Algebra liniowa z geometrią analityczną/Ćwiczenia 11: Formy kwadratowe

From Studia Informatyczne

Spis treści

Zadanie 11.1

Niech \displaystyle U,V,W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem \displaystyle \mathbb{K} i niech


\displaystyle \Phi\colon U \times V \to W


będzie odwzorowaniem dwuliniowym. Niech


\displaystyle F \colon U \ni u \to f_u \in \mathcal{L} (V,W),


gdzie \displaystyle f_u(v) := \Phi (u,v). Wykazać, że \displaystyle F jest odwzorowaniem liniowym.

Wskazówka

Trzeba skorzystać z definicji odwzorowania liniowego.

Rozwiązanie

Ustalmy dowolne wektory \displaystyle u_1, \displaystyle u_2 należące do przestrzeni wektorowej \displaystyle U oraz dowolne skalary \displaystyle \alpha_1, \displaystyle \alpha_2 z ciała \displaystyle \mathbb{K}. Mamy wykazać, że


\displaystyle F(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2)=\alpha_1F(u_1)+\alpha_2F(u_2),


co oznacza, że mamy sprawdzić, czy odwzorowania


\displaystyle f_{\alpha_1u_1+\alpha_2u_2}\quad \text{i} \quad \alpha_1f_{u_1}+\alpha_2f_{u_2}


są równe. W tym celu wybierzmy dowolny wektor \displaystyle v\in V i policzmy


\displaystyle \aligned f_{\alpha_1u_1+\alpha_2u_2}(v)&=\Phi({\alpha_1u_1+\alpha_2u_2},v)\\ &=\alpha_1\Phi(u_1,v)+\alpha_2\Phi(u_2,v)\\ &=\alpha_1f_{u_1}(v)+\alpha_2f_{u_2}(v). \endaligned


Oznacza to, że zachodzi wymagana równość odwzorowań


\displaystyle f_{\alpha_1u_1+\alpha_2u_2} = \alpha_1f_{u_1}+\alpha_2f_{u_2}


i dowód liniowości odwzorowania \displaystyle F jest zakończony.

Zadanie 11.2

Niech \displaystyle V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem \displaystyle \mathbb{R} i niech \displaystyle  f\colon V \to \mathbb{R} będzie formą kwadratową. Definiujemy


\displaystyle \varphi \colon V \times V \ni (v,w) \to \frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) )\in \mathbb{R} .


Wykazać, że \displaystyle \varphi jest formą dwuliniową symetryczną, skojarzoną z \displaystyle f.

Wskazówka

Trzeba wziąć dowolne dwuliniowe odwzorowanie \displaystyle \Phi indukujące \displaystyle f i skorzystać z tego, że


\displaystyle \aligned f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w)& i&&  f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w).\qedhere \endaligned


Rozwiązanie

Niech \displaystyle \Phi\colon V \times V \to V będzie odwzorowaniem dwuliniowym indukującym formę \displaystyle f. Oznacza to, że dla dowolnego wektora \displaystyle u\in V zachodzi


\displaystyle f(u)=\Phi(u,u),


w szczególności dla dowolnych wektorów \displaystyle v,w\in V mamy:


\displaystyle \aligned f(v+w) &= \Phi (v+w,v+w),&f(v-w) &= \Phi (v-w,v-w), \endaligned


co oznacza, że


\displaystyle \aligned \varphi(v,w)&=\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) )\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v+w,v+w)- \Phi (v-w,v-w))\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v,v+w)+\Phi(w,v+w)- \Phi(v,v-w)+\Phi(w,v-w))\\ &=\frac {1}{4}(\Phi(v,v)+\Phi(v,w)+\Phi(w,v)+\Phi(w,w)+\\ &-\Phi(v,v)+\Phi(v,w)+\Phi(w,v)-\Phi(w,w))\\ &=\frac{1}{4}(2\Phi(v,w)+2\Phi(w,v))\\ &=\frac{1}{2}(\Phi(v,w)+\Phi(w,v))\\ &=\frac{1}{2}(\Phi(w,v)+\Phi(v,w))\\ &=\varphi(w,v). \endaligned


Wynika stąd, że \displaystyle \varphi jako kombinacja liniowa odwzorowań dwuliniowych jest odwzorowaniem dwuliniowym, a ponadto \displaystyle \varphi jest odwzorowaniem symetrycznym, co było do okazania.

