 + x_3 =1\}\\ &=(1,0,0)+\textnormal lin\{(2,1,0),(-1,0,1)\}, \endaligned


zatem współrzędne punktu \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X są jednoznacznie wyznaczone przez drugą i trzecią współrzędną wzorem


\displaystyle x_1=1+2x_2-x_3.


Sprawdzimy, czy \displaystyle \delta jest odwzorowaniem przeprowadzającym zbiór \displaystyle X\times\mathbb{R}^2 w zbiór \displaystyle X. W tym celu ustalmy dowolne liczby rzeczywiste \displaystyle \alpha i \displaystyle \beta oraz dowolny punkt \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X. Wykażemy, że współrzędne punktu


\displaystyle \delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))=(x_1 + \alpha + 2 \beta, x_2 + \beta , x_3 - \alpha)


spełniają równanie opisujące zbiór \displaystyle X, czyli


\displaystyle x_1 + \alpha + 2 \beta-2( x_2 + \beta)+  x_3 - \alpha=x_1-2x_2+x_3=1.


Zatem \displaystyle \delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))\in X dla wszystkich \displaystyle (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 oraz \displaystyle \mathbf{x}\in X. Aby udowodnić, że \displaystyle X jest przestrzenią afiniczną o kierunku \displaystyle \mathbb{R}^2 musimy uzasadnić, że spełnione są następujące warunki:

i) dla dowolnego \displaystyle \mathbf{x}\in X oraz \displaystyle (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2 równość


\displaystyle \delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))=\mathbf{y}


zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\alpha,\beta).


ii) dla dowolnych \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X


\displaystyle \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z})


Aby sprawdzić, że zachodzi pierwszy z powyższych warunków ustalmy dowolny punkt \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\in X oraz \displaystyle (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2. Z definicji odwzorowania \displaystyle \delta mamy


\displaystyle \delta(\mathbf{x},(\alpha,\beta))=(x_1 + \alpha + 2 \beta, x_2 + \beta , x_3 - \alpha)=\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3).


Na mocy naszej obserwacji na temat zbioru \displaystyle X wnosimy, że powyższa równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \aligned x_2 + \beta &=y_2,&  x_3 - \alpha&=y_3. \endaligned


Przekształcając powyższe równości otrzymujemy


\displaystyle \aligned y_2-x_2 &=\beta,&  x_3 - y_3&=\alpha, \endaligned


co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy


\displaystyle \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\alpha,\beta).


Dowód pierwszego z warunków występujących w definicji przestrzeni afinicznej jest zakończony. Dla dowodu drugiego warunku ustalmy \displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in X, gdzie


\displaystyle \aligned \mathbf{x}&=(x_1,x_2,x_3),&\mathbf{y}&=(y_1,y_2,y_3),&\mathbf{z}&=(z_1,z_2,z_3). \endaligned


Wówczas


\displaystyle \aligned \omega(\mathbf{x},\mathbf{y})+\omega(\mathbf{y},\mathbf{z})&=((x_3-y_3),(y_2-x_2))+((y_3-z_3),(z_2-y_2))\\ &=((x_3-z_3),(z_2-x_2))\\ &=\omega(\mathbf{x},\mathbf{z}), \endaligned


co było do okazania. Udowodniliśmy, że \displaystyle ( X, \mathbb{R}^2,\omega,\delta ) jest przestrzenią afiniczną.

Zadanie 13.3

W przestrzeni afinicznej \displaystyle \mathbb{R}^3 ( o kierunku \displaystyle \mathbb{R}^3) dane są punkty


\displaystyle \aligned a&=(1,0,-3),&b&=(2,1,-3),&c&=(1,1,-2),&d&=(2,0,-2 ). \endaligned


Wykazać, że są one afinicznie niezależne. Znaleźć współrzędne punktu


\displaystyle x= (2,-4,-4)


w układzie bazowym \displaystyle ( a; \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{ac}, \overrightarrow{ad}).

Wskazówka

Zbadać liniową niezależność wektorów \displaystyle \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{ac}, \overrightarrow{ad}.

Rozwiązanie

Z twierdzenia podanego na wykładzie wynika, że punkty \displaystyle a,b,c,d są afinicznie niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy utworzonej poprzez dopisanie pierwszego wiersza złożonego z samych jedynek do macierzy, w której

kolumnach wpisano współrzędne punktów \displaystyle a\displaystyle b\displaystyle c i \displaystyle d jest różny od zera, czyli


\displaystyle \det\left[\begin{array} {rrrr} 1& 1& 1& 1 \\ 1& 2& 1& 2 \\ 0& 1& 1& 0 \\ -3&-3&-2&-2 \end{array}  \right]\neq 0.


Ponieważ wyznacznik powyższej macierzy jest równy \displaystyle 2, zatem punkty \displaystyle a\displaystyle b\displaystyle c i \displaystyle d są afinicznie niezależne. Aby znaleźć współrzędne \displaystyle (\alpha,\beta,\gamma) punktu \displaystyle x= (2,-4,-4) w układzie bazowym \displaystyle ( a; \overrightarrow{ab}, \overrightarrow{ac}, \overrightarrow{ad}) musimy wyznaczyć liczby rzeczywiste \displaystyle \alpha\displaystyle \beta i \displaystyle \gamma takie, że


\displaystyle x=a+\alpha\overrightarrow{ab}+\beta\overrightarrow{ac}+\gamma \overrightarrow{ad}),


czyli


\displaystyle (2,-4,-4)=(1,0,-3)+\alpha (1,1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1).


