Ćwiczenie 1

From Studia Informatyczne

Enlarge
  • Obliczenie energii sygnału Sa\, w dziedzinie czasu jest bardzo skomplikowane. Bez trudu możemy ją natomiast obliczyć w dziedzinie częstotliwości, korzystając z widma energii tego sygnału.
  • Energię dyskretnego sygnału wykładniczego można obliczyć wprost z definicji. Korzystamy przy tym ze wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego.

Enlarge
  • Moc (czynna) sygnału okresowego jest równa energii zawartej w jednym okresie sygnału odniesioną do jego okresu. W obliczeniach korzystamy z elementarnego wzoru trygonometrycznego na kwadrat sinusa, rozbijając całkę na dwie całki. Zauważmy, że druga całka, jako całka za okres z funkcji kosinus, jest równa zeru.
  • Ponieważ rozpatrywany sygnał jest N\,-okresowy o okresie równym 12\,, w sumie definicyjnej występuje 12\, składników, z których dwa dla n=0 i n=6 są równe zeru. Zauważmy, że składniki o numerach n\, oraz 12-n\, są sobie równe. Dlatego początkową sumę możemy zastąpić podwojoną sumą składników o numerach od 1\, do 5\,.

Enlarge
  • Sygnał x(t)=sgnt jest sygnałem o ograniczonej mocy. Jego widmo w sensie zwykłym nie istnieje. Aby wyznaczyć widmo tego sygnału w sensie granicznym, należy skonstruować odpowiedni ciąg aproksymujący ten sygnał. W obliczeniach widma w sensie zwykłym wyrazów tego ciągu rozbijamy całkę definicyjną na dwie całki w granicach (-\infty,0) i (0,+\infty) .

Enlarge
  • Jak widzimy, dyskretny sygnał wykładniczy jest sygnałem dolnopasmowym . Jego widmo jest tym węższe, im większa jest wartość parametru a\, . Dla a\to 0 sygnał dąży do dyskretnego skoku jednostkowego. Dokonując odpowiedniego przejścia granicznego można stąd wyznaczyć widmo dyskretnego skoku jednostkowego. Należy przy tym wziąć pod uwagę, że dla pulsacji unormowanej \theta=0 otrzymujemy składnik dystrybucyjny. Dla a\to 0 sygnał dąży do delty Kroneckera. Przejście graniczne w dziedzinie widmowej jest w tym przypadku oczywiste i prowadzi do widma stałego.

Enlarge
  • Transformata Fouriera dystrybucji grzebieniowej \delta_{T_0}(t) w dziedzinie czasu, o okresie T_0\, i jednostkowych wielkościach (polach) tworzących ją impulsów Diraca, jest również dystrybucją grzebieniową (w dziedzinie częstotliwości). Okresem tej dystrybucji jest \omega_0=2\pi/T_0 , a wielkości tworzących ją dystrybucji Diraca są równe \omega_0\, . Aby wykazać to, należy obliczyć współczynniki rozwinięcia dystrybucji \delta_{T_0}(t) w zespolony szereg Fouriera. W obliczeniach uwzględniamy, że całka określająca te współczynniki obejmuje jeden okres (tylko jeden środkowy impuls). Korzystamy przy tym z właściwości próbkowania impulsu Diraca.

Enlarge
  • Uogólnione twierdzenie Rayleigha stanowi, iż iloczyny skalarne w przestrzeni sygnałów i przestrzeni widm są równe (z dokładnością do stałego współczynnika 1/2\pi ). Obliczenie iloczynu skalarnego w dziedzinie widmowej nie nastręcza trudności. Wystarczy skorzystać z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu względem pary transformat dla nieprzesuniętego sygnału Sa\,.

Enlarge
  • Jeśli jako miary czasu trwania sygnału i szerokości jego widma przyjmiemy równoważny czas trwania sygnału i równoważną szerokość widma, wówczas zasada nieoznaczoności stanowi, że iloczyn tych miar jest ograniczony i równy 2\pi . Równoważny czas trwania rozpatrywanego impulsu jest w tym przypadku równy \Delta t_x=2/{\alpha} . Można go zmniejszać, zwiększając parametr \alpha\,. Jednak jednocześnie proporcjonalnie wzrasta równoważna szerokość widma, która dla rozpatrywanego sygnału wynosi \Delta \omega_x=\pi \alpha .