Zadanie 11.3

Dana jest forma kwadratowa


\displaystyle f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1^2 + 3x_2^2 -2x_1x_2 \in \mathbb{R}.


Znaleźć odwzorowanie dwuliniowe symetryczne skojarzone z \displaystyle f.

Wskazówka

Można skorzystać ze wzoru podanego w zadaniu 11.2.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne \displaystyle \varphi \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} skojarzone z \displaystyle f jest dane wzorem


\displaystyle \varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^2.


Podstawiając \displaystyle v=(x_1,x_2) oraz \displaystyle w=(y_1,y_2), otrzymujemy


\displaystyle \aligned f(v+w)&=(x_1+y_1)^2 + 3(x_2+y_2)^2 -2(x_1+y_1)(x_2+y_2)\\ &=x_1^2+2x_1y_1+y_1^2+\\ &+3x_2^2+6x_2y_2+3y_2^2+\\ &-2x_1x_2-2x_1y_2-2y_1x_2-2y_1y_2\\ f(v-w)&=(x_1-y_1)^2 + 3(x_2-y_2)^2 -2(x_1-y_1)(x_2-y_2)\\ &=x_1^2-2x_1y_1+y_1^2+\\ &+3x_2^2-6x_2y_2+3y_2^2+\\ &-2x_1x_2+2x_1y_2+2y_1x_2-2y_1y_2. \endaligned


Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy


\displaystyle \aligned f(v+w)-f(v-w)&= 4x_1y_1+12x_2y_2-4x_1y_2-4y_1x_2, \endaligned


co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne \displaystyle \varphi \colon \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2\to\mathbb{R} skojarzone z \displaystyle f jest dane wzorem


\displaystyle \varphi ((x_1,x_2),(y_1,y_2)) =x_1y_1+3x_2y_2-x_1y_2-y_1x_2. \qedhere


Zadanie 11.4

Dana jest forma kwadratowa


\displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to 2x_1^2 - x_2x_3 +3x_3^2\in\mathbb{R}.


Wyznaczyć macierz \displaystyle f w bazie kanonicznej oraz rząd \displaystyle f.

Wskazówka

Trzeba znaleźć macierz odwzorowania dwuliniowego skojarzonego z \displaystyle f. Rząd tej macierzy będzie równocześnie rzędem formy \displaystyle f.

Rozwiązanie

Z zadania 11.2 wynika, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne \displaystyle \varphi \colon \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} skojarzone z \displaystyle f jest dane wzorem


\displaystyle \varphi (v,w) =\frac {1}{4}(f(v+w) - f(v-w) ), \quad u,v\in\mathbb{R}^3.


Podstawiając \displaystyle v=(x_1,x_2,x_3) oraz \displaystyle w=(y_1,y_2,y_3), otrzymujemy


\displaystyle \aligned f(v+w)&=2(x_1+y_1)^2 -(x_2+y_2)(x_3+y_3) +3(x_3+y_3)^2\\ &=2x_1^2+4x_1y_1+2y_1^2-x_2x_3-x_2y_3-y_2x_3-y_2y_3+\\&+3x_3^2+6x_3y_3+3y_3^2,\\ f(v-w)&=2(x_1-y_1)^2 -(x_2-y_2)(x_3-y_3) +3(x_3-y_3)^2\\ &=2x_1^2-4x_1y_1+2y_1^2-x_2x_3+x_2y_3+y_2x_3-y_2y_3+\\&+3x_3^2-6x_3y_3+3y_3^2.\\ \endaligned


Odejmując od siebie powyższe równości stronami, otrzymujemy


\displaystyle \aligned f(v+w)-f(v-w)&= 8x_1y_1-2x_2y_3-2x_3y_2+12x_3y_3, \endaligned


co na mocy zadania 11.2 oznacza, że odwzorowanie dwuliniowe symetryczne \displaystyle \varphi \colon \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3\to\mathbb{R} skojarzone z \displaystyle f jest dane wzorem


\displaystyle \varphi ((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)) =2x_1y_1-\frac{1}{2}x_2y_3-\frac{1}{2}x_3y_2+3x_3y_3.


Zgodnie z definicją macierz \displaystyle A jest macierzą odwzorowania dwuliniowego \displaystyle \varphi w bazie kanonicznej jeżeli jest dana wzorem


\displaystyle [a_{ij}]_{n\times n}=[\varphi(e_i,e_j)]_{n\times n}.


