Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 12: Miara układu wektorów

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 12.1

Obliczyć wyznacznik Grama układu wektorów


\displaystyle \aligned v_1 &= (1,0,1,0),& v_2 &= (1,-2,3,-4),& v_3 &=(1,-1,1,0), & v_4(0,-1,2,1). \endaligned


Wskazówka

Skorzystać z definicji wyznacznika Grama.

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją wyznacznik Grama układu wektorów


\displaystyle \aligned v_1 &= (1,0,1,0),& v_2 &= (1,-2,3,-4),& v_3 &=(1,-1,1,0), & v_4(0,-1,2,1) \endaligned


dany jest wzorem


\displaystyle G(v_1,v_2,v_3,v_4)=\det\left[\begin{array} {cccc} v_1\cdot v_1 & v_1\cdot v_2 & v_1\cdot v_3 & v_1\cdot v_4 \\ v_2\cdot v_1 & v_2\cdot v_2 & v_2\cdot v_3 & v_2\cdot v_4 \\ v_3\cdot v_1 & v_3\cdot v_2 & v_3\cdot v_3 & v_3\cdot v_4 \\ v_4\cdot v_1 & v_4\cdot v_2 & v_4\cdot v_3 & v_4\cdot v_4 \\ \end{array}  \right].


Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że


\displaystyle G(v_1,v_2,v_3,v_4)=\det\left[ \begin{array} {cccc} 2&4&2&2\\4&30&6&4\\2&6&3&3\\2&4&3&6\end{array}  \right]=100.\qedhere


Zadanie 12.2

Rozważamy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Niech


\displaystyle \aligned u &=(1,0,1),&v&=(2,2,1),&w&=(2,-3,-1) \endaligned


i niech \displaystyle  U = \textnormal lin \{u,v\}. Obliczyć \displaystyle d(w,U).

Wskazówka

Wystarczy skorzystać z definicji \displaystyle d(w,U).

Rozwiązanie

Liczba \displaystyle d(w,U) jest z definicji równa \displaystyle ||w'||, gdzie \displaystyle w'\in U^\bot jest składową wektora \displaystyle w w rozkładzie przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 na sumę prostą \displaystyle U\oplus U^\bot. Aby wyznaczyć składowe wektora \displaystyle w w tym rozkładzie, wystarczy znaleźć bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3, której wektory należą do \displaystyle U\cup U^\bot. Z określenia przestrzeni \displaystyle U wynika, że bazą dla \displaystyle U są wektory \displaystyle u i \displaystyle v oraz \displaystyle \dim U=2. Wnioskujemy stąd, że \displaystyle \dim U^\bot=1 i jako bazę dla podprzestrzeni \displaystyle U^\bot możemy przyjąć dowolne niezerowe rozwiązanie \displaystyle \mathbf{x} układu


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcl} (x_1,x_2,x_3)\cdot u &= 0\\ (x_1,x_2,x_3)\cdot v &= 0, \end{array}  \right.


który, przyjmując, że \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3), możemy równoważnie zapisać w następujący sposób


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcccl} x_1 &&&+&x_3&=  0\\ 2x_1&+&2x_2&+&x_3&=  0. \end{array}  \right.


(Inna metoda na wyznaczenie wektora \displaystyle \mathbf{x} prostopadłego równocześnie do wektorów \displaystyle u i \displaystyle v podana jest w zadaniu 12.3). Łatwo sprawdzić, że wektor \displaystyle (2,-1,-2) jest niezerowym rozwiązaniem naszego układu. Jeżeli teraz przyjmiemy za bazę przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 wektory \displaystyle (1,0,1), \displaystyle (2,2,1) oraz \displaystyle (2,-1,-2), to znajdując wektor współrzędnych \displaystyle (a_1,a_2,a_3) wektora \displaystyle w w tej bazie, a następnie przyjmując \displaystyle w'=a_3(2,-1,-2), wyznaczymy składową wektora \displaystyle w w rozkładzie przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 na sumę prostą \displaystyle U\oplus U^\bot. Aby wyznaczyć współrzędne wektora \displaystyle w w tej bazie, rozważmy równanie


\displaystyle a_1(1,0,1)+a_2(2,2,1)+a_3(2,-1,-2)=(2,-3,-1),


które jest równoważne układowi równań


\displaystyle \left\{ \begin{array} {rcrcrcr} a_1&+&2a_2&+&2a_3&=  2\\ & &2a_2&-& a_3&= -3\\ a_1&+& a_2&-&2a_3&= -1. \end{array}  \right.