Oznacza to, że liczby \displaystyle \alpha\displaystyle \beta i \displaystyle \gamma są rozwiązaniami układu równań:


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcccc} \alpha & &     &+&\gamma &=  1\\ \alpha &+&\beta& &       &= -4\\ &+&\beta&+&\gamma &= -1 \end{array}  \right..


Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy


\displaystyle \aligned \alpha&= -1,&\beta &=-3,& \gamma&=2.\qedhere \endaligned


Zadanie 13.4

W przestrzeni afinicznej \displaystyle \mathbb{R}^4 (o kierunku \displaystyle \mathbb{R}^4) zbadać afiniczną niezależność punktów

a) \displaystyle (-1,1,0,1), \displaystyle (0,0,2,0), \displaystyle (3,1,-5,-4), \displaystyle (-2,-2,3,3);
b) \displaystyle (1,1,1,0), \displaystyle (0,0,6,-6), \displaystyle (2,3,6,-6), \displaystyle (3,4,1,0).

Wskazówka

Przydatne twierdzenie, z którego można skorzystać znajduje się w wykładzie XIII.

Rozwiązanie

Aby zbadać afiniczną niezależność punktów \displaystyle u_0,u_1,u_2,u_3 tworzymy macierz \displaystyle V, której kolumnami są wektory \displaystyle v_1=\overrightarrow{u_0u_1}, \displaystyle v_2=\overrightarrow{u_0u_2}, \displaystyle v_3=\overrightarrow{u_0u_3}, a następnie badamy jej rząd.

a) Niech

\displaystyle \aligned u_0&= (-1,1,0,1),&u_1&=(0,0,2,0),\\ u_2&=(3,1,-5,-4),&u_3&=(-2,-2,3,3). \endaligned


Wówczas


\displaystyle \aligned v_1&= (1,-1,2,-1),&v_2&=(4,0,-5,-5),&v_3&=(-1,-3,3,2). \endaligned


Rząd macierzy


\displaystyle \left[ \begin{array} {rrr} 1 &  4 & -1\\ -1 &  0 & -3\\ 2 & -5 &  3\\ -1 & -5 &  2 \end{array} \right]


jest równy \displaystyle 3 zatem nasze punkty są afinicznie niezależne.

b) Niech

\displaystyle \aligned u_0&= (1,1,1,0),&u_1&=(0,0,6,-6),\\ u_2&=(2,3,6,-6),&u_3&=(3,4,1,0). \endaligned


Wówczas


\displaystyle \aligned v_1&= (-1,-1,5,-6),&v_2&=(1,2,5,-6),&v_3&=(2,3,0,0). \endaligned


Rząd macierzy


\displaystyle \left[ \begin{array} {rrr} -1 &  1 & 2\\ -1 &  2 & 3\\ 5 &  5 & 0\\ -6 & -6 & 0 \end{array} \right]


jest równy \displaystyle 2 zatem nasze punkty nie są afinicznie niezależne.

Zadanie 13.5

W przestrzeni afinicznej \displaystyle {\mathbb{R}}^3 dany jest układ bazowy


\displaystyle ( (1,-1,2);\ (3,1,0),\ (0,1,-1), \ (3,2,1)) .


Znaleźć punkt \displaystyle a, którego współrzędne w powyższym układzie bazowym wynoszą 1,3,-2.

Wskazówka

Wystarczy skorzystać z definicji współrzędnych względem układu bazowego.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle a=(x,y,z). Wówczas


\displaystyle \aligned (x,y,z)&=(1,-1,2)+1\cdot (3,1,0)+3\cdot (0,1,-1)-2\cdot (3,2,1)\\ &=(1,-1,2)+ (3,1,0)+(0,3,-3)-(6,4,2)\\ &=(-2,-1,-3).\qedhere \endaligned


Zadanie 13.6

Niech \displaystyle U i \displaystyle W będą przestrzeniami wektorowym nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech \displaystyle f\colon U \to W będzie odwzorowaniem liniowym. Wykazać, że dla każdego \displaystyle  b \in W jeżeli zbiór


\displaystyle f^{-1}(\{b\})= \{ x \in U\ ; \ f(x) = b \}


jest niepusty, to jest przestrzenią afiniczną o kierunku \displaystyle \ker f.

Wskazówka

Jako \displaystyle x+v przyjąć zwykłą sumę wektorów w przestrzeni \displaystyle U,a jako \displaystyle \overrightarrow{xy} różnicę \displaystyle y-x.

Rozwiązanie

Niech \displaystyle u_0\in U będzie wektorem takim, że \displaystyle f(u_0)=b. Wystarczy wykazać, że


\displaystyle f^{-1}(\{b\})= u_0+\ker f.


Zauważmy, że jeżeli \displaystyle u\in (u_0+\ker f), to \displaystyle u=u_0+v, gdzie \displaystyle v\in\ker f i wówczas


\displaystyle f(u)=f(u_0+v)=f(u_0)+f(v)=f(u_0)+0=b,


zatem


\displaystyle u_0+\ker f\subset f^{-1}(\{b\}).


Z drugiej strony jeżeli \displaystyle u\in f^{-1}(\{b\}), to \displaystyle u=u_0+(u-u_0)\displaystyle u-u_0\in ker f, bo


\displaystyle f(u-u_0)=f(u)-f(u_0)=b-b=0,


zatem


\displaystyle f^{-1}(\{b\})\subset u_0+\ker f.


Na podstawie udowodnionych wyżej inkluzji wnioskujemy, że


\displaystyle f^{-1}(\{b\})= u_0+\ker f,


co było do okazania.