Po wykonaniu odpowiednich obliczeń widzimy, że


\displaystyle A=            \left[ \begin{array} {rrr} 2 &            0 &  0            \\ 0 &            0 & -\frac{1}{2}  \\ 0 & -\frac{1}{2} &  3 \end{array}  \right].


Widać też, że rząd macierzy \displaystyle A jest równy \displaystyle 3.

Zadanie 11.5

Niech \displaystyle  f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x_1,x_2) \to x_1x_2 \in \mathbb{R}. Wykazać, że \displaystyle f jest formą kwadratową. Wyznaczyć macierz \displaystyle f przy bazie kanonicznej. Znaleźć bazę \displaystyle \mathbb{R}^2, przy której macierz \displaystyle f ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera. Wyznaczyć sygnaturę \displaystyle f.

Wskazówka

Trzeba zacząć od znalezienia odwzorowania dwuliniowego symetrycznego indukującego \displaystyle f, a następnie spróbować sprowadzić \displaystyle f do postaci kanonicznej. Związki między współrzędnymi względem szukanej bazy a współrzędnymi względem bazy kanonicznej pozwolą wyliczyć potrzebne nam wektory bazowe.

Rozwiązanie

Można zauważyć (lub obliczyć korzystając z metody podanej w zadaniu 11.2), że jeżeli


\displaystyle \varphi\colon \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}


jest symetryczną formą dwuliniową daną wzorem


\displaystyle \varphi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\frac{1}{2}(x_1y_2+x_2y_1),


to dla dowolnego \displaystyle (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 zachodzi


\displaystyle f(x_1,x_2)=\varphi((x_1,x_2),(x_1,x_2)),


co oznacza, że \displaystyle f jest formą kwadratową, a \displaystyle \varphi jest symetryczną formą dwuliniową skojarzoną z \displaystyle f. Co więcej, macierzą \displaystyle f w bazie kanonicznej jest macierz


\displaystyle A=\left[ \begin{array} {rrr} 0 & \frac{1}{2}  \\ \frac{1}{2} & 0 \end{array}  \right].


Aby wyznaczyć bazę \displaystyle \mathbb{R}^2, przy której macierz \displaystyle f ma postać blokową występującą w tezie twierdzenia Sylvestera zauważmy, że


\displaystyle \aligned f(x_1,x_2)&=x_1x_2\\ &=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2-\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2 \endaligned


Wprowadzając teraz nowe zmienne


\displaystyle \aligned \xi  &=\frac{x_1+x_2}{2}\\ \eta &=\frac{x_1-x_2}{2}, \endaligned


lub równoważnie


\displaystyle \aligned x_1  &=\xi+\eta\\ x_2  &=\xi-\eta, \endaligned


widzimy, że w nowych zmiennych wzór na \displaystyle f przyjmuje postać


\displaystyle \xi^2-\eta^2.


Naszej zmianie zmiennych odpowiada macierz przejścia


\displaystyle P= \left[ \begin{array} {rrr} 1 &  1  \\ 1 & -1 \end{array}  \right],


która z kolei oznacza zmianę bazy z kanonicznej na bazę złożoną z wektorów \displaystyle (1,1) oraz \displaystyle (1,-1). Macierzą \displaystyle f w tej bazie jest macierz


\displaystyle P^*AP,


czyli


\displaystyle \left[ \begin{array} {rrr} 1 &  0  \\ 0 & -1 \end{array}  \right],


w szczególności otrzymaliśmy, że sygnaturą formy \displaystyle f jest para \displaystyle (1,1).

Zadanie 11.6

Sprowadzić do postaci kanonicznej następujące formy kwadratowe:


\displaystyle \aligned f(x_1,x_2,x_3) &= x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2,\\ g (x_1,x_2,x_3)&= 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2. \endaligned


Wskazówka

Można skorzystać z metody Lagrange'a lub metody Jacobiego ( literatura: H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1977). Korzystając z metody Jacobiego, należy wyznaczyć macierz formy kwadratowej w dowolnej bazie np. w bazie kanonicznej. Niech tą macierzą będzie \displaystyle A=[a_{ij}]_{n\times n}. Teraz, jeżeli wyznaczniki


\displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[a_{11}],&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}  \right],&\ldots&,&\Delta_m&=\det\left[\begin{array} {ccc} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mm} \end{array}  \right] \endaligned


są różne od zera i \displaystyle m=n lub (gdy \displaystyle m<n) \displaystyle \Delta_{m+1}=0, to istnieje baza, w której forma kwadratowa przyjmuje postać kanoniczną


\displaystyle f(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{\Delta_1}x_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}x_2^2+\ldots+\frac{\Delta_{m-1}}{\Delta_m}x_m^2.\qedhere


Rozwiązanie

i) Niech

\displaystyle f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 3 x_1x_2 + 2x_2^2 +4x_2x_3 +x_3^2.