Rozwiązaniem tego układu są liczby


\displaystyle \aligned a_1&=2,&a_2&=-1,&a_3&=1. \endaligned


Oznacza to, że wektor


\displaystyle w'=1(2,-1,-2)=(2,-1,-2)


jest szukaną składową. Ponieważ


\displaystyle ||w'||=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}= \sqrt{9}=3,


zatem otrzymaliśmy, że


\displaystyle d(w,U)=3.\qedhere


Zadanie 12.3

W przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory \displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3) i \displaystyle \mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3). Definiujemy wektor


\displaystyle \aligned \mathbf{x}\times \mathbf{y}: &= ( x_2y_3 -x_3y_2, x_3y_1 -x_1y_3, x_1y_2 -x_2y_1)\\ &=\left(\det \left [ \begin{array} {cc} x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3   \end{array} \right ] , \det \left [ \begin{array} {cc} x_3 & x_1 \\ y_3 & y_1   \end{array} \right ] , \det\left [ \begin{array} {cc} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2   \end{array} \right ] \right). \endaligned


Wykazać, że wektor \displaystyle \mathbf{x}\times \mathbf{y} jest prostopadły do podprzestrzeni \displaystyle \textnormal lin \{\mathbf{x},\mathbf{y}\} oraz że \displaystyle \parallel \mathbf{x}\times \mathbf{y}\parallel = \textnormal vol (\mathbf{x},\mathbf{y}). Wektor \displaystyle \mathbf{x}\times \mathbf{y} nazywamy iloczynem wektorowym wektorów \displaystyle \mathbf{x} i \displaystyle \mathbf{y}.

Wskazówka

Skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu.

Rozwiązanie

Aby wykazać, że wektor \displaystyle \mathbf{x}\times \mathbf{y} jest prostopadły do podprzestrzeni \displaystyle \textnormal lin \{\mathbf{x},\mathbf{y}\} wystarczy dowieść, że


\displaystyle \aligned (\mathbf{x}\times \mathbf{y})\cdot \mathbf{x} &=0,&(\mathbf{x}\times \mathbf{y})\cdot \mathbf{y} &=0. \endaligned


Korzystając z definicji wektora \displaystyle \mathbf{x}\times \mathbf{y} oraz definicji standardowego iloczynu skalarnego, otrzymujemy


\displaystyle \aligned (\mathbf{x}\times \mathbf{y})\cdot\mathbf{x} &= ( x_2y_3 -x_3y_2,x_3y_1 -x_1y_3,x_1y_2 -x_2y_1) \cdot(x_1,x_2,x_3)\\ &= x_1( x_2y_3 -x_3y_2)+x_2(x_3y_1 -x_1y_3)+x_3(x_1y_2 -x_2y_1) \\ &=x_1 x_2y_3 -x_1x_3y_2+x_2x_3y_1 -x_1x_2y_3+x_1x_3y_2 -x_2x_3y_1\\ &=0. \endaligned


Podobnie bezpośrednim rachunkiem dowodzimy, że


\displaystyle (\mathbf{x}\times \mathbf{y})\cdot\mathbf{y} = ( x_2y_3 -x_3y_2,x_3y_1 -x_1y_3,x_1y_2 -x_2y_1) \cdot(y_1,y_2,y_3) =0.


Oznacza to, że


\displaystyle \mathbf{x}\times \mathbf{y} \bot \textnormal {lin} \{\mathbf{x},\mathbf{y}\}.


Wykażemy teraz, że


\displaystyle || \mathbf{x}\times \mathbf{y}|| = \textnormal vol (\mathbf{x},\mathbf{y}).