Macierzą formy \displaystyle f w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz


\displaystyle A=\left[\begin{array} {ccc} 1 & \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}  \right].


Obliczamy wyznaczniki


\displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[1]=1,&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} 1 & \frac{3}{2}\\ \frac{3}{2} & 2 \end{array}  \right]=-\frac{1}{4},&\Delta_3&=\det A =-\frac{17}{4}, \endaligned


które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy


\displaystyle \aligned f(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_3}\xi_3^2\\ &=\xi_1^2-4\xi_2^2+\frac{1}{17}\xi_3^2. \endaligned


ii) Niech

\displaystyle g(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_3 +4x_2x_3 +3x_3^2.


Macierzą formy \displaystyle g w bazie kanonicznej jest, jak łatwo sprawdzić, macierz


\displaystyle B=\left[\begin{array} {ccc} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}  \right].


Obliczamy wyznaczniki


\displaystyle \aligned \Delta_1&=\det[2]=2,&\Delta_2&=\det\left[\begin{array} {cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}  \right]=2,&\Delta_3&=\det B = -3, \endaligned


które podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną naszej formy


\displaystyle \aligned g(\xi_1,\xi_2,\xi_3)&=\frac{1}{\Delta_1}\xi_1^2+ \frac{\Delta_1}{\Delta_2}\xi_2^2+\frac{\Delta_{2}}{\Delta_3}\xi_3^2\\ &=\frac{1}{2}\xi_1^2+\xi_2^2-\frac{2}{3}\xi_3^2.\qedhere \endaligned


Zadanie 11.7

Dane jest odwzorowanie liniowe


\displaystyle f \colon \mathbb{R}^3 \ni (x_1,x_2,x_3) \to (x_1-x_2+2x_3, -x_1+3x_2, 2x_1-x_3) \in \mathbb{R}^3.


Zbadać, czy \displaystyle f jest odwzorowaniem symetrycznym.

Wskazówka

Wystarczy sprawdzić warunek z definicji odwzorowania symetrycznego.

Rozwiązanie

Będziemy utożsamiać przestrzeń \displaystyle \mathbb{R}^3 z przestrzenią macierzy o trzech wierszach i jednej kolumnie. Wówczas działaniu odwzorowania \displaystyle f odpowiada mnożenie takiego wektora kolumnowego \displaystyle \mathbf{x} przez macierz odwzorowania \displaystyle f w bazach kanonicznych, którą oznaczamy dalej przez \displaystyle A, to jest \displaystyle f(\mathbf{x}) możemy utożsamiać z \displaystyle A\mathbf{x}. Przy tych oznaczeniach standardowy iloczyn skalarny dla wektorów


\displaystyle \aligned \mathbf{x}&=\left[\begin{array} {c} x_1\\x_2\\x_3 \end{array} \right],&\mathbf{y}&=\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3 \end{array}  \right] \endaligned


dany jest wzorem


\displaystyle \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}=\mathbf{x}^*\mathbf{y}=\left[\begin{array} {ccc} x_1&x_2&x_3 \end{array} \right]\left[\begin{array} {c} y_1\\y_2\\y_3 \end{array}  \right].


Zgodnie z definicją odwzorowania symetrycznego musimy sprawdzić, czy


\displaystyle (A\mathbf{x})^*\mathbf{y}=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y}).


Zauważmy jeszcze, że


\displaystyle A=\left[\begin{array} {rrr} 2 &-1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 &-1 \end{array}  \right],


zatem \displaystyle A jest macierzą symetryczną (\displaystyle A=A^*). Wynika stąd, że


\displaystyle \aligned (A\mathbf{x})^*\mathbf{y} &=(\mathbf{x}^*A^*)\mathbf{y}\\ &=(\mathbf{x}^*A)\mathbf{y}\\ &=\mathbf{x}^*(A\mathbf{y}), \endaligned


co było do okazania.