Skorzystamy przy tym z następującego wzoru podanego na wykładzie


\displaystyle \textnormal{vol}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{G(\mathbf{x},\mathbf{y})},


gdzie \displaystyle G(\mathbf{x},\mathbf{y}) oznacza wyznacznik Grama wektorów \displaystyle \mathbf{x} i \displaystyle \mathbf{y}. Zauważmy, że


\displaystyle \aligned || \mathbf{x}\times \mathbf{y}||^2 =& {( x_2y_3 -x_3y_2)^2+(x_3y_1 -x_1y_3)^2+(x_1y_2 -x_2y_1)^2}\\ =& {( x_2y_3)^2-2x_2x_3y_2y_3+(x_3y_2)^2+ (x_3y_1)^2 -2x_1x_3y_1y_3+(x_1y_3)^2+}\\ &{+(x_1y_2)^2 -2x_1x_2y_1y_2+(x_2y_1)^2}. \endaligned


Z drugiej strony


\displaystyle \aligned (\textnormal vol(\mathbf{x},\mathbf{y}))^2=&{G(\mathbf{x},\mathbf{y})}\\ =&{\det\left [ \begin{array} {cc}\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}  & \mathbf{x}\cdot \mathbf{y} \\ \mathbf{y}\cdot \mathbf{x} & \mathbf{y}\cdot \mathbf{y} \end{array} \right ]}\\ =&{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2)-(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2}\\ =&{(x_1y_1)^2+(x_2y_2)^2+(x_3y_3)^2+(x_2y_1)^2+(x_3y_1)^2+}\\ &+(x_1y_2)^2+(x_3y_2)^2+(x_1y_3)^2+(x_1y_3)^2+\\ &-((x_1y_1)^2+(x_2y_2)^2+(x_3y_3)^2)+\\&-2(x_2x_3y_2y_3+x_1x_3y_1y_3+x_1x_2y_1y_2)\\ =&{( x_2y_3)^2-2x_2x_3y_2y_3+(x_3y_2)^2+ (x_3y_1)^2}\\ &-2x_1x_3y_1y_3+(x_1y_3)^2+(x_1y_2)^2+\\& -2x_1x_2y_1y_2+(x_2y_1)^2. \endaligned


Wykazaliśmy zatem, że


\displaystyle || \mathbf{x}\times \mathbf{y}||^2=(\textnormal {vol}(\mathbf{x},\mathbf{y}))^2,


co oznacza, że


\displaystyle || \mathbf{x}\times \mathbf{y}||=\textnormal {vol}(\mathbf{x},\mathbf{y}).\qedhere


Zadanie 12.4

W przestrzeni \displaystyle \mathbb{R}^3 ze standardowym iloczynem skalarnym dane są wektory


\displaystyle \aligned u&=(1,0,1),&v&=(1,-1,1),&w&=(0,1,3). \endaligned


Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach


\displaystyle \aligned A &=(0,0,0),&B&=(1,0,1),&C&=(1,-1,1) \endaligned


oraz \displaystyle \textnormal {vol} (u,v,w).

Wskazówka

Skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu. W pierwszej części można też skorzystać z poprzedniego zadania.

Rozwiązanie

Zauważmy, że


\displaystyle \aligned \overrightarrow{AB}&=u,&\overrightarrow{AC}=v. \endaligned


Z wykładu wiadomo, że pole powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez punkty \displaystyle A\displaystyle B\displaystyle C oraz \displaystyle D=A+(u+v)=(2,-1,1) jest równe \displaystyle \textnormal vol\{u,v\}. Widać także, że pole pole trójkąta o wierzchołkach


\displaystyle \aligned A &=(0,0,0),&B&=(1,0,1),&C&=(1,-1,1), \endaligned


które oznaczamy dalej przez \displaystyle P, jest równe połowie pola wspomnianego równoległoboku, czyli


\displaystyle P=\frac{1}{2}\textnormal {vol}\{u,v\}.


Korzystając ze wzoru


\displaystyle \textnormal {vol}\{u,v\}=\sqrt{G(u,v)},


otrzymujemy


\displaystyle \aligned \textnormal {vol}\{u,v\}&=\sqrt{\det\left [ \begin{array} {cc}u\cdot u  & u\cdot v \\ v\cdot u & v\cdot v \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{\det\left [ \begin{array} {cc}2  & 2 \\ 2 & 3 \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{4}=2, \endaligned


co oznacza, że


\displaystyle P=1.


Podobnie


\displaystyle \aligned \textnormal {vol}\{u,v,w\}&=\sqrt{G(u,v,w)}\\ &=\sqrt{\det\left[ \begin{array} {ccc} u\cdot u  & u\cdot v & u\cdot w \\ v\cdot u  & v\cdot v & v\cdot w \\ w\cdot u  & w\cdot v & w\cdot w \end{array} \right ]}\\ &=\left|\det\left [ \begin{array} {crc} 2 &  2 & 3 \\ 2 & 3 & 2\\ 3 &  2 & 10 \end{array} \right ]\right|\\ &=3. \qedhere \endaligned


Zadanie 12.5

Rozważmy wektorową przestrzeń euklidesową \displaystyle (\mathbb{R}^3,g), gdzie


\displaystyle g((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) = 3x_1y_1 + 2x_2y_2 +x_3y_3.


Obliczyć \displaystyle \textnormal vol (u,v,w), gdy \displaystyle  u=(1,0,1), \ v=(0,-2,0), \displaystyle w=(1,-2,-1).

Wskazówka

Wystarczy skorzystać z definicji miary układu wektorów.

Rozwiązanie

Ze wzoru na miarę układu wektorów otrzymujemy


\displaystyle \aligned \textnormal vol\{u,v,w\}&=\sqrt{G(u,v,w)}\\ &=\sqrt{\det\left[ \begin{array} {ccc} g(u, u)  & g(u, v) & g(u, w) \\ g(v, u)  & g(v, v) & g(v, w) \\ g(w, u)  & g(w, v) & g(w, w) \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{\det\left [ \begin{array} {crc} 4 &  0 & 2 \\ 0 &  8 & 8\\ 2 &  8 & 12 \end{array} \right ]}\\ &=\sqrt{96}=4\sqrt{6}. \qedhere \endaligned


Zadanie 12.6

Niech


\displaystyle f \colon \mathbb{R}^4 \ni (x_1,x_2,x_3, x_4) \to ( x_1 - x_2, x_1+x_4, 2x_1 +3x_3,x_2 - x_4) \in \mathbb{R}^4.


Niech \displaystyle  e_1, e_2, e_3, e_4 oznaczają wktory bazy kanonicznej w \displaystyle \mathbb{R}^4. Obliczyć


\displaystyle G( f (e_1),f( e_2), f(e_3), f(e_4)).


Wskazówka

Można skorzystać z odpowiedniego twierdzenia z wykładu.

Rozwiązanie

Zauważmy, że baza kanoniczna jest bazą ortonormalną. Współrzędne wektora \displaystyle f(e_i), gdzie \displaystyle i=1,\ldots,4, a \displaystyle e_i jest \displaystyle i-tym wektorem bazy kanonicznej możemy łatwo odczytać z macierzy odwzorowania \displaystyle f w bazie kanonicznej. Korzystając z powyższych obserwacji oraz z twierdzenia z wykładu otrzymujemy, że wyznacznik Grama układu wektorów \displaystyle f(e_1),f(e_2),f(e_3),f(e_4) jest równy \displaystyle (\det A)^2, gdzie \displaystyle A oznacza macierz naszego dowzorowania \displaystyle f w bazie kanonicznej. Po wykonaniu odpowiednich obliczeń otrzymujemy


\displaystyle A=\left [ \begin{array} {crcr} 1 & -1 &  0 &  0 \\ 1 &  0 &  0 &  1 \\ 2 &  0 &  3 &  0 \\ 0 &  1 &  0 & -1 \end{array} \right ]


oraz


\displaystyle \det A=-6,


co oznacza, że


\displaystyle G( f (e_1),f( e_2), f(e_3), f(e_4))=36.\qedhere